浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模数学试题
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17．已知函数 存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.
四、解答题
18．函数 在一个周期内的图象如图所示.已知 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
19．矩形 中， ， ，E、F分别为线段 、 上的点，且 ，现将 沿 翻折成四棱锥 ，且二面角 的大小为 .
A． B． C． D．
9．已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，定义 （ ）为点 到点 的变换，我们把它称为点变换，已知 ， ， ， 是经过点变换得到一组无穷点列，设 ，则满足不等式 最小正整数 的值为（）
A．9B．10C．11D．12
22．已知 .
（1）若 不存在极值点，求 的最小值；
（2）当 时，设函数 ，记 在 上最大值和最小值分别为 ， ，若 是常数，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
直接计算 即可.
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于简单题.
2．C
【分析】
首先根据已知条件画出可行域，再根据 的几何意义即可得到最大值.
6．函数 的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
7．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（）
A．720B．1120C．1200D．1680
8．在四面体 中， ， ， ，点P是棱 上的动点，点Q为棱 的中点，记直线 与直线 所成的夹角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则有（）
【详解】
由三视图知，其直观图如下图所示：
该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，
所以底面积 ，高 ，
所以其体积 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查根据几何体的三视图还原几何体的形状以及棱锥体积公式的运用，难度一般.
5．A
【分析】
首先根据题意得到 等价于 ，再分类讨论解不等式即可得到答案.
【详解】wk.baidu.com
因为 等价于 ，
【详解】
双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，
所以该条渐近线方程为 ；
所以 ，
解得 ；
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，
4．D
【分析】
根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据棱锥的体积公式计算出正视图中 的值即可.
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
7．B
【分析】
根据两组数的特点，按取到0和没有取到0进行讨论，然后直接计算即可.
【详解】
取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是
没有取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是
所以所求的结果数为
故选：B
【点睛】
当 ， 时，解得 ，即 ，
当 ， 时，解得 ，即 ，
当 ， 时，解得 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了充分必要条件的判断，属于中档题.
6．C
【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.
浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（）
A．-2B．-1C．1D．2
【详解】
,∴ .
(1)当 时, ,图象为A;
(2)当 时, ,∴ 在 上单调递增,
令 得 ,
∴当 时, ,
当 时, ,
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,图象为D;
(3)当 时, ,∴ 在 上单调递减,
令 得 ,
∴当 时, ,
当 时, ,
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,图象为B;
故选：C.
【点睛】
二、双空题
11．已知复数 满足 ，则 _________； ___________.
12．已知圆 与圆 外切，则 __________，此时直线 被圆 所截的弦长为______________.
13． 的展开式中所有系数的和为____________，含 项的系数为_____________.
14．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 ____________， 的面积的取值范围是___________.
【详解】
首先根据已知条件画出可行域，如图所示：
由 ，得到 ， 表示直线 的 轴截距相反数.
当直线 过 时， 取得最大值.
故 的最大值为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查线性规划，根据题意画出可行域为解题关键，属于简单题.
3．A
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐进线方程，可得到 值，再由 的关系和离心率公式，即可得到答案。
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．各项都是正数的数列 中， ，它的前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
21．已知点F是抛物线 和椭圆 的公共焦点， 是 与 的交点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与抛物线 相切于点 ，与椭圆 交于 ， ，点 关于 轴的对称点为 .求 的最大值及相应的 .
三、填空题
15．一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二等品件数，则 ____________．
16．椭圆 的左焦点为F，过F作斜率为1的直线 交椭圆于A，B两点，且 ，若过A的椭圆的切线斜率为 ，直线 斜率为 （其中O为坐标原点），当 时，椭圆的焦距为_________________.
3．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中 的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．设 ， 都是不等于1的正数，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
四、解答题
18．函数 在一个周期内的图象如图所示.已知 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
19．矩形 中， ， ，E、F分别为线段 、 上的点，且 ，现将 沿 翻折成四棱锥 ，且二面角 的大小为 .
A． B． C． D．
9．已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，定义 （ ）为点 到点 的变换，我们把它称为点变换，已知 ， ， ， 是经过点变换得到一组无穷点列，设 ，则满足不等式 最小正整数 的值为（）
A．9B．10C．11D．12
22．已知 .
（1）若 不存在极值点，求 的最小值；
（2）当 时，设函数 ，记 在 上最大值和最小值分别为 ， ，若 是常数，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
直接计算 即可.
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于简单题.
2．C
【分析】
首先根据已知条件画出可行域，再根据 的几何意义即可得到最大值.
6．函数 的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
7．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（）
A．720B．1120C．1200D．1680
8．在四面体 中， ， ， ，点P是棱 上的动点，点Q为棱 的中点，记直线 与直线 所成的夹角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则有（）
【详解】
由三视图知，其直观图如下图所示：
该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，
所以底面积 ，高 ，
所以其体积 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查根据几何体的三视图还原几何体的形状以及棱锥体积公式的运用，难度一般.
5．A
【分析】
首先根据题意得到 等价于 ，再分类讨论解不等式即可得到答案.
【详解】wk.baidu.com
因为 等价于 ，
【详解】
双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，
所以该条渐近线方程为 ；
所以 ，
解得 ；
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，
4．D
【分析】
根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据棱锥的体积公式计算出正视图中 的值即可.
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
7．B
【分析】
根据两组数的特点，按取到0和没有取到0进行讨论，然后直接计算即可.
【详解】
取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是
没有取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是
所以所求的结果数为
故选：B
【点睛】
当 ， 时，解得 ，即 ，
当 ， 时，解得 ，即 ，
当 ， 时，解得 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了充分必要条件的判断，属于中档题.
6．C
【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.
浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（）
A．-2B．-1C．1D．2
【详解】
,∴ .
(1)当 时, ,图象为A;
(2)当 时, ,∴ 在 上单调递增,
令 得 ,
∴当 时, ,
当 时, ,
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,图象为D;
(3)当 时, ,∴ 在 上单调递减,
令 得 ,
∴当 时, ,
当 时, ,
∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,图象为B;
故选：C.
【点睛】
二、双空题
11．已知复数 满足 ，则 _________； ___________.
12．已知圆 与圆 外切，则 __________，此时直线 被圆 所截的弦长为______________.
13． 的展开式中所有系数的和为____________，含 项的系数为_____________.
14．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 ____________， 的面积的取值范围是___________.
【详解】
首先根据已知条件画出可行域，如图所示：
由 ，得到 ， 表示直线 的 轴截距相反数.
当直线 过 时， 取得最大值.
故 的最大值为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查线性规划，根据题意画出可行域为解题关键，属于简单题.
3．A
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐进线方程，可得到 值，再由 的关系和离心率公式，即可得到答案。
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．各项都是正数的数列 中， ，它的前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
21．已知点F是抛物线 和椭圆 的公共焦点， 是 与 的交点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与抛物线 相切于点 ，与椭圆 交于 ， ，点 关于 轴的对称点为 .求 的最大值及相应的 .
三、填空题
15．一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二等品件数，则 ____________．
16．椭圆 的左焦点为F，过F作斜率为1的直线 交椭圆于A，B两点，且 ，若过A的椭圆的切线斜率为 ，直线 斜率为 （其中O为坐标原点），当 时，椭圆的焦距为_________________.
3．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中 的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．设 ， 都是不等于1的正数，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件