第七章 习题答案

第七章 习题解答

7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。 （a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()at c t t te -= （e ）()1()sin at c t t e t ω-= （f ）()1()cos at c t t te t ω-= 解：

（a ）根据z 域微分定理有

[][]22222

2431()1

11()1(1)(1)(1)2(1)(1)

1()(1)(1)(1)z Z t z d z z z Tz

Z t t Tz

Tz dz z z z d Tz T z Tz z T z z Z t t Tz Tz dz z z z =

---⎡⎤=-=-=

⎢⎥---⎣⎦

⎡⎤---+⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦---⎣⎦

（b ）因为

()1()1()1()t T t t t T t -=-

所以

[][][]22

(2)

()1()1()1()(1)1(1)Tz Tz Tz z Z t T t Z t t Z T t z z z --=-=

-=---

（c ）根据时域位移定理有

[][]11

22

()1()()1()(1)(1)Tz T

Z t T t T z Z t t z z z ----===--

（d ）根据复域位移定理有

221()(1)()aT aT

at

aT aT Tze Tze Z t te

ze z e ---⎡⎤==⎣⎦--

（e ）根据复域位移定理有

22sin 1()sin 2cos aT at

aT aT ze T Z t e

t z z Te e ωωω----⎡⎤=⎣⎦-+ （f ）根据复域位移定理有

22(cos )1()cos 2cos aT at

aT aT z z e T Z t e

t z z Te e ωωω-----⎡⎤=⎣⎦-+

7-2已知()c t 的拉氏变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。

（a ）21()C s s =

（b ）()()a

C s s s a =+

（c ）2()()

a

C s s s a =+

（d ）1

()()()()

C s s a s b s c =+++

（e ）222

1

()()C s s s a =+ （f ）()1()1sT

C s e s

-=-

解： （a ）[]22

1(1)Tz Z z t s z ⎡⎤

==⎢⎥-⎣⎦

（b ）

11(1)1()1()()1(1)()T at

T T a z z z e Z Z Z t e t s s a s s a z z e z z e ααα----⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥++----⎣⎦⎣⎦

（c ）

2222111111()1()()()(1)(1)(1)()(1)(1)()

at T

T T a Z Z Z t t e t s s a s as a s a a a Tz z z Tz z e z a z a z e z a z z e ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦

-=-+=-

------

（d ）1()()()111

()()()()()()()()()()()()()()()()()()

aT bT cT Z s a s b s c Z b a c a s a c b a b s b a c b c s c z z z

b a

c a z e c b a b z e a c b c z e ---⎡⎤⎢⎥+++⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥

--+--+--+⎣⎦

=

++

---------

（e ）22222222223211111sin ()()(1)2cos 1Tz z aT Z Z s s a a s a s a a z a z z aT ⎡

⎤⎡⎤=-=-⎢

⎥⎢⎥++--+⎣⎦⎣⎦

（f ）111

111sT sT e e z Z Z s s s z z --⎡⎤⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

7-3求下列函数的z 反变换。

（a ）

0.5(1)(0.4)

z

z z --

（b ）2()()

T T

z

z e z e ---- （c ）2

2

(1)(2)

z z z ++ 解： (a)

11

00.555521()(1)(0.4)6160.465n n z z z Z Z t nt z z z z δ∞--=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪----⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭

∑ （b ）

()11222222011()()1()T T T T T T T T nT nT

T T

n z z z Z Z z e z e e e z e e e z e e e t nT e

e δ----------∞

----=⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦=---∑ (c)

21

122102(1)(2)(2)21(1)(2)(12)()n n

n z z z z Z Z z z z z z n t nT δ--∞

+=⎡⎤⎡⎤-=++⎢⎥

⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦

⎡⎤=-+---⎣⎦∑

7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所示的有理分式

120121212()1n

n n

n b b z b z b z C z a z a z a z

------++++=++++ 则有

0(0)c b =

以及

[]1

()()n

k i i c kT b a c k i T ==--∑

式中k n >时，0k b =。 （a ）试证明上面的结果。 （b ）设

23220.5

()0.5 1.5

z z C z z z z +-=-+-

应用（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。

解： （a ）设

121234012012341212()1n

n n

n b b z b z b z C z c c z c z c z c z a z a z a z

----------++++==+++++++++ 显然有

00c b =

以及

10110

202112000

1

1

k

k

k

k k i i k k i i k k i i

i i i b c a c a b c a c a c a b c a c a c a c c a ---====+=++==+=+∑∑∑

式中k n >时，0k b =。上式即

[]1

()()n

k i i c kT b a c k i T ==--∑

k n >时，0k b =。证毕。