如何运用金融数学技巧进行期权定价

1、金融数学的发展历程

一直以来，基于金融市场就有风险性高和不确定因素多的

特点，金融投资者坚持不懈地在探索如何运用科学合理的评估

资产风险和期权价格的方法。金融数学模型的建立有效地解决

了评估资产风险难度大和期权定价问题。同时对金融市场的风

险分析、预测和监控都起到了重要作用。金融数学是上世纪法

国的一位叫做巴谢利耶的数学家所提出的，在他的“投机的理

论”这篇博士论文中对金融数学进行详尽的阐述。巴谢利耶在

论文中运用的相关理论对股票价格的变化进行了描述，认为在

资本市场内，存在买和卖的关系，买者看股票价格的涨，卖者

看股票价格的跌。股票价格波动同布朗运动极为相似，其统计

分布为正态分布。在上世纪七十年代，费希尔·布莱克和迈伦·斯

科尔斯Black-scholes 公式的提出和论文的发表，标志着金融数

学第二次革命的爆发。国外的一位叫做斯蒂芬·罗斯曾的专家

教授认为; 费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔理论对经济学的发

展有着重要推动作用，同时也将对金融市场的改革和发展产生

积极的影响。随着金融数学理论的不断发展和完善，在今天膨

胀发展的金融领域，如何运用金融数学技巧对期权进行定价成

为了金融领域广泛关注和研究的重点课题。

2、期货的定义

在经济市场中存在着现货交易和期货交易两种交易方式。

一般对于现货交易我们比较容易理解，从古代的用货物交换货

物发展到今天的用货币购买货物的这些交易形式我们可将其叫

做现货交易。而期货交易，通俗地讲就是买者和卖者集中在指

定的场所内，卖者通过公开竞价方式进行期货买卖，双方并签

订合约。假如合约内的某种商品在市场内销售的比较好，合约

持有者可通过期货交易的方式从中赚取可观的合约价差。如果

合约持有者发现市场价格高于原先合约中的执行价格，那么合

约持有者会放弃期权的执行，以便能够获得良好的经济效益。

3、运用金融数学技巧进行期权定价

举例分析，假如我们手中积累了一定资金，但是在短期内

不需要消费这些资金，我们通常会想到怎么才能拿这部分资金

去赚去一定的资金。比较常见的就是拿着钱去市场进行投资。

假设经济市场中可供我们选择的投资方式有两种，一种是市场

风险性比较小的投资方式，比如将我们的资金存入银行，经过

一段时间后我们的资金x0会增加到x0（1+r），（r为银行利率）。

另外一种是带有一定风险性的。比如我们拿资金去购买股票。

我们花Ｓ0的资金购入一定数量的股票，经一段时间后股票的

价格Ｓ1可能是uＳO或者是dS0，d

于d小于u，如果1+rd，相信没有几个人愿意将自己的钱存入

银行。同理，如果u1+ｒ，又有谁愿意拿着自己的钱去投资股

票。在这样的条件下金融学上称其为 “市场无套利”。也就是说

投资者在市场上投资想盈利是没有多少空子可钻的。如果有一

市股票当时价格为dS0； 而随着股市行情的变化，现在股票市场

内的股票价格是多少呢？我们需要花多少钱买期权才是合理的。

也就是说花同样多的钱去购买期权和投资所得的利润是等同的。

接下来我们对一位不愿承担投资风险的投资者投资方式进

行研究：该投资者的投资方式为不购买期权而购买股票，购入

α0 股价格为S0股票，经过一段时间后，该投资者的回报可

能为a0uS0，也可能为a0dS0；相应地，投资者因未购买期权，

也将会造成不同的程度的损失。不愿意承担市场风险的投资者

选择了另外一种投资方式，该种投资方式使投资者在单位时间

后获得的回报比愿意承担市场风险的投资回报要低很多。如果

投资者将投资股票的资金aOSO 改为用其中资金C0购买期权，

其余资金存入利率为r的银行，其收效是相同的。如果令ｑ

=1+r-du-d，定价公式可改为 （1+ｒ ）C0=qξu+（1-q）ξd。

将ｑ，1-ｑ分别定为股票价格Ｓｕ和Ｓｄ的概率， 公式右边的

则表示期权概率平均回报；公式左边则表示使用期权的合理价

格去投资获得没有风险的的投资回报。

上文对股票和其期权在单位时间内的变化进行了简要的探

讨，不过该期权定价方式同样适用于多步的“二项树模型”。我

们假定期权结算在N个单位时间后开始，那么相应地股票价格

在各个单位时间后都会发生相似的波动。股票市场价格浮动变

幻莫测，在经过单位时间内的浮动变化后股票价格就会出现N

种可能性。通常，人们将股市各种可能起伏称为“风险中性概

率”在N单位时间后结算，具有随机回报的期权，在n个单位

时间后合理价格Cn应是Cn=（1+r）-（N-n）E ；[ξ｜Fn]，

E[ξ｜Fn] 称为ξ 关于Ｆｎ的条件期望；Ｆｎ表示到时刻ｎ为

止；通过股市涨落所积累的全部金融信息对市场投资风险进行

分析和评估。 并运用相关的金融数学技巧对期权进行定价，从

而最大化地降低投资风险，使投资者获得较好的收益。

当然二项树模型只是一种简单的特例，在市场上只有一种

风险投资，并且各个单位时间的价格起伏只有两种可能值。对

于一般的离散时间模型，假设市场中供投资者选择的投资方式

有ｄ+ 1 种：S=（SO，S1，…，Sd），其中Ｓ0 是无风险投资；

各个单位时间都给予利率ｒ的回报，所以从时刻0投入S00开始，

到时刻ｎ为止，其投资的价值就可提高Sn0=（1+r）nS00，r>0。

而对于其他方式的投资，其投资都是具有一定风险性，相应地

其投资所得的回报也是随机的。

参考文献

[1] 刘海龙、德惠：《人文科学与自然科学的交叉研究：金融学中

的数理方法综述》，《东北大学学报》，1999 年第4 期。

[2] 弗兰克·Ｊ·法伯兹、弗朗哥·莫迪里阿尼、迈克尔·Ｇ·费

里，金融市场与机构通论，东北财经大学出版社，2000 年。

[3]Joseph Stampfli，Victor Goodman 著，蔡明超译：《金融数学》，

如何运用金融数学技巧进行期权定价

李 阳

（安徽财经大学 安徽 蚌埠）

【摘要】金融数学是一门综合性学科，它是借助概率统计学、泛函分析、随机分析等学科理论知识对风险资产

定价、避免以及投资者最优投资策略进行研究的学科。运用金融数学对期权进行定价，有助于金融市场良性运作，

同时对企业投资决策和风险控制管理等方面也有着重要作用。本文对期货进行了概述，探讨了如何运用金融数

学技巧进行期权定价的方法。

【关键词】金融数学 期权定价 方法