初中数学-图形的变换

A
D
以证明．
Q
F
P
B
E
C
如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以 AB、AC 为边作
等边△ABE 和△ACD，连结 ED 交 AB 于 F，
求证：EF=FD．
E
B
F
C
A
D
例题 Example
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠BAC= 1 . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结 BD，F 2
例题 （二） 旋转变换在综合题中的应用 Example
图形变换几个专题分类：
三、轴对称变换 1、折叠问题 2、最短路径问题 3、轴对称变换在综合题中的应用 四、旋转相似变换 五、复合变换 （建议：二次函数与图形变换可以放在二次函数专题复习或在
例题 代几综合题中，动手操作题可以单独整理专题） Example
X –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –2 –3 –4 –5 –6
调研方法
（2012 北京）23．已知二次函数 y (t 1)x2 2(t 2)x 3 在 x 0 和 x 2 时的函数值相等。 2
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(3，m) ，求 m 和 k
∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α ＜45° ），旋转后角的两
边分别交BD于点P、点Q ，交BC，CD于点E、点F，连接 EF，
EO．
（1）在∠ BAC的旋转过程中， ∠ AEQ的大小是否改变，
若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围
（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加
对学生的要求
Transform 变换
3．掌握基本辅助线： （1）中点、中线—中心对称—倍长中线—中位线 （2）等腰三角形、角平分线、垂直平分线—轴对
称—截长补短； （3）平行四边形、梯形—平移； （4）正多边形、共端点的等线段—旋转； 4．利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当 添加辅助线构造特殊图形． 5．用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题，用变换 的观点研究函数的平移和对称．
的值；
（3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ，C （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图
象在点 B ，C 间的部分（含点 B 和点 C ）向左平移 n(n 0) 个单位后得到的图象
记为 G ，同时将（2）中得到的直线 y kx 6 向上平移 n 个单位。请结合图象
回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时， n 的取值范围。
例9、如图1，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直 角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与 AM之间的关系。 如图2，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直 角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之 间的关系.
例10、已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将
2.知识覆盖面广，可综合的知识点较多凡是有 图形的问题都有应用图形变换的角度（包括函数 知识），要注重基本图形的认识.
3.此部分知识是中考试卷中的把关题,是检验学生 数学学习能力的知识点.
Transform 变换
对学生的要求
1．掌握图形变换的概念和性质； 2．对已学图形和常用辅助线的再认识： （1）从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称 性、中心对称和旋转对称性，以及由图形变换决定 的图形的特殊性质． （2）从图形变换的角度分析添加平行线、倍长中 线、截长补短等辅助线后构造出的图形的变换性质， 以及辅助线的添加条件．
轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B。
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；
（3）若该抛物线在 2 x 1这一段位于直线 l 的上方，并且在 2 x 3这一段位于
直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。
Y 11
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
题型分析
A
例1、Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，
点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D
逆时针旋转m（0°<m<180°）度后，如果点B
C
D
B
恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝_________．
例题 Example
例2、已知: 梯形ABCD中, AB∥DC, AB = 2, CD = 5, ∠ABC
中点，求线段 CF 长度的最大值．
A
A
A
D
E
E
D
F F
C
B
图1
C
BC
B
图2
备图
如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD ，点 P 为正方形 AD 边
上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，
PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH．
图形的变换
内容简介
Contents
《考试说明》的要求 图形变换的认识过程 近几年中考考察情况 学生通常遇到的问题 题型分析
《考试说明》的要求
图形变换的认识过程
Transform 变换
对图形变换的认识过程
1.初中学习图形变换,主要是从图形的位置关系 和对称性的角度来考虑问题,所以是学习一种 思维方法.
OB＞OD，比较 BC+AD 与 AB+CD 的大小．
A
C
C
A 图1
B
A
B
图2
D
O
B
C 图3
例题 Example
例7、正方形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥EG
交∠DCH的平分线于G，
求证：AE=EG
A
D
G
B
E
C
H
例题 Example
例8、正方形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥EG 交∠DCH的平分线于G， 求证：AE=EG
Y 11
10
9
动点坐标化
8 7
6
5
4
3
2
1
X
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –2 –3 –4 –5 –6
复习建议：
1.引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线 的添加方法；
2.注重基本图形的讲解和常规方法的落实； 3.注重解题方法：类比：从特殊到一般
近几年中考考察情况
Investigate
考 查
显性： 题目以图形变换的语言叙述或图形 本身具有变换的特征．
隐性： 在解决动手操作问题或几何计算证 明题时利用图形变换的观点分析和 思考问题并能适当添加辅助线构造 所需图形解决问题．
Investigate
考 查
近几年中考试题中利用图形变换的几个方面
谢谢
Thanks
BD平分∠ ABC.
A
求证: BD + BC = AD.
D
B C
例题 Example
例5、如图，在Rt△ABC中，AD=BC，CD=BE。
能否求出∠BOE的度数？
B
O
E
A
D
C
例题 Example
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 CB，CA 延长线上的点，BE 与 AD 的交点为 P. （1）若 BD=AC，AE=CD，在图 1 中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2）若 AC 3BD ， CD 3AE ，求∠APE 的度数.
并计算 AD 的值（用含 的式子表示）；
BC
(3) 在图 2 中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值.
B
A
M
O P
N
B
A
M
O
P
N
D
C
D
C
如图 1，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，E 恰为 BC 的中点， tanB 2 .
（1）求证：AD=AE； （2）如图 2，点 P 在 BE 上，作 EF⊥DP 于点 F，连结 AF.
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变
化？并证明你的结论；
（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的
函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
A
P
D
E
H G
F
B
C
已知：△AOB 中， AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3 , ∠ABO ∠DCO . 连
为 BD 中点.
（1）若过点 D 作 DE⊥AB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1． 设CF kEF ，则 k =
；
（2）若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，
如图 2 所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD
①利用平移变换证明线段的关系
②利用平移变换求点的坐标和直线解析式及取值范围
③利用轴对称变换求最短路径、求两个角和的度数； 进行有关计算和证明
④利用旋转变换（中心对称）证明两条线段的关系； 进行有关计算
学生经常遇到的问题
问题 Problem时，为什么要旋转？ 2.图形具备什么条件的时候可以实现旋转？ 3.旋转变换的作用是什么？ 另：共线问题，指令语言问题，叙述问题等