第四章 Lebesgue积分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������ (|������ |>������)
55
56 这当然给出理想的结论.
第四章 LEBESGUE积分
证明二: 由于������ ∈ ������(������ ),所以由积分的绝对连续性,对于任给������ > 0, 存在������ > 0, 使得 对于任意������ ⊂ ������ ,当������(������) < ������ 时 ∫︁ |������ (������)| ������������ < ������.
(3) 设������ 是可测集合且������(������ ) < ∞, {������������ }是������ 上几乎处处有限的可测函数列.证明:下面 两个条件是等价的. (a) {������������ }������≥1 依测度收敛于零; (b) ∫︁
������→∞
lim
������
(ii) 利用结论(1),不妨假设������ 是������ 上的有界可测函数且|������ (������)| ≤ ������ . 由Lusin定理知 道:存在沿������ 连续的函数������,使得 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)| ≤ ������,
第四章
Lebesgue积分
∫︀ 1 设������(������ ) > 0, ������ ∈ ������(������ ), ������ 在������ 上非负且 ������ ������ (������) ������������ = 0.证明:������ 在������ 上几乎处处等于 零. 证明 对于任意的自然数������,������ ������ = {������ ∈ ������ : ������ (������) > 1/������} ∫︁ ∫︁ ������ (������)������������ = 0. ������ (������)������������ ≤ 1/������������(������������ ) ≤
这样就知道:存在������ , 使得当������ > ������ 时 ������((������ (|������ | ≥ ������)) < ������. 结合前面的讨论就知道:当������ > ������ 时 ∫︁ ������������(������ (|������ | > ������)) ≤
先固定������ 令������ → ∞再令������ → 0就可以得到(b)成立。 反 过 来, 假 设 结 论(b)成 立, 由于 对 于 任 意 的������ > 0,我 们 可 以 取������ > 0使 得������ >
������ .明显地 1+������
������ ������({������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| > ������}) 1 + ������ ∫︁ |������������ (������)| ≤ ������������ ������ (|������������ (������)−������ (������)|≥������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| ∫︁ |������������ (������)| ≤ ������������ ������ 1 + |������������ (������)| 这立即给出理想的结论. (4) 设������ ∈ ������([������, ������],证明:对于任意的������ > 0,
因此,
������→∞
lim
∞ ∑︁ ������=������
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) = 0.
另一方面, 利用测度的可数可加性, 可以写 ������������(������ (|������ | > ������) = ������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) + ������������(������ |������ | > ������ + 1) ∞ ∑︁ = ������ ������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1))
������
另一方面,由于
������→∞
lim ������({������ ∈ ������ : |������ (������)| > ������}) = 0.
存在������ 使得 ������({������ ∈ ������ : |������ (������)| > ������ }) < ������.
59 这样, ������ (������) = 就满足 {︁ ������ (������), 0, ∫︁ |������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������.
������
������ ∈ ������ 且 |������ (������)| ≤ ������ ; ������ ∈ ������ 且 ������ (������) > ������.
������
|������������ (������)| ������������ = 1 + |������������ (������)|
|������������ (������)| ������������ ������ (|������������ (������)−������ (������)|≥������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| ∫︁ |������������ (������)| ������������ + ������ (|������������ (������)−������ (������)|<������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| (︁{︁ ������ }︁)︁ ������ ≤ ������ ������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| ≥ + ������(������ ) 1 + ������ 1 + ������ ∫︁
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
(iii) 存在多项式函数������ ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)| + ������
lim ������������(������ (|������ | ≥ ������)) = 0.
证明一 注意:������ 在������ 上Lebesgue可积意味着������ 几乎处处有限, 同时 ������������ (������) = |������ (������)|������������ (|������ |≤������) (������) 在������ 上几乎处处收敛于|������ |, 由Levi引理知道: ∫︁ ∫︁ ������������ (������) ������������ ↑ |������ (������)| ������������.
������ (|������ |≥������)
|������ (������)| ������������ < ������,
这就给出理想的结论. 证明三 首先注意到������ ∈ ������(������ )意味着
∞ ∑︁ ������百度文库1
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) < ∞.
|������������ (������)| ������������ = 0. 1 + |������������ (������)|
证明 假如{������������ }������≥1 依测度收敛于零,则对于任意的������ > 0, (︁{︁ ������ }︁)︁ = 0. lim ������ ������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| ≥ ������→∞ 1 + ������ 从而 ∫︁
������������ ������
从而������(������������ ) = 0. 这样������ (������ > 0) = ∪∞ ������=1 ������������ 也是零测度集合. 2 设������ 是可测集且������ ∈ ������(������ )。 证明
������→∞
58 (i) 存在有界可测函数������ 使得 ∫︁
������ ������
第四章 LEBESGUE积分
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������; (ii) 存在连续函数ℎ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ℎ(������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |ℎ(������)| ≤ sup |������ (������)|;
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
(iv) 存在阶梯函数������ ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)|;
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
证 明 (i) ������ 在������ 上 可 积, 所 以 由 积 分 的 绝 对 连 续 性 知 道: 对 于 任 意 的������ > 0,存 在������ > 0, 使得当������ ⊂ ������ , 且������(������) < ������ 时, ∫︁ |������ (������)|������������ < ������.
������=������
≤
∞ ∑︁ ������=������
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)).
57 这立即给出
������→∞
lim ������������(������ (|������ | > ������)) = 0.
������
利用������ ∈ ������(������ )知道:对于任意的������, ∫︁ ������������(������ (|������ | ≥ ������)) ≤
������
|������ (������)| ������������ < ∞,
从而
������→∞
lim ������(������ (|������ | ≥ ������)) = 0.
������ ������
所以
������→∞
lim
∫︁ (︁
������
)︁ ������ (������) − ������������ (������) ������������ = 0.
所以就有
������→∞
∫︁ lim |������ (������)| ������������ = 0.
55
56 这当然给出理想的结论.
第四章 LEBESGUE积分
证明二: 由于������ ∈ ������(������ ),所以由积分的绝对连续性,对于任给������ > 0, 存在������ > 0, 使得 对于任意������ ⊂ ������ ,当������(������) < ������ 时 ∫︁ |������ (������)| ������������ < ������.
(3) 设������ 是可测集合且������(������ ) < ∞, {������������ }是������ 上几乎处处有限的可测函数列.证明:下面 两个条件是等价的. (a) {������������ }������≥1 依测度收敛于零; (b) ∫︁
������→∞
lim
������
(ii) 利用结论(1),不妨假设������ 是������ 上的有界可测函数且|������ (������)| ≤ ������ . 由Lusin定理知 道:存在沿������ 连续的函数������,使得 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)| ≤ ������,
第四章
Lebesgue积分
∫︀ 1 设������(������ ) > 0, ������ ∈ ������(������ ), ������ 在������ 上非负且 ������ ������ (������) ������������ = 0.证明:������ 在������ 上几乎处处等于 零. 证明 对于任意的自然数������,������ ������ = {������ ∈ ������ : ������ (������) > 1/������} ∫︁ ∫︁ ������ (������)������������ = 0. ������ (������)������������ ≤ 1/������������(������������ ) ≤
这样就知道:存在������ , 使得当������ > ������ 时 ������((������ (|������ | ≥ ������)) < ������. 结合前面的讨论就知道:当������ > ������ 时 ∫︁ ������������(������ (|������ | > ������)) ≤
先固定������ 令������ → ∞再令������ → 0就可以得到(b)成立。 反 过 来, 假 设 结 论(b)成 立, 由于 对 于 任 意 的������ > 0,我 们 可 以 取������ > 0使 得������ >
������ .明显地 1+������
������ ������({������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| > ������}) 1 + ������ ∫︁ |������������ (������)| ≤ ������������ ������ (|������������ (������)−������ (������)|≥������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| ∫︁ |������������ (������)| ≤ ������������ ������ 1 + |������������ (������)| 这立即给出理想的结论. (4) 设������ ∈ ������([������, ������],证明:对于任意的������ > 0,
因此,
������→∞
lim
∞ ∑︁ ������=������
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) = 0.
另一方面, 利用测度的可数可加性, 可以写 ������������(������ (|������ | > ������) = ������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) + ������������(������ |������ | > ������ + 1) ∞ ∑︁ = ������ ������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1))
������
另一方面,由于
������→∞
lim ������({������ ∈ ������ : |������ (������)| > ������}) = 0.
存在������ 使得 ������({������ ∈ ������ : |������ (������)| > ������ }) < ������.
59 这样, ������ (������) = 就满足 {︁ ������ (������), 0, ∫︁ |������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������.
������
������ ∈ ������ 且 |������ (������)| ≤ ������ ; ������ ∈ ������ 且 ������ (������) > ������.
������
|������������ (������)| ������������ = 1 + |������������ (������)|
|������������ (������)| ������������ ������ (|������������ (������)−������ (������)|≥������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| ∫︁ |������������ (������)| ������������ + ������ (|������������ (������)−������ (������)|<������/(1+������ )) 1 + |������������ (������)| (︁{︁ ������ }︁)︁ ������ ≤ ������ ������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| ≥ + ������(������ ) 1 + ������ 1 + ������ ∫︁
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
(iii) 存在多项式函数������ ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)| + ������
lim ������������(������ (|������ | ≥ ������)) = 0.
证明一 注意:������ 在������ 上Lebesgue可积意味着������ 几乎处处有限, 同时 ������������ (������) = |������ (������)|������������ (|������ |≤������) (������) 在������ 上几乎处处收敛于|������ |, 由Levi引理知道: ∫︁ ∫︁ ������������ (������) ������������ ↑ |������ (������)| ������������.
������ (|������ |≥������)
|������ (������)| ������������ < ������,
这就给出理想的结论. 证明三 首先注意到������ ∈ ������(������ )意味着
∞ ∑︁ ������百度文库1
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)) < ∞.
|������������ (������)| ������������ = 0. 1 + |������������ (������)|
证明 假如{������������ }������≥1 依测度收敛于零,则对于任意的������ > 0, (︁{︁ ������ }︁)︁ = 0. lim ������ ������ ∈ ������ : |������������ (������) − ������ (������)| ≥ ������→∞ 1 + ������ 从而 ∫︁
������������ ������
从而������(������������ ) = 0. 这样������ (������ > 0) = ∪∞ ������=1 ������������ 也是零测度集合. 2 设������ 是可测集且������ ∈ ������(������ )。 证明
������→∞
58 (i) 存在有界可测函数������ 使得 ∫︁
������ ������
第四章 LEBESGUE积分
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������; (ii) 存在连续函数ℎ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ℎ(������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |ℎ(������)| ≤ sup |������ (������)|;
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
(iv) 存在阶梯函数������ ,使得 ∫︁
������ ������
|������ (������) − ������ (������)| ������������ < ������ 且当������ 有界时还成立 sup |������ (������)| ≤ sup |������ (������)|;
������∈[������, ������] ������∈[������, ������]
证 明 (i) ������ 在������ 上 可 积, 所 以 由 积 分 的 绝 对 连 续 性 知 道: 对 于 任 意 的������ > 0,存 在������ > 0, 使得当������ ⊂ ������ , 且������(������) < ������ 时, ∫︁ |������ (������)|������������ < ������.
������=������
≤
∞ ∑︁ ������=������
������������(������ (������ < |������ | ≤ ������ + 1)).
57 这立即给出
������→∞
lim ������������(������ (|������ | > ������)) = 0.
������
利用������ ∈ ������(������ )知道:对于任意的������, ∫︁ ������������(������ (|������ | ≥ ������)) ≤
������
|������ (������)| ������������ < ∞,
从而
������→∞
lim ������(������ (|������ | ≥ ������)) = 0.
������ ������
所以
������→∞
lim
∫︁ (︁
������
)︁ ������ (������) − ������������ (������) ������������ = 0.
所以就有
������→∞
∫︁ lim |������ (������)| ������������ = 0.