全等三角形——倍长与中点有关的线段资料
全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印
全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容中线倍长的辅助线添加课型教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线.2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等.重、难点中线倍长辅助线的添加知识导图知识梳理1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。
4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。
5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型）△ABC中，AD是BC边中线（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
我爱展示1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．我爱展示1. 如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．导学三：利用中线倍长证明线段的倍分关系例 1. 如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 。
专题1 全等模型——倍长中线与截长补短
初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握．【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）【常见模型及证法】 1、基本型如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线．证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE ．若连结BE ，则ΔBDE ≅ΔCDA ；若连结EC ，则ΔABD ≅ΔECD ；（1） （2）2、中点型如图2，C 为AB 的中点．证明思路：若延长EC 至点F ，使得CFEC ，连结AF ，则BCE ACF ；若延长DC 至点G ，使得CG DC ，连结BG，则ACDBCG．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 3、中点+平行线型如图3，//AB CD ，点E 为线段AD 的中点．证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ．例1．（1）方法呈现：如图①：在△ABC 中，若6AB ，4AC ，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD ，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF 与EF的大小关系并证明．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 例2．倍长中线的思想在于倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图，已知：AD 为ABC 的中线，求证：2AB AC AD ．简证：如图，延长AD 到E ，使得DE AD ，连接CE ，易证ABD ECD ，得AB ，在ACE 中，AC CE ，2AB AC AD ．【问题解决】（1）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF ．（2）如图，在ABC 中，90,A D 是BC 边的中点，E 、F 分别在边AB AC 、上，D E D F ，若3,4BECF，求EF 的长．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 （3）如图，AD 是ABC 的中线，,AB AE AC AF ，且90BAE FAC ，请直接写出AD 与EF 的关系_ ．例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，△ABC 中，若AB =5，AC =3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．（2）如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判断AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段； 补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段． 【常见模型及证法】初中数学 ︵ 八年级︶培优篇 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE +DC =AD ．方法：①在AD 上取一点F ，使得AF =BE ，证DF =DC ；②在AD 上取一点F ，使DF =DC ，证AF =BE ．（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE +DC =AD ．方法：①延长DC 至点M 处，使CM=BE ，证DM =AD ；②延长DC 至点M 处，使DM =AD ，证CM =BE ．例1．如图，已知AD∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 例2．如图，在△ABC中，AC BC ，AD 平分CAB ．（1）如图1，若90ACB ，求证：AB AC CD ； （2）如图2，若AB AC BD ，求ACB 的度数； （3）如图3，若100ACB ，求证：AB =AD +CD ．例3．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ，180A C ．求证：DA DC ．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在BC 上截取BM BA ，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC ，连接D N ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC 时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，180A C ，DA DC ，过点D 作DE BC ，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．初中数学︵ 八年级 ︶培优篇1．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ，5AB ，4BD ，3CD ，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（ ）A ．2B．52C D ．3A ．2B 3．如图，△ABC 与ADC △BAD =________．（用含有4．如图所示，已知AC 平分∠BE 之间有怎样的等量关系，并证明．初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 5．如图，四边形ABCD 中，180B D， 150BCD，CB CD ，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ．求证：MN BM DN ．6．如图，已知：在△ABC 中，=60B ，CE 、AF 是△ABC 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF ．7．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC 中，7AB ，5AC ，点D 为BC 的中点，求AD 的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE AD ，连接BE ，构造BED CAD △△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明BED CAD △△用到的判定定理是： (用字母表示)； （2）AD 的取值范围是 ；（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，初中数学 ︵ 八年级 ︶培优篇 且AD 平分BAC ，求证：AB AC ．。
全等三角形专题：倍长中线
一、直接倍长中线例1【等腰三角形的性质与判定】（1）已知△ABC中AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C . （2）已知△ABC 中∠B ＝∠C ,求证：AB ＝A C . （3）如图，在△ABC 中，BD ＝CD ，∠1＝∠2，求证：AB＝A C .例2 在△ABC 中，已知线段AB ＝4，AC ＝8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是【变式训练】如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，BA ＝BD ，求证：AC ＝2AE ．二、倍长中线的一部分例3 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：∠AEF ＝∠F AE【变式训练】如图②，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由.A21A B C D 图 1①②E CBE DAA图 1-3-9①②三、倍长过中点的线段例4 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE ＋CF 与EF 的大小.四、作平行线构造8字型例5已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF ＝EF .求证：BD ＝CE .（有三种辅助线）【变式训练】如图，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由. （有三种辅助线）BA -3-9②【课后作业】1.在△ABC中，已知线段AB＝5，AC＝13，则BC边上的中线AD的取值范围是3. 如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE ＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝A C.求证：AE平分∠BA C.C BA5.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 边于点D ，则DE 的长为6.如图1－3－10，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 为BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，ED ⊥DF ，连接EF ，求证：线段BE ，FC ，EF 总能构成一个直角三角形.图 1-3-8A BCDEPQEDCBAF图 1-3-10。
全等三角形倍长中线知识点
全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。
在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。
全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。
当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。
倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。
具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。
我们来看倍长中线的性质。
根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。
也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。
2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。
接下来，我们来探讨倍长中线的应用。
倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。
当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。
通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。
2. 求解三角形的面积。
由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。
通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。
3. 寻找三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。
在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。
因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。
总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。
中考数学常见几何模型全等模型-倍长中线与截长补短
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆; 若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆. 3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD △△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE △△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，△BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，△6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，△1＜AD ＜5；故答案为：1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示． 同（1）得：△BMD △△CFD （SAS ），△BM ＝CF ，△DE △DF ，DM ＝DF ，△EM ＝EF ，（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明△//CE AB （已知）△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），△()A.A.S ABD ECD △△≌，△AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC △△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE △△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB （SAS ），△AC =BE =4， 在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△6-4＜2AD ＜6+4，△1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）结论：AD =AB +DC ．理由：如图②中，延长AE ，DC 交于点F ，△AB △CD ，△△BAF =△F ，在△ABE 和△FCE 中，AEB FEC BAE F BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△FCE （AAS ），△CF =AB ， △AE 是△BAD 的平分线，△△BAF =△F AD ，△△F AD =△F ，△AD =DF ，△DC +CF =DF ，△DC +AB =AD ；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，△E 是BC 的中点，△CE =BE ，△AB △CF ，△△BAE =△G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEB △△GEC （AAS ），△AB =GC ， △△EDF =△BAE ，△△FDG =△G ，△FD =FG ，△AB =DF +CF ，△AB =5，CF =2，△DF =AB -CF =3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD到E，使得DE AD=，连接CE，易证ABD ECD∆≅∆，得AB=，在ACE∆中，AC CE+>，2AB AC AD+>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于F，求证：AF EF=．（2）如图（4），在ABC∆中，90,A D∠=︒是BC边的中点，E F、分别在边AB AC、上，DE DF⊥，若3,4BE CF==，求EF的长．（3）如图（5），AD是ABC∆的中线，,AB AE AC AF==，且90BAE FAC∠=∠=︒，请直接写出AD与EF的数量关系_ 及位置关系_ ．【答案】,CE AE；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD=，EF AD⊥【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD∆≅∆所以△BGD=△BED=△AEF=△DAC，△有AF=EF；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE△△CDG ，所以△FCG=△FCD+△GCD=△FCD+△EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG 易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG ,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD△△CAD ， △BG=AC ，△GBD=△ACD ，△DGB=△DAC ，又AF=AC ，△BG=AF ，△△ABG=△ABD+△GBD=△ABD+△ACD=180°-△ BAC=△EAF ，△在△ABG 和△EAF 中，AB AE ABG EAF BG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG△△EAF ，△EF=AG=2AD ，△EFA=△DGB=△DAC ，△△DAC+△PAF=180°-△FAC=180°-90°=90°，△△EFA+△PAF=90°，△△APF=90°，△EF△AD ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初二上学期全等三角形专题之倍长中线与截长补短教案(有答案)
倍长中线与截长补短互动精讲知识点一、倍长中线【知识梳理】△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，延长MD到N，使DN=MD，连接CN方式3：同时向中线作垂线，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2、已知：如图，在ABCDF//AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA ∆中，AC∠交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC【课堂练习】1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC 于F，求证：AF＝EF。
2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.ED F CBA知识点二、截长补短【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【例题精讲】例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD例2、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.【课堂练习】1、（1）如图1-1，△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，则∠C=__20°．（2）如图1-2，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别是边BC 、CD 上的点，连接PQ ．若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=___________．图1-1 图1-2课堂检测1、如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．D C B AA B C DP QADB C2、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE课后作业1、已知：△ABC中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围是。
78 全等模型—倍长中线模型
拓展应用：以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作△ABE 和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°， M 是 BC 中点，连接 AM，DE．当 AM＝3 时，求 DE 的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【分析】问题背景：先判断出 BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）； 问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出 BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图 2，延长 AM 到 N，使得 MN=AM，连接 BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS）， 则 BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出 AN=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图 1，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE，
【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到 AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD 和△ECD 中， BAD E BDA CDE ， BD CD ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE 中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即 6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角 形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
题型二：利用倍长中线证明线段、角相等 【例题 2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线，且 ACB ABC ， AC AB ．求证： CD 2CE ．
倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)
倍长中线最全总结。
例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。
在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。
其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。
以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。
同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。
在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。
倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。
延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。
另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。
在三角形ABC中，D为BC的中点。
根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。
因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。
2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。
3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。
倍长中线法
倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC 中，ACAB ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE 于点F，DF=AC.
求证：AE平分∠BAC
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE
在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
.。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结
i n ga re与，连结与，证BCE ∆AE CDosrofdoogeragnii rb ei n ga re go od fo r二、倍长与中点有关的线段考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
．1()2AB AC <+Aean dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go 三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM 平分∠ABC，P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+CD ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM 平分∠ABC，点P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+DC ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA ，过点P 作PE⊥BA 于点E ；②延长BA 到E ，使AE=DC ，连接PE ；③延长BA 到E ，使DC=AE ；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，AD 平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD ．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD 上截取CF=CB ，连接AF ；②在DC 上截取DF=DE ，连接AF ；③在DC 上截取DF=DE ；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①④⑨ B.③⑤⑧ C.①⑥⑦ D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD ．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE 到F ，使EF=BC ，连接AF ；②延长DE 到F ，使BC=EF ；e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o ③延长DE 到F ，连接AF ；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧r四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ＇BA ，则∠PBP ＇的度数是( ) A ．45°B ．60° C ．90° D ．120°【例2】如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD ＝CF 并求出∠DOH 的度数。
倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)
倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。
目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。
易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。
【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。
中考数学常见几何模型专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD △△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE △△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，△BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，△6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，△1＜AD ＜5；故答案为：1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示．同（1）得：△BMD △△CFD （SAS ），△BM ＝CF ，△DE △DF ，DM ＝DF ，△EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE +BM ＞EM ，△BE +CF ＞EF ；（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，△AB △CD ，△△BAG ＝△G ，在△ABE 和△GCE 中 CE ＝BE ，△BAG ＝△G ，△AEB ＝△GEC ，△△ABE △△GEC （AAS ），△CG ＝AB ，△AE 是△BAF 的平分线，△△BAG ＝△GAF ，△△F AG ＝△G ，△AF ＝GF ，△FG +CF ＝CG ，△AF +CF ＝AB ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明△//CE AB （已知）△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），△()A.A.S ABD ECD △△≌，△AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC △△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE △△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB （SAS ），△AC =BE =4， 在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△6-4＜2AD ＜6+4，△1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）结论：AD =AB +DC ．理由：如图②中，延长AE ，DC 交于点F ，△AB △CD ，△△BAF =△F ，在△ABE 和△FCE 中，AEB FEC BAE F BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△FCE （AAS ），△CF =AB ， △AE 是△BAD 的平分线，△△BAF =△F AD ，△△F AD =△F ，△AD =DF ，△DC +CF =DF ，△DC +AB =AD ；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，△E 是BC 的中点，△CE =BE ，△AB △CF ，△△BAE =△G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEB △△GEC （AAS ），△AB =GC ， △△EDF =△BAE ，△△FDG =△G ，△FD =FG ，△AB =DF +CF ，△AB =5，CF =2，△DF =AB -CF =3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD到E，使得DE AD=，连接CE，易证ABD ECD∆≅∆，得AB=，在ACE∆中，AC CE+>，2AB AC AD+>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE 交AC于F，求证：AF EF=．（2）如图（4），在ABC∆中，90,A D∠=︒是BC边的中点，E F、分别在边AB AC、上，DE DF⊥，若3,4BE CF==，求EF的长．（3）如图（5），AD是ABC∆的中线，,AB AE AC AF==，且90BAE FAC∠=∠=︒，请直接写出AD与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．【答案】,CE AE；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD=，EF AD⊥【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD∆≅∆所以△BGD=△BED=△AEF=△DAC，△有AF=EF；（2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有△BDE△△CDG，所以△FCG=△FCD+△GCD=△FCD+△EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD到G，使得,DG AD=连接,BG易证,ACD GBD∆≅∆得,BG AC G DAC=∠=∠，,BE AC=,BE BG∴=,G BEG∴∠=∠,BEG AEF∠=∠,AEF EAC∴∠=∠AF EF∴=．()2如图()2，延长ED到G，使得,DG ED=连接,CG FG、易证,BDE CDG∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG==∠=∠，,DE DF⊥DF∴垂直平分,EG,FE FG∴=90,A∠=︒90,B ACB∴∠+∠=︒90,DCG ACB∴∠+∠=︒即90,FCG∠=︒在Rt FCG∆中，3,4CG BE CF===，5,FG∴=5,EF∴=()32EF AD EF AD=⊥，，理由如下：如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD△△CAD，△BG=AC，△GBD=△ACD，△DGB=△DAC，又AF=AC，△BG=AF，△△ABG=△ABD+△GBD=△ABD+△ACD=180°-△ BAC=△EAF，△在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAFBG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG△△EAF，△EF=AG=2AD，△EFA=△DGB=△DAC，△△DAC+△PAF=180°-△FAC=180°-90°=90°，△△EFA+△PAF=90°，△△APF=90°，△EF△AD ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
倍长中线法(经典例题)87297教案资料
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
中线有关的辅助线——倍长中线
中线有关的辅助线——倍长中线倍长中线1．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB 于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）试判断△EMF是什么形状的三角形，并证明；（2）以线段BE、EF、FC为边能否构成直角三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E、F分别为AB、AC 上的点，且ED⊥FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．5．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．6．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）．7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．三线合一1．如图，点P是等腰Rt△ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足为E、F，设点D为BC中点，求证：△DEF是等腰直角三角形．2．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．3．如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．5．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．中线有关的辅助线——倍长中线一．解答题（共7小题）1．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD=∠G，BG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB 于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．【分析】作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG=CF，只要证明BG=CM，CF=CM 即可．【解答】证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B=∠MCE，∵E是BC中点，∴BE=EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG=CM，∵AD∥EF，∴∠1=∠FGA，∠2=∠F，∵∠1=∠2，∴∠F=∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA=∠M，∴∠F=∠M，∴CF=CM，∴BG=CF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）试判断△EMF是什么形状的三角形，并证明；（2）以线段BE、EF、FC为边能否构成直角三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．【分析】（1）连接AM，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△AFM≌△BEM，就有EM=FM，进而得出△EMF是等腰直角三角形；（2）由△AFM≌△BEN可以得出BE=AF，再通过证明△AME≌△CMF就可以得出AE=CF，就可以得出结论．【解答】解：（1）△EMF是等腰直角三角形理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴AB=AC，∠B=∠C=45°．∵点M为BC边上的中点，∴AM=MB=MC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=45°，∴∠B=∠C=∠BAM=∠CAM．∠AME+∠BME=90°．∠AMF+∠CMF=90°∴ME⊥MF∴∠EMF=90°，∴∠AME+∠AMF=90°，∴∠BME=∠AMF，∠AME=∠CMF．在△AFM和△BEM中，，∴△AFM≌△BEM（ASA），∴FM=EM．∵∠EMF=90°，∴△EMF是等腰直角三角形；（2）线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．∵△AFM≌△BEM∴AF=BE．在△AME和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（ASA），∴AE=CF．∵∠BAC=90°，∴AE2+AF2=EF2，∴CF2+BE2=EF2．∴线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E、F分别为AB、AC 上的点，且ED⊥FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．【分析】作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，易证∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠G，即可证明△DFC≌△BDG，可得FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，易证EF=EG 和∠ABG=90°，即可解题．【解答】解：作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，∵BG∥FC，∴∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠DGB，在△DFC和△BDG中，，∴△DFC≌△BDG，（AAS）∴FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，∵ED⊥FD，∴EF=EG，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°，∴△EBG为直角三角形，∴BE、EF、FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DFC≌△BDG是解题的关键．5．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【分析】延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF=FH，证△BDE≌△CDH，推出BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH ＞FH，代入求出即可．【解答】证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1=∠4=∠ADB，∠3=∠5=∠ADC，∴∠1+∠3=∠4+∠5=∠ADB+∠ADC=×180°=90°，∵∠1=∠2，∴∠3+∠2=90°，即∠EDF=∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF=FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一定的难度．6．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）．【分析】添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN，即ED=DN，得△BED≌△CND，则BE=NC；再由中垂线的性质得EM=MN，所以BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2，可得△BEM为直角三角形，即可求证．【解答】证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD=DC，∴ED=DN．在△BED与△CND中，∵∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE=NC．∵∠MDN=90°，∴MD为EN的中垂线．∴EM=MN．∴BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2，∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°．∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．∴∠BAC=90°．∴AD2==（AB2+AC2）．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、三角形全等的判定，作辅助线是关键．7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是BM=DM且BM⊥DM；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．【解答】解：（1）∵M是EC的中点，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DM=BM．∵M是EC的中点，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案为：BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°﹣∠5﹣∠7﹣∠1，∠7=180°﹣∠6﹣∠9，∴∠8=360°﹣45°﹣（180°﹣∠6﹣∠9）﹣（∠3+∠9），=360°﹣45°﹣180°+∠6+∠9﹣45°﹣∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．。
全等三角形中“倍长中线”模型
第13讲 全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练）【基础知识】三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ， 作BE ⊥AD 的延长线于E连接BE延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD【考点剖析】1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴A C =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BACCD B A21ECD B A∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交A D 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDABD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC2、如图1，已知ABC D 中，AD 是BC 边上的中线．21ECD B A求证：2AB AC AD +>．证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD=在BDE D 和CDA D 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDA D D ≌∴BE CA=在ABE D 中，AB BE AE+>∴2AB AC AD +>．3.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．解：（1）如图，D CBA（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图，∵△BDE ≌△CDA∴BE =AC∵DE =AD∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE∴AB +AC >2AD（4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC∵AC =3，AB =5∴5-3<AE <5+3∴2<2AD <8∴1<AD <44.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．21EB CD A证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDBAD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC =EB ，∠2=∠E∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC5.如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BFD CB A21ED CB AE D CB A∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDFDF DC =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDF ≌△ADC （SAS ）∴BF =AC ，∠1=∠F∵CB 是△AEC 的中线∴BE =AB∵AC =AB∴BE =BF∵∠1=∠F∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC =AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE =∠CBF在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBFBE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△CBE ≌△CBF （SAS ）∴CE =CF ，∠2=∠3∴CE =2CDCB 平分∠DCE6.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDBAD MD =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△MDB （SAS ）∴∠1=∠M ，AC =MB∵BE =AC∴BE =MB∴∠M =∠3∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF =∠EAF7.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．FED CB A321MAB CD EF求证：AD 为△ABC 的角平分线．证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEMCE BE =ìïÐ=Ðíï=î∴△CFE ≌△BME （SAS ）∴CF =BM ，∠F =∠M∵BG =CF∴BG =BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线GFE D CB A321MAB CD E FG【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•沈丘县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（ ）A．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜10【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定和性质的应用，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．2．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对【分析】延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【解答】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，故选：B．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中线等知识点的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此题的关键．4．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）A．1＜AD＜5B．4＜AD＜6C．2＜AD＜10D．3＜AD＜6【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．5．（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，利用SAS证明ADC≌△EDB，得BE＝AC＝9，由AD＝x，得AE＝2x，在△ABE中利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE与△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．6．（2020秋•平舆县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题）7．（2021秋•九台区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 1＜AD＜5 ．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明△BDE≌△CDA是解题的关键．8．（2021秋•东莞市期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 1＜AD＜4 ．【分析】如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．【点评】此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．9．（2020秋•荣昌区校级期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 2＜AD＜4 ．【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜8，2＜AD＜4．故答案为：2＜AD＜4．【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．10．（2021秋•木兰县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM ＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ 36° ．【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，在△BMD和△AMC中，，∴△BMD≌△AMC（SAS），延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，∴∠E＝36°．故答案为：36°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添加辅助线，构造全等三角形．11．（2021秋•淅川县期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．【分析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，可证得△BDE≌△CDA（SAS），再运用三角形三边关系即可求得答案．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题关键是通过倍延中线构造全等三角形．三．解答题（共5小题）12．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．求证：BE∥CF．【分析】证明△BDE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BED＝∠CFD，由平行线的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△CDF是解题的关键．13．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．【分析】（1）求∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠BAD BAC＝20°，再求∠ADC＝∠B+∠BAD ＝60°+20°＝80°，得∠C＝∠ADC，即可证明；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，先证明△ADF≌△CDB，得AF＝BC，得AP＝AF，证出∠APF＝∠F，再得∠BPE＝∠PBE，即可证明．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．14．（2020秋•田家庵区期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 1＜AD＜5 ；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE ＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题属于综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型．15．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD的取值范围是 C A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．【分析】（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，易证明△ADC≌△BDM，得到BM＝AC；在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，即可得出AD的范围；（2）利用（1）中△ADC≌△BDM，得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，∴△ADC≌△BDM，∴BM＝AC，在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7．故选：C．（2）∵△ADC≌△MDB，∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠MFB＝∠AFE，∴∠BMF＝∠BFM，∴BM＝BF，∴AC＝BF．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法；注意此题中的辅助线的作法．能够根据全等三角形的性质，把要求的线段和已知的线段转换到一该三角形，根据三角形的三边关系进行求解．16．（2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论．【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CME（AAS），∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠M＝∠EDC，∴CM＝CD，∴AB＝CD．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．。
三角形全等之倍长中线(平行夹中点)(人教版)(含答案)
③∠D=∠ECF
B.①延长AE交BC的延长线于点F；
②AAS或ASA，△ADE，△FCE；
③AD=FC
C.①延长AE交BC的延长线于点F；
②SAS，△ADE，△FCE；
③AE=EF
D.①延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；
②SAS，△ADE，△FCE；
③AD=FC，AE=EF
A.②AAS或ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH，∠A=∠EBH；
④FG=FH
B.②SAS，△AEG，△BEH；
③AG=BH，∠A=∠EBH；
④FG=FH
C.②AAS或ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH，EG=EH；
④FG=FH
D.②ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH；
④FG=FH
∴△ABE≌△FCE（AAS）
∴__________________________
∴DF=CF+CD
=AB+CD
∵∠1=∠2
__________________________
∴AD=AB+CD
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；
②延长AE交DC的延长线于点F；
②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；
③由全等可得________________；
④结合已知条件，得EF垂直平分GH，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得________________，可得FG=AG+BF．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )
②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
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倍长与中点有关的线段
①②③④
⑤⑥
①号模型：倍长中线构造三角形全等；
②号模型：倍长类中线构造三角形全等；
③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线
④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等
⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半）
⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一）
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
【例1】已知：ABC
∆中，AM是中线．求证：
1
()
2
AM AB AC
<+．
M
C
B
【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．
F E C
B
A
【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC
于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
F
E
D
C B
A
【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，
延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =
F
E
D
B
A
【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．
G
F
E
D
C
B
A
【练3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =求证：EF ∥AB
F
A C
D E B
【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于
F ．求证：BE CF EF +>．
F
E
M
C
B
A
【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
【练2】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．
（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三
角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ （2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221
4
AD AB AC =
+． M
N
D
A
B
C
【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，
连接CE 、CD ，求证2CD EC =．
E
D
C
B A
【练1】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．
求证：2CD CE =
E
D
C
B A
山水田
园诗人
孟浩然(689～740) 唐代诗人。
孟诗绝大部分为五言短篇，多写山水田园和隐居的逸兴以及羁旅行役的心情。
孟诗不事雕饰,伫兴造思,富有超妙自得之趣，而不流于寒俭枯瘠。
他善于发掘自然和生活之美，即景会心，写出一时真切的感受。
盛唐田园山水诗，在继承陶、谢的基础上，有着新的发展，形成了一个诗派。
其代表作家中以孟浩然年辈最长,开风气之先,对当时和后世都有很大的影响。
王维（701－761），字摩诘。
王维诗现存不满 400首。
其中最能代表其创作特色的是描绘山水田园等自然风景及歌咏隐居生活的诗篇。
王维的山水田园之作，在描绘自然美景的同时，流露出闲居生活中闲逸萧散的情趣。
诗人特别喜欢表现静谧恬淡的境界，有的作品气象萧索，或幽寂冷清，表现了对现实漠不关心甚至禅学寂灭的思想情绪。
韦应物（737～792）唐代诗人，后人每以王孟韦柳并称。
其山水诗景致优美，感受深细，清新自然而饶有生意。
韦诗以五古成就最高，风格冲淡闲远，语言简洁朴素。
但亦有秾丽
秀逸的一面。
其五古以学陶渊明为主，但在山水写景等方面，受谢灵运、谢朓的影响。