倒易点阵与正格空间
§1.5 倒易点阵
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω
1.7 倒格子
为晶面族(h 中离原点最近的晶面， 设ABC为晶面族 1h2h3)中离原点最近的晶面， 为晶面族 中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 截距分别为 , , 。 在基矢 h1 h2 h3
a3 a2
由图可知： 由图可知： CA = OA− OC = a1 − a 3 h1 h3
特点：每个WS原胞只包含 个 特点：每个 原胞只包含1个 原胞只包含 格点。 格点。每个布里渊区的体积相等 （等于倒格子中WS原胞体积）。 等于倒格子中WS原胞体积）。 WS原胞体积
三维晶格的布里渊区： 三维晶格的布里渊区：
P
H
Γ
N
· ·X K
截角八面体 （正格子：面心； 正格子：面心； 倒格子：体心） 倒格子：体心）
3
(
)
a1
(2 π)3 =
4.倒格矢 与正格子中晶面族( 4.倒格矢 Kh = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与正格子中晶面族(h1h2h3) 正交， 正交，且其长度为
2π dh1h2h3
。
与晶面族( 正交： (1)证明 (1)证明 K h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交：
h1 d a1 h2 d a2 h3 d a3
cos β = cos γ =
对于立方晶系： 对于立方晶系： a1 = a2 = a3 = a 且：a 1 ⊥ a 2 ⊥ a 3
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
2 h12 h2 h32 2 d 2 + 2 + 2 =1 a a a
固体物理名词解释
一。
名词解释倒格子空间：指由倒易点阵基矢所张的空间,又叫倒易空间.其中每个倒格子基矢与正格子的一个基矢的模成反比且与另外两个正格矢正交。
配位数：直接同中心离子（或原子)配位的异性离子（或原子）的数目。
声子：晶格振动的简正模能量量子。
能带：晶体中由于电子的共有化使本来处于同一能量状态的电子产生微小差异，与此对应的能级扩展为准连续的能级而形成能带。
几何结构因子:原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。
弗仑克尔缺陷：是指晶体结构中格点粒子离开格点位置，成为间隙粒子，并在原格点处留下空位，这样的空位—间隙对就称为弗仑克尔缺陷。
肖特基缺陷：由于晶体中格点粒子热运动到表面，在原来位置留下空位，所形成的缺陷。
布里渊区：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒格矢的垂直平分面(布拉格面）包围的、围绕着原点的最小区域称为F。
B.Z(第一布里渊区)。
费米能:在绝对零度时，处于基态的单个费米子的最高能量。
费米能级：费米能级是绝对零度下电子占据态的最高能级。
费米面：波矢空间中能量为费米能的点所构成的曲面。
晶格：晶体中原子周期性排列的具体形式。
原胞：指一个晶格最小的周期性单元。
习惯上原胞常取以基矢为棱边的平行六面体.态密度:单位能量间隔内的电子态数目.波函数：量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
格波：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的,这种波就叫格波.二、论述题1、电子能带理论对认识金属、绝缘体和半导体等材料本质的意义.能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点,并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题.自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后,使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
材料分析方法4 倒易空间点阵
* hkl
O
a
A
整理课件
5
性质二证明
性质一成立，OM垂直于ABC面，
OM方向上的单位矢量为
n
rhkl
/
rhkl
O
n
c
n
C
b
M
B
a
A
OM
d hkl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA
a ha
cos kb
OA
lc
n
1
d hkl
OA n
rh*kl
h 1 d hkl
(
rhkl
整理课件
) rhkl
6
倒易矢量：
阵点无消光
A底心点阵 A底心点阵 hkl类型阵点k+l=2n+1消失
B底心点阵 B底心点阵 hkl类型阵点h+l=2n+1消失
C底心点阵 C底心点阵 hkl类型阵点h+k=2n+1消失
体心点阵 面心点阵 hkl类型阵点h+k+l=2n+1消失
面心点阵
体心点阵
hkl类型阵点hkl为奇数和偶数 混杂的时候消失
rhkl
*
ha
*
kb *
lc
*
1. rh*kl (hkl)
2. rh*kl 1 d hkl
整理课件
4
性质一证明
r同hk理l 可OA证BA：rrr(hhahhkkkllal/hBAAkObBCCB lbc/k)
OC c/ l (b / k a / h) 11 0
c
C
b
B
r (hkl)
rhkl
*
ha*
kb *
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
固体物理(第4课)倒易空间
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl•(S-S0)=u •λ 令 ，代入上式， 衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间中的位置矢量，令： 有 Rl• Gh = 2π u ( Rl和Gh 不一定平行)
布里渊区示意图2-2
返回
布里渊区示意图3-1
面心立方的倒易点阵是体心立方 倒易 离原点最近的有 ８个倒格点 ６个次邻格点
—— 第一布里渊区
—— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
返回
面心立方晶格的第一布里渊区
—— 第一布里渊区为十四面体
—— 布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格
A
a. 简立方晶格
倒易空间示意图
B
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常数为 。
c. 面心立方晶格
面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其晶胞常数为 。 示意图
布里渊区示意图1
离原点最近的倒格点有6个：±b1，±b2，±b３． b1 -b1 －b2 b2 －b３ b３
添加标题
布里渊区边界上的k点对应的电子能量是不连续的，其能隙为2|Vn|。
04
添加标题
每个布里渊区的体积都等于倒易原胞的体积，其中包含N个k点，可容纳2N个电子；
02
03
添加标题
简约布里渊区是未被分割的整块，它即是倒易点阵的维格纳－赛茨原胞；
1-4倒易点阵
gr =har *
r kb*
lcr *
四、倒易点阵
•
倒易点阵的一个点或一个矢gr量
r hA
r kB
v lC
代表正点阵的一族晶面。
• 倒易矢量的长度代表正点阵的晶面间距的倒 数，
矢量的方向代表正点阵的晶面的法线。
• 正点阵的一组二维晶面就可用一个倒易点阵 的一维矢量或零维的点来表示。
四、倒易点阵
倒易点阵中出现节点的条件的另一种表述：
倒易点阵中出现（hkl）节点的条件是，晶体中的任意一个原子必须 位于（hkl）平行晶面族的某一晶面上。
四、倒易点阵
4 实际晶体中的倒易点阵
(x, y, z)
hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,……………..）
四、倒易点阵
相当于倒易晶 胞的在（001） 面上的投影
r b
cr
r b
cr
1 d(100)
（1）
ar、br 、cr 。
（100）
四、倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢
2通过如正何点确阵定，倒可易以点得阵到：
d(100)
=ar
r b r b
cr cr
（2）
将（2）ar *=式ar 代brbr入crcr （ br1V）cr 式得到：
BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
四、倒易点阵
A （-1/2，1/2，1/2） B （1/2，-1/2，1/2） D
O
E F H G（1/2，Biblioteka /2，-1/2）四、倒易点阵
C(0,1/2,1/2)
现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法 (2)精选全文
爱瓦尔德球反映的性质
• 三个矢量的相对关系 • g代表与正空间相应的（hkl）衍射晶面的
特性：大小 方向 • 应用
14
72-Biblioteka 爱瓦尔德图解法• 倒易点阵的另一个应用 • 爱瓦尔德图解法是布拉格定律的几何表达形式
8
• 由于晶体中晶面方位，面间距不同，所以 当入射线沿一定方位入射时，可能同时存 在若干束衍射线
• 采用爱瓦尔德图解法，可求得衍射线的方 向
9
爱瓦尔德作图法
10
爱瓦尔德作图法
• 1.作倒易点阵，倒易原点为O* • 2.入射波的波矢量k＝oo* • 则以o为中心，1/λ＝半径作球
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则 • 正点阵中的每组平行晶面（hkl)在倒易点阵中只须 一个阵点就可以表示，此点处于hkl的公共法线 （倒易矢量方向上） • 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定， • 正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量 就能表示。 • 若已知某一正点阵，可求出相应的倒易点阵。
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
倒易点阵介绍
❖ 晶带定理：因为各倒易矢量都和
其晶带轴r=[uvw]垂直，固有
ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就
7
是晶带定理。
衍射条件
设:入射线波长为λ,入
射线方向为单位矢量S0,
衍射线方向为单位矢量S,
那么在S方向有衍射线的
条件是:在与S方向相垂
1
直的波阵面上,晶体中各
原子散射线的位向相同。
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
5
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正 点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b)
表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
第1章 晶体学基础-2-倒格子
22
对于等轴（立方）晶体， 有： cosΦ=(H1H2+K1K2+L1L2)/[(H12+K12+L12) (H22+K22+L22)]1/2
对于四方晶体， 有： cosΦ=c2(H1H2+H1H2)+a2L1L2/[[c2(H12+K12
电子 衍射 图
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指 两个相邻晶面间的垂直距离。 对晶面(hkl), 一般用dhkl来 表示其晶面间距。一般的规 律是，在空间点阵中，晶面 的晶面指数越小，其晶面间 距越大，晶面的结点密度越 大，它的X射线衍射强度越 大，它的重要性越大。晶面 间距在X射线分析中是十分 重要的。
20
a/2 a/4 (100)
原点
(400) (200)
原点
440 220 110
21
晶面夹角(其法线间的夹角）的计算
很复杂，
cos
*
R R H1K1L1
* H 2 K 2 L2
R R * H1K1L1
* H 2 K 2 L2
dH1K1L1 dH2K2L2 H1a* K1b* L1c* H2 a* K2 b* L2 c*
之平行六面体）体积，按矢量混 合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
倒易点阵
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,
倒易点阵
倒易点阵晶体点阵：－－实空间(用S表示) 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点 阵)； 倒易点阵：－－倒易空间(用S*表示) 根据空间点阵虚构的一种点阵。
倒易点阵 (reciprocal lattice)倒易空间 倒易晶格c* c b b* a* auu r uur uur uu r r * = ha * + k b * + lc *uur uu uu r r 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢，引入另一个点阵，显然该点阵中的点阵的方向uu r uur uu uu r r r * = ha * + kb * + lc *就是晶面 (hkl)的法线方向，该矢量指向的点阵点指数即为hkl。
倒易点阵的一个结点对应空间 点阵的一个晶面。
二维问题一维化处理倒易矢量的性质倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。
正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的 倒数。
dhkl=1/r*倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点 hkl的矢量为r* 。
r* = ha* + kb* + lc*倒易矢量的两个重要性质(1) r*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或r* 的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。
(2) r*的大小等于实际点阵面（hkl）面间距的倒数， 即:rhkl1 = d hkl倒易基矢的方向:要求倒易基矢垂直于晶面001a* ⊥ (100) b* ⊥ (010) c* ⊥ (001)c*c*c b b*a* a 100010Z立方晶格的倒易变换 （简单点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 010 H110C*Y 220 X020120 H220 110 H210 100 a*(100)210c(210) a200000正晶格倒易晶格Z立方晶格的倒易变换 （面心点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 020 H220 220 X Y(100)c(210) aC*200 000 a*正晶格倒易晶格。
聊城大学固体物理-第一章 1第四节
hu+kv+lw=0
晶带定理
证明： 根据上述结论，晶面(hkl)与下面倒格矢量垂直
Khha*kb*lc* 而晶带轴平行于晶面(hkl)，所以晶带轴与上述倒格矢量垂直，即
(u a vbw c)•(h a * kb * lc*)0
2 (h u k vlw )0
h uk vlw 0 晶带定理适用所有晶系
聊城大学物理科学与信息工程学院
P
b3 a3
O
a
b1
1
b2
a2
设a1a2， a2 a3， a3a1面族的面间距分别为d3，d1， d2。
作OP垂直a1a2面，并另OP= b3，使b3=2π/ d3。 同理，对于a2 a3面，得到b1 = 2π/ d1 ； 对于 a3a1面，得到b2 = 2π/ d2。
因此得到三个矢量 b1， b2， b3，称为倒格子基矢。
表示变量：
x1
1
2
b1
•
x
xx1a1x2a2x3a3
1
x2 2 b2 •x
1
x3 2 b3 •x
所以 V ( x 1 ,x 2 ,x 3 )V h 1 h 2 h 3 e x [ 2 p i( h 1 x 1 h 2 x 2 h 3 x 3 )]
h 1 h 2 h 3
V hh 2h 3ex i(h 1 p b 1h 2b 2h 3b 3)•x
b3
2π a
j k
a1
a 2
i
j
a2a2 ik
a3
该函数可以看成以x1、x2 、x3为变量，周期为 l 的周期函数，其傅 立叶级数表示如下：
V ( x 1 ,x 2 ,x 3 )V h 1 h 2 h 3 e x [ 2 p i( h 1 x 1 h 2 x 2 h 3 x 3 )]
第1章 晶体学基础-2-倒格子
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指 两个相邻晶面间的垂直距离。 对晶面(hkl), 一般用dhkl来 表示其晶面间距。一般的规 律是，在空间点阵中，晶面 的晶面指数越小，其晶面间 距越大，晶面的结点密度越 大，它的X射线衍射强度越 大，它的重要性越大。晶面 间距在X射线分析中是十分 重要的。
d2 HKL
a2 sin 2
b2
c2 sin 2
ac sin 2
14
晶面间距的计算
1 d HKL
RH* KL
1 d2
HKL
R* HKL
2
R* HKL
R* HKL
H a* Kb* Lc* H a* Kb* Lc*
2
2
2
H 2 a* K 2b* L2 c* 2HK a* b* 2HLa* c* 2KLb* c*
将 a*、b*、c* 的定义式代入上式，经适当运算后，即可得各
之平行六面体）体积，按矢量混 合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射 花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。
晶体简介及倒易点阵
�
例:立方晶系中的一些重要晶向
[100]: 轴向 [110]: 面对角线 [111]: 体对角线 [112]: 顶点到面心方向 在立方晶系中,如果一 个晶面指数与一个晶 向指数数值相等,符 号相同,则该晶面与 晶向互相垂直[100].
4,平面间距 d(hkl)
平面间距是指平面点阵族(hkl)中两个相邻的平行晶面间 的垂直距离.通常用d(hkl)或简写为d来表示. 点阵中所有的晶面都有自己的面间距,一般的规律是:在 空间点阵中,晶面的晶面指数越小,其晶面间距越大,晶 面的结点密度越大,它的X射线衍射强度越大,它的重要 性越大.晶面间距在X射线分析中是十分重要的.
只含一个阵点的晶胞---简单晶胞(单位晶胞, unit cell) 含有一个以上的晶胞---复杂晶胞
晶轴的选择原则
晶轴的选择不是任意的,应遵守下列原则: 1)应符合晶体所固有的对称性.因此,晶 轴与对称轴或对称面的法线重合,若无对 称轴和对称面,则晶轴可平行晶棱选取. 2)在上述前提下,应尽可能使晶轴垂直或 近于垂直,并使轴长趋于近于相等,即尽 可能趋于α=β=γ=90°,a=b=c.
小结:晶系与点阵常数的关系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 α=β=γ= 900 α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ≠ 900 α≠β≠γ≠ 900 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO45H2O
倒易点阵与正格空间
倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质:１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。
所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。
其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。
固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。
在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
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倒易点阵
将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．
倒易点阵的性质:
１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面
２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数
倒易点阵
将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数
布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。
所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。
其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。
固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。
在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。
周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。
根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。
第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。
由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。
限于第一布里渊区的波矢称为简约波矢，而第一布里渊区又叫简约区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。
布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。
简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。
它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。
7
傅立叶变换的物理意义（转）
1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。
该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。
最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函
数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代
数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算
卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快
速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、
概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
2、图像傅立叶变换的物理意义
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的
频率值较高。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由
z=f(x,y)来表示。
由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一
个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。
为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。
将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰另外我还想说明以下几点：
1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：
若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。
若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像
信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。
这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。
同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。