在球系中的旋度、散度、梯度的物理求法

(r sin A ) |r d (r sin A ) |r dr d A r | d dr A r | dr A r drd (r sin A )drd r
2 (r sin A r )drdd r 同理沿 方向的发散量为 (A r sin ) | d drd (A r sin ) | drd
u 1 u 1 u 、 、 。所以 u 的 r r r sin
────────── 收稿日期：2001-06-12 作者简介：田广志（1957-） ，男，河北省遵化市人，唐山师范学院物理系副教授。 - 52 -
田广志
王继仓：在球系中的 u 、 A 、 A 物理求法
进行： A r | dr A r | d dr (r A ) | r dr d (r A ) | r d
3 矢量场 A （ r、、 ）的旋度 A
在球系中令 A(r、、) A r r A A 。
第 23 卷第 5 期 Vol. 23 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2001 年 9 月 Sep. 2001
在球系中的 u 、 A 、 A 的物理求法
田广志 1 王继仓 2
(1.唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000；2.丰南市黄各庄中学，河北 丰南 063300) 摘 要：据梯度、散度、旋度的定义，用物理的方法给出了在球坐标系中的表达式；此方法也可以推广到其
A MP A PQ A QR A RM (A r) | d (A r) | d d (A r sin ) | d d (A r sin ) | d
（4） 、 （5） 、 （6）三式的矢量和即矢量 A 的旋 度为 A 1 A [ (sin A ) ]r r sin 1 1 A r [ (r A )] r sin r A r 1 [ (r A ) ] (7) r r
[
(r sin A ) (r A )]dd
MPQR 的面积为 r 2 sin dd ，所以 [ A] r 环流量 / 面积
(r sin A ) (r A )]dd / r 2 sin dd 1 1 A (sin A ) (4) r sin r sin 同样可以计算沿 方向的旋度， 计算环流量应 沿 MRVS 方向进行： [
梯度为 u 1 u 1 u （2） r r r r sin 2 矢量场 A （ r、、 ）的散度 A u z
S M R T P Q
V W

o
d
d

x
y 图1
在 球 坐 标 系 中 A （ r、、 ） ＝
A r r A A 。据散度的定义，空间 M 点的
A dS 散度为 A ＝ divA(M) lim S （其中 V V V M
是包围 M 的曲面 S 所围的体积） ，它的物理意义是 在单位体积中矢量 A 的发散量。如图 1 在球面坐标 系中取一体元，体积为 dV r 2 sin drdd 。下面
我们计算在此体元中 A 的发散量。 通过 通过 MPQR 的通量为它的面积乘以 Ar | r， STWV 的通量也为它的面积乘以 Ar | r+dr，则在 r 方 向的发散量为 (A r r 2 sin ) |r dr dd (A r r 2 sin ) |r dd
(6)
第 23 卷第 5 期
唐山师范学院学报
2 u
2001 年第 5 期
这个标量函数的梯度的散度，若在（ 3 ）式中令
A r (u) r

u r
、
A (u)
1 u r
、
1 u ，立即可得出： A (u) r sin
(r sin A )drdd
沿 方向的发散量为
(A r) | d ddr (A r) | ddr (rA )drdd

把三个方向的发散量加到一起，再除以 dV 即
MRVS 的面积为 r sin drd ，所以
它的正交曲面坐标系中。 关键词：球面坐标系；梯度；散度；旋度 中图分类号：0411 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2001）05-0052-03
在物理学中求解方程时经常用到 u 、 A 、 A 的表达式，尤其是在球坐标系中使用频率很 高，它们的表达式又很复杂。物理教材中经常做出 “请见有关的高等数学”这样的处理，而一般的高 等数学书又往往因涉及坐标变换运算繁琐，只给出 结果而略去了计算过程；有的文章用张量的方法推 导出一般的公式，用的是纯数学的方法；本文拟从 梯度、散度、旋度的定义出发，从物理意义上给出 它们的计算方法。 1 标量场 u 的梯度 u
参考文献：
1 2 u 1 u (r ) 2 (sin ) r 2 r r r sin 2 1 u 2 2 r sin 2
(8)
[1]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学(第三版、第二册)[M].高教出版社,1996. [2]梁昆淼.数学物理方法(第三版)[M].高等教育出版社,1998,6. [3]田晓岑,张萍.球坐标系和柱坐标系 f , (fg ), (fg), 2f 的运算公式[J].大学物理,2001,(2). [4]张春雷,杨瑞雪.正交曲线坐标系中加速度的矢量求法[J].大学物理,2000,(7).
在球坐标系中点的位置用（ r、、 ）表示， 数量场 u 是（ r、、 ）的函数 u（ r、、 ） 。据 、 （分别表示 r、、 梯度的定义 u 的梯度在 r、 增加方向的单位矢量）方向的分量为在三个方向空 间位置变化一个单位时，u 的变化量，即 u 的梯度 、 三方向的分量为 u 在三个方向的变化 在 r、 率 。 设 P' （ r dr、 d、 d ） 是 与 P （ r、、 ）非常临近的点，即 dr、d、d 都非常 （1） 小。则 PP ' drr rd r sin d 上式表示，当坐标变化（ dr、d、d ）时，r 方向空间位置变化 dr， 方向空间位置变化 rd ， 方向变化 r sin d ， 则在三个方向变化一个单位 时 u 的变化分别为
据旋度的定义，空间点 M 在 S 法向上的旋度为： A dl ( A)n rot n A(M) lim l （其中 S 为 S S M l 所围， n 为 S 的法向） 。即在 n 方向的旋度为沿 l 的环流量除以面积。据此我们可以分别求出三个方 向的旋度，而 A 是三个方向旋度的矢量和。 先计算沿 r 方向的旋度， 沿图 1 中 MPQR 的环 流量，应为
为 A （ r、、 ）在 M 点的散度。
A 1 [ (r 2 sin A r ) r sin drdd r (r sin A ) (rA )]drdd 1 1 2 (r 2 A r ) (sin A ) r r r sin 1 A (3) r sin
2
A r [ [ A] drd (r sin A )drd]/ r sin drd r 1 A r 1 (r A ) (5) r sin r r 而 方向的旋度， 计算环流量应沿 MSTP 方向
以上讨论了在球坐标系中梯度、散度、旋度的 物理求法，实际上在球系中“ ”的二阶算符也可 用上述结果很容易求出。例如 2 u ，它只不过是 u
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A r (r A )drd drd r MSTP 的面积为 rdrd ，所以 A r [ [ A] (r A )drd drd]/ rdrd r 1 1 A r (r A ) r r r
Physical Solutions of u 、 A 、 A in Sphere Group
TIAN Guang-zhi1 WANG Ji-cang2
(1. Physics Department, Tangshan Teachers College, Hebei Tangshan 063000; 2. Huanggezhuang Middle School of Fengnan, Hebei Fengnan 063300) Abstract: According to the definitions of grads, divergence and rotation, the expression in spherical coordinate system is given from the point of physics. This expression can also be extended to other normal surface coordinate systems. Key Words: spherical coordinate system; grads; divergence; rotation
责任编辑、校对：孙海祥
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