水力学第八章讲义

第八章 边界层理论基础及绕流运动

边界层是在实际流体的大雷诺数流动中，紧贴固壁存在的一个粘性起主导作用的薄流层。根据边界层的流动特征建立起来的边界层理论不仅为处理无分离的大雷诺数流动的粘性影响提供了手段，而且也给边界层外的理想流体假设提供了依据，对理论流体力学和实验流体力学的结合奠定了基础。

§8—1 边界层的概念

● 在讨论来流绕过物体的外部流动时，如果流动的雷诺数足够大，似乎有理由忽略粘性，

作理想流体假设，使问题简单易解。然而，不论流动的雷诺数大到什么程度，也不能改变无滑移物面条件必须满足这个事实，所以紧贴着物体表面，有一层薄的边界层，在边界层中流速从零迅速增大，而且雷诺数越大，边界层越薄，流速梯度越大，所以在边界层中，粘性力是必须要考虑的。而在边界层外，则完全可以作理想流体处理。 ● 边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的度量，定义为壁面起沿法向

至流速达到外界主流流速之99%处。粘性扩散的范围与νt 成比例，对于大雷诺数流

动，边界层是很薄的，除非有非常长的作用时间。

● 正因为边界层的厚度比起一般规则物体的曲率半径是很薄的，所以在局部观察边界层

内的流动时，物面就好象是平板一样。由此可见，一块平板的外部绕流问题是最重要，最基本的。

● 为限制粘性扩散的作用时间，考虑长度为l 的平

板恒定绕流。外界主流中的一个流体质点从平板前缘起顺流运动x 距离，受板面粘滞作用影响的时间为x / U ，可见边界层厚度δ将随x 增加，估计其量级为δν()()/x x

U x R ex ∝

=12

. 注意边界层的

外边界线)(x δ不是流线，它只是一个区域范围的界线。

● 边界层中的流动也存在两种流态，从前缘起自层流

开始，随x 增加，边界层越来越厚，壁面对扰动的稳定作用逐渐减弱，直至发生流态的转捩。转捩点

x C

对应的雷诺数

Ux C

ν

记为R eC ，称为转捩临界雷诺

数。影响边界层转捩的因素很多、很复杂，所以层流与紊流的转捩不是在某个断面突然发生的，而是在一个过渡区内完成的。转捩点主要依靠试验确定。一般认为转捩临界雷诺数在3×105～3×106之间。 ● 层流边界层与紊流边界层在边界层厚度、边界层内

速度分布和壁面切应力等方面有很大的区别。紊流

边界层中雷诺应力所代表的动量对流使流速分布趋于均匀，所以紊流边界层比层流边界层厚，顺流增厚的速度也比层流边界层快，相对均匀的流速分布还导致壁面切应力的增加。正因为如此，对两种流态的边界层必须分别讨论。

§8—2 边界层微分方程式

● 根据边界层的特点，对N-S 方程的各项进行量级分析，去掉高阶小量的项，简化为边

界层微分方程。首先，认为边界层厚度方向的特征长度)(l δ比长度方向的特征值l 是高一阶的小量。其次，认为边界层内流动的惯性力项与粘性力项是同阶量项。y u 比x u 小一个量级，

x

∂∂比y

∂∂小一个量级。

● 经简化，边界层微分方程为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂''-∂∂∂∂

+∂∂-=∂∂+∂∂00

]

[11y u

x

u y p

u u y u y x p y u u x u u y x y x x x y x x ρμρρ ● 因为 0=∂∂y

p

，所以 )(x p p =. 这说明边界层中一个断面上的p 都是相等的，故可用其外边界上的p 来代表。而外边界上的p 又可从边界层外部流动得到，外部流动可看成理想流体的流动，根据伯努利方程

const 2

2=+

U p

ρ

可知

x

U

U x p x p d d d d 11-==∂∂ρρ，这里U

是边界层外边界上的流速，可从外部流动解得，对于平板绕流的情况，U 是常数。 ● 将上述结果代入，边界层微分方程最终可写成

][1d d y x x x y x x

u u y

u y x U U y u u x u u ''-∂∂∂∂

+=∂∂+∂∂ρμρ. §8—3 边界层几种厚度的定义

● 位移厚度1δ ： 因为有了边界层，使通过断面的流

量比理想流体流动时减少了 ⎰-δ

d )(y u U x ，把这些流量

折合成理想流体流动通过一个厚度1δ的流量，这个厚度就叫做位移厚度。根据定义 ⎰-

=δ

δ0

1d )1(y U

u x . 因为

有了边界层，来流的流线向外排挤了位移厚度的距离，所以位移厚度也称为排挤厚度。

● 动量损失厚度δ2 ： 边界层内流动通过断面的质量流量为 ⎰δ

ρ0

d y u x ，动量通量为

⎰δ

ρ0

d y u u x x ，如果这些流量用理想流体流动速度U 运动，则动量通量为 ⎰δ

ρ0

d y u U x ，相

当于因为有了边界层，损失了 ⎰-δ

ρ0

d )(y u U u x x 的动量通量，把这些动量通量折合成理

想流体流动通过一个厚度2δ的动量通量，这个厚度就叫做动量损失厚度。根据定义

⎰

-=δ

δ02d )1(y U u

U

u x x

.

● 很显然，动量损失厚度δ2小于位移厚度1δ. 另外 1δ 和 δ2 定义式中的积分上限可换

成∞.

● 动能损失厚度3δ ：边界层内流动通过断面的质量流量为

⎰δ

ρ0

d y

u x ，具有的动能为

⎰δ

ρ0

2

d y u u x x

如果这些流量用理想流体流动速度U 运动，则具有的动能为⎰

δρ0

2

d y

U

u x ，因为有了边界层，使通

过断面的流体动能比理想流体流动时减少了⎰

-δρ0

2

2d )(y

u U u

x x

，把这些动能通量折合成理想流体流动

通过一个厚度2δ的动能通量，这个厚度就叫做动能损失厚度。根据定义⎰-=δ

δ

22

3

d )1(y U u U u x x 。 §8—4 平板边界层动量积分方程

对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘处，出口断面离前缘距离为x ，出口断面厚度为当地边界层厚度δ()x ，进口断面厚度取为出口断面的δδ()()x x -1，这样通过进口断面和出口断

面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两个断面的厚度，用它作为区域的上边界。由于是平板绕流，上边界和两断面上的压强都是常数，流体在沿程方向的受力只有板面摩擦力，所以动量方程具体化为：

⎰⎰⎰⎰⎰

-=-=+----=--)

(0

022

12)(0)

(02

)

()(0

22

d )()()(d )1(d )1(d d 1x x

x x x x x x x x

x x x U x U y U u y U u U u U

y U y u δδδδδτδρδρρρ

ρ，

即 202

d d U

x ρτδ=. 它有清晰的物理解释：平板绕流边界层中沿程单位长度上的动量通量损失等于

板面切应力。

§8—5 边界层的分离、压强阻力

● 非流线型物体绕流的边界层与平板绕流不

同，由于存在

∂∂p

x

>0 的逆压区，处于逆压区中边界层内的流速剖面会顺流变得越来越瘦削，紧贴壁面的流体越走越慢，壁面切应力则越来越小，直到分离点处，壁面切应力降为零，即

∂∂u y

x y ==0

0，边界层内的流体质

点开始脱离壁面，此后便会发生流体沿着壁面‘回流’的现象，就象我们在§7-2中讨论平面库塔流时提到 P <-1 的情况，这样边界层中从上游流来的流体在到达分离点时，受到堆积和回流的影响，只能被挤向主流，离开壁面，这就是边界层的分离。 ● 由于在分离点后的回流区、旋涡区中压强大大下降，导致绕流物体前后的压差，形成

压强阻力，也可称为形状阻力。绕流物体的阻力包括摩擦阻力和压强阻力两部分。 ●

边界层理论回答了实际流体绕流中物体阻力的成因，也对理想流体绕流中物体不受阻