高等数学参考答案

《高等数学》答案

第一章

习题1-1

1、（1）（2，5] (2)[-2,2] (3) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡311,32 (4)(- ),1()3,+∞--∞Y

2、（1）否 （2）同 （3）否 （4）否

3、[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,+∞) (2)X ∈R (3)X ∈R (4)[-1,3] (5)(-1,+∞) (6)X ∈R

4、2 0 232++x x

2312+-x x x x -2

5、1 4 -1 ⎩

⎨

⎧>≤1,41,x x x 6、(1)偶 （2）奇 （3）偶 (4)偶 8、T=3

2π

9、（1）y=

R X x ∈-,31 （2）y=)1(,1

1

≠-+x x x （3）y=R x e x ∈--,21 （4）y=x

x Log -12

，（0

)χ (2)不能 （3）y=x f 2cos 2(+

11、（1）y=x u u tan ,2

= （2）2

,x e u e y u

-==

（3）x v v u u y sin ,,arcsin ==

= （4）21,1,ln 3x v v u u y +=+==

13、⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=

==0,10,0,1)()]([x x x e f x g f x

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

>=<=1

,11,11,)]([x e

x x e x f g

习题1-2

（1）0；（2）0；（3）2；（4）∞；（5）0；（6）2 习题1-3

1、（1）0；（2）8；（3）-4；（4）

;2

1

（5）0;(6)+∞ 2、不存在),(lim ,3)(lim ,7)(lim 3

3

3

λf x f x f x x x →→→==

3、不存在x x x x

x

x x x x x

x x x x x 00000lim ,1lim lim ,1lim lim →→→→→-====++

习题1-4 9；0；2；0；412 ；6；2；21；2x ；3；32；31；0；-2；322；2；4

1；20

3032

习题1-5 1、3；25；

34；0；2；1；X ；21 2、e 1；4e ；21e e ；2

-e ；e

1 习题1-6

1、 大 小 小 大

2、1→x ∞→x

3、（1）0 （2）0

2、 当020131）；（）、（时，是无穷小。时，是无穷大；当∞→→x x 4、3

2

x x - 5、同阶无穷小；（2）同阶无穷小（3）等价无穷小

6、（1）=⎪⎩

⎪

⎨⎧>∞<=n

m n m n

m ,,0,1 （2）4 （3）23-

习题1-7

1、（1）间断点）为第二类间断点（无穷）为第一类间断点（221-==x x ）为第一类间断点（可去）（1)0(03==f x

（

4

）

1

,2,1===x x x 为可去

为二类2,2)1(=-=x f 。 2、不 3、21),,2(),2,3(),3,(+∞---∞ ∞-,5

8

4、[0,2]连续

5、2

1

2+--e （2）22-

综合练习（一）

一、1、),2()2,1()1,0(0,+∞∞-Y Y Y （ 2、-2

2,2),1arcsin(2--x 5、⎩⎨⎧<≥-2

,2,4x x x x 6、222,2x x 7、22

-x

8、x x

e e

22- 9、4 10、1),1ln(->+=x x y 11、2 12、π 13、0 14、2e

15、2 16、不存在 17、-1 18、

2

1 19、3ln 20、0,x x b y == 21、mn e 22、

2 23、2 24、e-1 25、),2(],2,1[+∞ 26、（),0(),0,+∞∞- 27、1-=x 28、1=x 29、闭区间上 30、8

e

三、1、02<≤-x 2、6>x 3、8 4、0),1ln(1)]([>-+=x e x f x

ϕ

5、(1) )1(,12≥--=x x y (2) )(),1ln(2R x x x y ∈++=

6、1

7、2

1

8、1 9、1 10、21 11、4

1- 12、21 13、2e 14、21 15、2

-e 16、a=1,b=e

17、a=2,b=-1 18、连续

)1(0)(lim 1

f x f x ==→ 19、第一，可去,0=x 20、1

四、1、r v r s 22+=π 2、⎪⎩

⎪

⎨⎧>-<<-≤≤=50

,93.05020,32.020

0,0x x x x x y

3、（1）)()()()2)()(x F x f x f x F x F x F --=--=--=（）；（

4、证：)(sin sin )()sin()(])[()2(x f x x x f x x f x f x f =-+=+++=++=+πππππ

5、证：1sin cos 2sin ,1cos 2cos 2≤≤+≥-≥+x x

x

x x

6、证明：

所以不存在。,11

1lim 11lim ,111lim ,0lim ,lim 1

10

1

10

1

10

1

1

-=+-=+-=+-=+∞=+

+

-

-+→→→→→x

x x x

x x x

x x x

x x

x e

e e

e e

e e

e

7、证明:

不存在。)(lim ),(lim )(lim ,22

)22(lim )(lim 22

22lim 2sin 2lim )2(sin 2lim cos 1lim )(lim 00000002000x f x f x f x x f x x

x x x x x

x

x f x x x x x x x x x x →→→→→→→→→→-+++---

-

-≠=+=-=•

-=-==-=

9、证明：设,1)(3

-+=x x x f 则

连续，在)1,0()(x f 表明方程使所以存在出,)()1,0(,01)1()0(00=∈<-=x f x f f ,1)(3-+=x x x f 在（0，1）至少有一个根。又由于,013)(2>+='x x f

)(x f 在[0,1]上单调增加，

从而方程0)(=x f 在（0，1）不可能有两个互异的根，即方程13

-+x x =0在（0，1）有且仅有一个根。

10、证明：设)(,)()(x F x x f x F -=在[0,1]上连续，0)1)1((010<-=f f F F ）（）（）（， 据零点存在定理，存在,0))1,0(00=∈x F x （使即方程x x f =)(在（0,1）至少有一个根。

第二章

习题2-1

1、（1）!2110∆⋅-

-=g g v （2）g v -=10(3) t g gt v ∆⋅--=2

1

100(4) 010gt v -= 2、30 3、)()1(a f '- (2) )(a f '- (3) )(3a f ' 4、（1）4

5x y =' （2）313

2x y ='

（3）3431x y -=' (4)7

1017

7x y =' 5、0322332,033123=-+-=-

-+ππy x y x 6、（1）（0，0） （2）)41

,21( （3）（)4

(,2(

2

121x x x x ++ 7、

（1）连续但不可导