多元函数积分学100题

多元函数积分学100题（附答案）

一．计算下列二重积分

1.

(1)D

x y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；

2.

22D

y d x y σ+⎰⎰

，其中2

:,1D y x y y ≤≤≤≤ 3. xy

D

xe d σ⎰⎰ ，其中1

:2,12D y x x

≤≤≤≤； 4. x y D

e d σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤； 5. D

xyd σ⎰⎰

，其中D 是由1y x =-及2

26y x =+所围成的闭区域； 6. (2)D x y d σ+⎰⎰，其中D 是由2

2y x

=及2

1y x =+所围成的闭区域；

7. 2

sin D

y d σ⎰⎰

，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域； 8．2

(3)D

x y d σ+⎰⎰

，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域；

9.

D

σ⎰⎰

，其中2

:D x y ≤≤ 10. 1

D

x

d y σ+⎰⎰

，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域； 11. 2D

y x d σ-⎰⎰

，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；

12. D xy d σ⎰⎰

，其中222:D x y a +≤；

13. 2

2

x y D

e

d σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；

14.

22

ln(1)D

x y d σ++⎰⎰

，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 15.

arctan D

y

d x σ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；

16.

D

σ，其中22:D x y Rx +≤；

17.

221

4

D

x y d σ+-⎰⎰

，其中22:1D x y +≤；

18.

D

σ，其中22:D x y x +≤；

19. D

σ，其中22

:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 20.

22D

x y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域； 21. 22

22()D

x y d a b σ+⎰⎰，其中2222:1x y D a b +≤；

22.

2

2

2

y x

dx e

dy -⎰

⎰； 23. 66

cos y

x

dy dx x

ππ⎰⎰； 24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求

D

xdxdy ⎰⎰；

25. 设212,0(,)0x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)D

f x y dxdy ⎰⎰，其中22

:2D x y x +≥；

26.

D

σ，其中D

是由0)y a a =->及y x =-所围成的闭区域；

27. 221()2

[1]x y D y xe

dxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；

28. 2

2()

22sin()x y D

e x y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；

29. )D

y d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；

30. D

ydxdy ⎰⎰

，其中D

是由曲线x =2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；

二． 计算下列三重积分

31. 2(1)d x y z υ

Ω

+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域； 32. xyzd υΩ

⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；

33. 23

xy z d υΩ

⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域； 34.

||

z e d υΩ

⎰⎰⎰

，其中Ω：2221x y z ++≤； 35. 222222

ln(1)1z x y z d x y z υΩ

++++++⎰⎰⎰，其中Ω：222

1x y z ++≤；

36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω

是由z z =

=

37. 2

2

x y e d υ--Ω

⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；

38.

zd υΩ

⎰⎰⎰

，其中Ω

是由22,z x y z =+=

39. Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由222

1x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域； 40. 2

2()x

y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；

41. υΩ

⎰⎰⎰

，其中Ω

是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域； 42. zd υΩ

⎰⎰⎰

，其中Ω：2222222

(),x y z a a x y z ++-≤+≤；

43. υΩ

，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；

44. 2

2()x

y d υΩ

+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；

45. 2

2()x

y d υΩ

+⎰⎰⎰，其中Ω

：0,0a b z <≤≥；

三．重积分的应用

46. 求球面2

2

2

2x y z ++=与抛物面2

2

z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2

2

2

2

x y z a ++=被柱面2

2

x y ax +=所截那部分面积；

48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2

y x =及直线y x =围成，面密度2

(,)x y x y μ=，求质心坐标；

49. 设球体Ω：2

2

2

2x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线2

9

,22

y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .