高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 教师版
高中数学人教版选修1-2全套教案
高中数学人教版选修1-2全套教案第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标1、知识与技能目标 认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程； （2）能正确理解回归方程的预报结果. 3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k g② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学目标：1知识与技能：会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析） 2过程与方法：通过学习会求上述的相关指数3情感态度价值观：从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
高中数学北师大版选修1-2教案-§2 数学证明
教学准备1. 教学目标知识与技能：了解数学证明的思想方法，熟悉三段论证明命题的推理形式；过程与方法：通过三段论证明方法的学习，感受演绎推理的形式，明确推理的依据；情感、态度、价值观：通过对数学证明的学习，体会三段论推理的作用，通过感受演绎证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
2. 教学重点/难点重点：正确理解“三段论”推理的形式和各部分的含义，能用演绎推理进行一些简单的推理；难点：对常见数学证明书写中的三段论给予严格、正确地解读。
3. 教学用具PPT4. 标签教学过程复习导入：1、归纳推理的定义及其特征；2、类比推理的定义及其特征；自主学习：（阅读教材P58~P59，找出疑惑之处）1、演绎推理：根据已有的和，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2、演绎推理的特征：是由到的推理。
3.三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提（M是P）——已知的_________；小前提（S是M）——所研究；结论（S是P）——根据一般原理，对_________做出的判断。
合作探究: 试分析合情推理与演绎推理的区别与联系。
精讲互动：例1.用三段论的形式写出下列的演绎推理。
（1）矩形的对角线相等，正方形是矩形，故正方形的对角线相等。
（2）函数y=x2+x+1 的图像是一条抛物线。
达标训练：1.下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.预测股票走势图.B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；C.我校高中高二级有18个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；2. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等(C) 正方形是平行四边形 (D)其它课后习题课本第59页习题3-2第1,2题。
预习第60页到第61页的《综合法》。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2
课题：综合法与分析法
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解直接证明的两种基本方法之一综合法。
（2）了解综合法得思维过程和特点。
（1）通过对实例的分析，归纳与总结，增强学生的理解思维能力。
（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题，解决问题的能力。
3．情感，态度与价值观
通过本节课的学习了解直接证明的基本方法——综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重难点】
重点：综合法的思维过程及特点；
难点：综合法的应用。
【学法指导】遵循中学生的心理特征及认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成七个小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐·
【教具准备】多媒体与投影仪
【教学过程】
ABC所在平面.
板书设计
一．导入新课五.应用举例
二．提出问题六.反馈练习
三．概念形成七.课堂小结
四．概念深化八.巩固提升。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_6
2、2、1综合法与分析法教案结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法 了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。
学习重点：综合法证明数学问题 的方法为主一. 引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义二.新知探索1、综合法的定义2、框图表示()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论三、典型例题1、证明不等式教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用不等式证明不等式问题变式训练学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想)(2:,,,,,1222zx yz xy z c b a y b a c x a c b Rc b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例4)11)(( ,, ≥++++∈+c b a c b a R c b a 求证：已知222222c c a a b x x y y z z a b b c c+++++若不等式左边分解成b a证明有关三角问题教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用综合法证明三角问题教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 学生版
目录目录 (1)考点一分析法和综合法 (2)课后综合巩固练习 (3)考点一分析法和综合法1．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为：[Q⇐P1]→[P1⇐P2]→[P2⇐P3]→…→[得到一个明显的成立条件]．2．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可表示为：[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Q n⇒Q]．3．分析法和综合法的区别综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述．1．（2019春•滁州期末）只要证1020+，5，只要证：2125<．这种证明方法是()A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法2．（2018春•未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法3．（2018春•湖北期中）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A ．①-分析法，②-反证法B ．①-分析法，②-综合法C ．①-综合法，②-反证法D ．①-综合法，②-分析法4．（2018春•龙华区校级期中）已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，21,34cos A B sin sin ααααα+==+令．则( ) A ．A B >B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定课后综合巩固练习5．（2018春•龙岗区期末）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=””索的因应是( ) A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()()0a b a c --> D ．()()0a b a c --<6．（2017春•菏泽期中）命题：“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法7．（2016•石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注:1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．1288．（2016春•邹平县校级期中）若a b c >>，则使11k a b b c a c+---恒成立的最大的正整数k 为( )A ．2B ．3C ．4D ．59．（2015春•玉田县期中）要证明“442sin cos 2sin 1θθθ-=-”，过程为：“44222222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos sin (1sin )2sin 1θθθθθθθθθθθ-=+-=-=--=-”，用的证明方法是( )A ．分析法B ．反证法C ．综合法D ．间接证明法10．（2013( )A ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法11．（2011春•金台区月考）下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．（2007春•南通期末）以下说法正确的是( )A ．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B ．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C ．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D ．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件。
人教新课标版数学高二选修1-2教师用书 第2章《推理与证明》归纳提升
推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论证明直接证明分析法综合法间接证明反证法归纳推理要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论．需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明．(2013·南昌高二检测)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ，b ，c ，则由勾股定理有：a 2＋b 2＝c 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图2－1的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．图2－1【思路点拨】 由三角形三边的平方关系，猜想四个面的关系也可能是平方关系，即S 21＋S 22＋S 23＝S 24，然后按照这个思路推证．【规范解答】 由图象可得S 1＝12OM ·ON ， S 2＝12OL ·ON ，S 3＝12OM ·OL ，S 4＝12ML ·NL ·sin ∠MLN ＝12ML ·NL ·1－cos 2∠MLN ＝12ML ·NL ·1－(ML 2＋NL 2－MN 22ML ·NL)2＝14·4ML 2·NL 2－(ML 2＋NL 2－MN 2)2.∵OM 2＋ON 2＝MN 2，OM 2＋OL 2＝ML 2，OL 2＋ON 2＝LN 2， ∴S 4＝12OM 2·ON 2＋OL 2·ON 2＋OM 2·OL 2，∴S 21＋S 22＋S 23＝S 24.【答案】 S 21＋S 22＋S 23＝S 24在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………【解析】 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .【答案】 n 2＋n类比推理出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等．需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明．已知：由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB.图2－2(1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系V P-A′B′C′V P-ABC＝______________________.(2)证明你的结论是正确的．【思路点拨】由面积关系，类比推测V P－A′B′C′V P－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC，然后由体积公式证明．【规范解答】(1)V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而V P-A′B′C′V P-ABC＝V A′-PB′C′V A-PBC＝13S△PB′C′·A′O′13S△PBC·AO＝PB′·PC′·A′O′PB·PC·AO，∵A′O′AO＝PA′PA，∴V P-A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.如图2－3(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图2－3(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加以证明．(1)(2)图2－3【解】命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图(2)中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.演绎推理均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．图2－4如图2－4所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.【思路点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论．【规范解答】同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥FA，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论图2－5已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图2－5所示，求证：EF∥平面BCD.【证明】三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论直接证明与间接证明1.方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．2．间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2013·杭州高二检测)已知α∈(0，π)，试用多种方法求证：2sin2α≤sin α1－cos α.【思路点拨】本题可分别用分析法、综合法及反证法进行证明．【规范解答】法一(分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0.∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二(综合法)∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.法三(反证法)假设2sin 2α>sin α1－cos α，则4sin αcos α>sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4cos α(1－cos α)>1，即4cos2α－4cos α＋1<0(2cos α－1)2<0，不成立．故假设错误，原不等式成立．已知a ，b 为正数，求证a 2＋b 2≥22(a ＋b )．【证明】 法一 (综合法) a 2＋b 2＝a 22＋b 22＋12(a 2＋b 2) ≥a 22＋b 22＋ab ＝12(a ＋b )2＝22(a ＋b )．法二 (分析法) 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只要证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2(a >0，b >0)， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab ，∵a 2＋b 2≥2ab 成立，∴原结论成立． 法三 (反证法) 假设a 2＋b 2<22(a ＋b )，则a 2＋b 2<12(a ＋b )2⇒a 2＋b 2<12(a 2＋2ab ＋b 2) ⇒a 2＋b 2<2ab⇒(a －b )2<0，不成立． ∴假设不成立，故原结论正确.数形结合思想在合情推理中的应用作出猜想．如图2－6所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．图2－6(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；(2)求第n层树形图的高度H n.【思路点拨】求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．【规范解答】(1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝12×22，a3＝122，a4＝123×22，所以第三层树形图的高度为H3＝a1＋a2＋a3＝5＋24，第四层树形图的高度为H4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20＋5216.(2)易知a n＋2a n＝14(n∈N*)，所以树形图中新生出的第n层高度a n＝⎩⎨⎧12n－1(n为奇数)，12n－1×22(n为偶数).所以当n为奇数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n＋12]＋23[1－(14)n－12]；当n为偶数时，第n层树形图的高度为H n＝43[1－(14)n2]＋23[1－(14)n2]．如图(1)所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)均是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是()图2－7A．25B．66C．91D．120【解析】小正方体木块叠放的规律是下一个图形比上一个图形多放4(n－1)＋1块，则有a1＝1，a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13，…，a7－a6＝25，可得a7＝91.【答案】 C。
高中数学北师大版选修1-2第三章《数学证明》ppt课件
3.(5分)由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相 等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理写出一个演 绎推理，则这个推理是_________________. 【解析】由于“三段论”推理中，大前提为一般的原形，小前 提是大前提中的特例，故②充当大前提，③为小前提，①为结 论.
答案：②③ ①
【解析】选A.大前提是错误的，因为y=logax(0＜a＜1)是减函 数.
3.下列说法正确的是( ) (A)“三段论”可以这样表示：
(B)归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊 到特殊的推理，而演绎推理则是由特殊到一般的推理 (C)证明命题函数f(x)=x2在［1,+∞)上是增函数，所依据的大 前提是f(x)=x2在［1,+∞)上满足增函数的定义，小前提是增 函数的定义 (D)在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定 是正确的
用演绎法推证： 设n为合数，令n=ml(m、l为大于1的自然数)， 则f(n)=2n-1=2ml-1 =(2m)l-1l =(2m-1)［(2m)l-1+(2m)l-2+…+2m+1］. 因为2ml-1可被2m-1整除， 又因为m＞1,l＞1, 所以1＜2m-1＜2ml-1. 据此可断定“n为合数时，f(n)是合数”为真.
4.(15分)设f(n)=2n-1(n∈N*)，试问：当n是怎样的自然数时， f(n)是合数？
【解题提示】这类探究性问题需将合情推理与演绎推理两 种方法结合起来，由归纳(或类比)获得猜想假定，通过鉴别猜 想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明. 其常见过程为：试验→归纳→猜想→证明.
【解析】取n=1,2,…,10,所得结果列表如下：
【解析】选D.选项A中小前提应是“S是M”，选项B中演绎推 理是一般到特殊的推理；选项C中大前提与小前提正好反了.
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
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歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
北师大版高中数学选修1-2课件§2证明
3.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对 角线相等.”以上推理的大前提是( B ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 【解析】由题意及“三段论”推理形式可知，大前 提是矩形都是对角线相等的四边形.
(3)结论：y具有性质P
例1 求证：一个三角形中，最大角不小于60°. 证明：
设△ABC中，A B C, 则A B C 3C， 即3C 180 ， 所以C 60 .
（1 ） （2 ） （3 ） （4）
思考：在这个例子中，哪一步为三段论推理？ 提示：在这个例子中，由（1）到（2）是三段论推理， 详细写出来是：
结论
A B C C C C 3C.
在这个例子中，由（2）到（3）也是三段论推理，省 略的大前提是“三角形的内角和等于180°”.
2 2 例2 设a1 , a2 , b1 , b2均为实数，求证 : a1a2 b1b2 a12 b12 a2 b2 .
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
1．下列说法不正确的个数为(
C)
①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到
的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，
演绎推理是合情推理的可靠性． A ．3 C ．1 B ．2 D ．0
解析：演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式 有关，不一定正确，故②不正确．
因为铜是金属,
所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为2 007是奇数, 所以2 007不能被2整除.
特殊情况
结论
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_19
第五节 直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法.(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)． 2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．提醒： 辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( )(4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．( )(5)用反证法证明结论“a ＞b ”时，应假设“a ＜b ”．( ) (6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．命题“对于任意角θ，cos 4 θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ－sin 2 θ)(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 4．(教材习题改编)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．分析法的应用 [明技法]分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．[提能力]【典例】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立． [刷好题]已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．综合法的应用 [明技法]综合法证题的思路[提能力]【典例】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若∠C ＝2π3，求证：5a ＝3b .证明：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2 B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以5a ＝3b . [刷好题](2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．(1)解：f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．则h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．故h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．反证法的应用 [明技法]用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立． [提能力]【典例】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)， 则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证． [刷好题]已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1， 即a <1，b <1，c <1， 则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.。
高中数学北师大版选修1-2教案-反证法课件
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两 个数之和为负数，与两个数之和为正 数矛盾，所以两个实数至少有一个正
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：
1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
❖ 证明1：假x设两2个, 1数 都y 不 小2 于2，则
CD交于点P，且AB、CD不是 直径.求证：弦AB、CD不被P平
A
O
D
分证. 明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结 B
OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂
这与垂直，线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在ABC 中，若C 是直角，B则 一定是锐角。
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ A．两个内角是直角
❖ B．有三个内角是直角
❖ C．至少有两个内角是直角
❖ D．没有一个内角是直角
❖ [答案] C
❖ [解析] “最多只有一个”即为“至 多一个”，反设应为“至少有两个”， 故应选C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这 两个数( )
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数
2019-2020高中北师版数学选修1-2 第3章 §2 数学证明课件PPT
§2 数学证明
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学习目标
核心素养
1.理解演绎推理的概念．(重点)
通过对演绎推理的理
2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一 解及应用，提升学生
些简单的推理．(重点)
的数学抽象和逻辑推
3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点) 理的核心素养.
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自主预习 探新知
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“三段论”证题的步骤及一般原理 1．用“三段论”证明命题的步骤 (1)理清楚证明命题的一般思路； (2)找出每一个结论得出的原因； (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来． 2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大 前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
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2．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线 的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人，由此得出 高三所有班级中的人数都超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋an1－1(n≥2)，通过计算 a2，a3， a4 猜想出 an 的通项公式 A [A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理．]
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1．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对 角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的两底角，则 ∠A＝∠B.
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[解] (1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提) 菱形是平行四边形，(小前提) 菱形的对角线互相平分．(结论) (2)等腰三角形的两底角相等，(大前提) ∠A，∠B 是等腰三角形的两底角，(小前提) ∠A＝∠B.(结论)
高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法难 教师版
目录目录 (1)考点一分析法和综合法 (2)课后综合巩固练习 (4)考点一 分析法和综合法1．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q 表示要证明的结论，则分析法可表示为： [Q ⇐P 1]→[P 1⇐P 2]→[P 2⇐P 3]→…→[得到一个明显的成立条件]． 2．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可表示为： [P ⇒Q 1]→[Q 1⇒Q 2]→[Q 2⇒Q 3]→…→[Q n ⇒Q]． 3．分析法和综合法的区别综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述．1．（2016春•邹平县校级期中）若a b c >>，则使11ka b b c a c+---恒成立的最大的正整数k 为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5等式求得其最小值等于4，故4k ．【解答】解：a b c >>，0a b ∴->，0b c ->，0a c ->，且a c a b b c -=-+-． 224bc+=a c a k a b b -+-4k ，故k 的最大整数为4， 故选：C ．4cc，是解题的难点和关键．2．（2018春•未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法B ．分析法C ．比较法D ．归纳法【分析】分析不等式的形式，判断最合适证明的方法．即证5650>，显然成立，故选：B ．【点评】本题考查反证法与分析法、综合法证明不等式的使用条件，基本知识的应用． 3．（2015春•玉田县期中）要证明“442sin cos 2sin 1θθθ-=-”，过程为：“44222222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos sin (1sin )2sin 1θθθθθθθθθθθ-=+-=-=--=-”，用的证明方法是( ) A ．分析法B ．反证法C ．综合法D ．间接证明法【分析】利用已知条件判断解题的方法即可． 【解答】解：从字面的过程看：“44222222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos sin (1sin )2sin 1θθθθθθθθθθθ-=+-=-=--=-”，用的证明方法是：综合法． 故选：C ．【点评】本题考查证明问题的基本方法，注意分析法，反证法，综合法，与间接法的区别，是基础知识方法的考查．4．若m 、2210{|1010}n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{1i a ∈，2，3，4，5，6，7}，0i =，1，2，并且636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为( ) A ．60个B ．70个C ．90个D ．120个【分析】记012{|10100}A x x a a a ==++，求实数对(,)x y 表示坐标平面上不同点的个数也就是要找636x y +=在A 中的解的个数，按10进制位考察即可． 【解答】解：记012{|10100}A x x a a a ==++，实数对(,)x y 表示坐标平面上不同点的个数等价于要找636x y +=在A 中的解的个数， 按10进制位考察即可．首先看个位，006a a +=，有5种可能．再往前看：113a a +=且226a a +=，有2510⨯=种可能， 1113a a +=且225a a +=，有248⨯=种可能，所以一共有(108)590+⨯=个解， 对应于平面上90个不同的点． 故选：C ．【点评】本题考查排列、组合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，属于中档题．课后综合巩固练习5．（2017春•鹿城区校级月考）A 是集合{1，2，3，⋯，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值是 8 ．【分析】根据A 是集合{1，2，3，⋯，14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，列举出满足条件的集合A 中元素，可得答案． 【解答】解：若1A ∈，2A ∈，根据从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列可得： 3A ∉，令4A ∈，5A ∈，则6A ∉，7A ∉，8A ∉，9A ∉， 令10A ∈，11A ∈， 则12A ∉， 令13A ∈，14A ∈， 此时A 中元素个数为8，若元素个数为9，不妨将数字从小到大排列，则由题意得：313a a -，533a a -，且3153a a a a -≠-，则517a a -； 同理957a a - 进而9114a a -，与已知中A 元素的极差为13矛盾， 故中元素个数的最大值是8 故答案为：8【点评】本题考查等差数列的定义，推理与证明，难度中档．6．（2014•三明模拟）对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为1a ，2a ，m a ⋯，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为1b ，2b ，n b ⋯，并设其中最大的数为b ．两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等； ③a 可能大于b ； ④b 可能大于a ．以上四个结论中，正确结论的序号是 ②③ （请写出所有正确结论的序号）．【分析】不妨如右图所示的5行6列的矩形数阵，则由题意可得a的最小值为6，最大为30；而b的最小值为6，最大为26，且在同一个5行6列的矩形数阵中，一定有a b，由此可得结论．【解答】解：不妨假设m行n列的矩形数阵，为右图所示的5行6列的矩形数阵，则由题意可得a的最小值为6，最大为30；而b的最小值为6，最大为26，且在同一个5行6列的矩形数阵中，一定有a b，故②③正确，而①④不正确，故答案为②③．【点评】本题主要考查分析法与综合法，判断ab的范围，是解题的关键，属于中档题．7．（2013春•大武口区校级期末）某同学在证明命题时作了如下分析，请你补充完整．，只需证明，展开得99+<+<，只需证明1418<，，【分析】把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．因为1418<显然成立，【点评】本题主要考查用分析法证明不等式的方法和步骤，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止，属于中档题．8．（2012•奉贤区一模）对于数列{}n a ，如果存在最小的一个常数*()T T N ∈，使得对任意的正整数恒有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是周期为T 的周期数列．设m qT r =+，(m ，q ，T ，*)r N ∈，数列前m ，T ，r 项的和分别记为m S ，T S ，r S ，则m S ，T S ，r S 三者的关系式 m T r S qS S =+ ．【分析】根据数列{}n a 是周期为T 的周期数列，m qT r =+，可得121221(1)2(1)12(1)()()()()m T T T T q T q T qT qT qT r q T S a a a a a a a a a a a a +++-+-++++=++⋯++++⋯++⋯+++⋯++++⋯+，从而可得结论．【解答】解：数列{}n a 是周期为T 的周期数列，m qT r =+，121221(1)2(1)12(1)()()()()m T T T T q T q T qT qT qT r q T T r S a a a a a a a a a a a a qS S +++-+-++++∴=++⋯++++⋯++⋯+++⋯++++⋯+=+m T r S qS S ∴=+，故答案为：m T r S qS S =+【点评】本题考查周期数列，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是理解周期数列的定义．9．（2008春•宁波校级期末）设i a R +∈，i x R +∈，1i =，2，n ⋯，且222121n a a a ++⋯=，222121n x x x ++⋯=，则1212,,,n na a a x x x ⋯的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ③⑤ ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1． 【分析】由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断【解答】解：由题意i a R +∈，i x R +∈，1i =，2，n ⋯，且222121n a a a ++⋯=，222121n x x x ++⋯=，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得22212n a a a ++⋯大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得22212n a a a ++⋯小于1，这与已知矛盾，故②不对； 由于③与①两结论互否，故③对⑤与②两结论互否，故正确 综上③⑤两结论正确 故答案为③⑤【点评】本题考查分析法与综合法，解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含，结合题设条件对题设中所给的结论作出判断10．（2011秋•武进区校级月考）已知a ，b ，c ，m R ∈，且满足23a b mb b c mc a b c m m-++-<<<<-，则m 的取值范围为 (-∞，0)(1⋃，2) ． 【分析】根据所给不等式，进行等价变形，确定关于m 的不等式，即可确定m 的取值范围． 解：aa b c <<0b a ∴->，0b c -<0m ∴<或12m <<m ∴的取值范围为(-∞，0)(1⋃，2)故答案为：(-∞，0)(1⋃，2)【点评】本题考查参数范围的确定，解题的关键是确定关于m 的不等式，属于中档题．。
【精编】北师大版高中数学选修1-2课件第3章推理与证明本章整合-精心整理
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证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino���s���������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否 定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字 句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻 找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗 透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思 路,增加解题途径.
高中数学 第三章 推理与证明 数学证明名师点拨课件 北师大版选修1-2
合情推理 两者紧密联系，互为依赖，互为补充
演绎推理
(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从 具体的经验中概括出来．从这个意义上可以说，没有归纳 主 推理就没有演绎推理． 要 联 (2)合情推理也离不开演绎推理，合情推理活动的目的、任 系 务和方向必须借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般 性理论知识作指导．这本身就是一种演绎活动，并且合情
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞
BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD.
【错因】 错解原因在于虽然运用的大前提正确：
在同一个三角形内，大边对大角；而AD与BD并不是同 一个三角形的两条边，即小前提并不成立，所以推理 过程错误．
【正解】 证明：因为CD⊥AB，
所以∠ADC＝∠BDC＝90°.
提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个
三段论的前提．
1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前
提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
2．在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系，只
要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正
确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°.
所以∠A－∠B＝∠BCD－∠ACD. 在△ABC中，因为AC＞BC，所以∠B＞∠A，即∠A－ ∠ B＜ 0， 所以∠BCD－∠ACD＜0，所以∠ACD＞∠BCD.
3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少有创造性， 但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论 化和系统化．
合情推理 常用形式 思维运动 过程的方 向 归纳、类比 归纳推理是从部分到整 体，从特殊到一般的推 理；类比推理是从特殊 到特殊的推理 三段论
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》优质课教案_24
人教A版选修1-2《反证法》教学设计【教学目标】知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。
【学法指导】通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。
法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.【学习过程】一、创设情境，引出课题看故事1并回答问题：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1：王戎是怎样知道李子是苦的吗?问题2：他运用了怎样的推理方法?王戎推理方法是:假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾假设“李子甜”不成立所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的看故事2并回答问题：古代有一贤臣被奸臣陷害，判了死罪，皇上念他过去有功，用抽纸片的形式决定他的命运，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒,命人在两张纸片上都写上“死”字。
人教A版高中数学选修1-2课件2.2.2
8．完成下面的反证法证题的全过程． 已知：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个全排列． 求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则______①______均为奇数， 因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数 ＝________②________ ＝________③________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．
跟踪训练
3．求证：方程2x＝3有且只有一个根． 证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根． 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3， 2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2 ＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；
11．已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 中至少有 一个大于 0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 得a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0， 即a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾， ∴a，b，c中至少有一个大于0.
(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初 始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯 一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一 个”等字眼的问题．
使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反 证法的前提，常见“反设词”如下：
原 ＝＞＜
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章 数学证明 参考学案
3.2数学证明学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。
由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。
但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。
其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。
三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。
这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
二、课堂训练：例1、把“函数y=x 2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF例3、已知a,b,m 均为正实数，b<a ，求证：ma mb a b ++〈三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论是直角三角形；，所以，，三边长依次为）因为（ABC ABC ∆∆54312、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_24
分析法教学设计
掌握分析法的定义、适用范围、格式 分析法和综合法的联系和区别
分析法的步骤
综合法：
综合法步骤：
五：新课讲解
不等式 ：
(a>0,b>0)的证明.
法1、综合法（学生自己完成）
法2、课件展示，学生讨论与法1的区别。
分析法：(执果索因,逆推法)
1.定义：
2.逻辑关系：
3.思维特点：
4.格式
要证：⋯⋯
只要证：⋯⋯
只需证：⋯⋯
⋯⋯显然成立
所以 结论成立
5.分析法的适用范围
①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接; ≥a +b 2
②证明中需要用哪些知识不太具体明确;
③特别是含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，常考虑用分析法.
例题讲解
例： 注意：须给出相对完整的步骤 练习：求证不等式：
.10578+>+
6．作业：书78页5、6、7
<求证:2．求证：3＋6<4＋ 5.。
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目录目录 (1)考点一分析法和综合法 (2)课后综合巩固练习 (5)考点一分析法和综合法1．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为：[Q⇐P1]→[P1⇐P2]→[P2⇐P3]→…→[得到一个明显的成立条件]．2．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可表示为：[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Q n⇒Q]．3．分析法和综合法的区别综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述．1．（2019春•滁州期末）只要证1020+，5，只要证：2125<．这种证明方法是()A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法【分析】由题意可得此种方法为执果索因的方法，即为分析法．是一种执果索因的方法，即为分析法，故选：B．【点评】注意分析法和综合法的证明步骤，正好相反，前者是执果索因，后者是由因索果．2．（2018春•未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法【分析】分析不等式的形式，判断最合适证明的方法．即证5650>，显然成立，故选：B．【点评】本题考查反证法与分析法、综合法证明不等式的使用条件，基本知识的应用．3．（2018春•湖北期中）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是() A．①-分析法，②-反证法B．①-分析法，②-综合法C．①-综合法，②-反证法D．①-综合法，②-分析法【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①-综合法，②-分析法，故选：D．【点评】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键．4．（2018春•龙华区校级期中）已知函数()|sin|f x x=的图象与直线(0)y kx k=>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，21,34cosA Bsin sinααααα+==+令．则()A．A B>B．A B<C．A B=D．A与B的大小不确定【分析】作出函数()|sin|f x x=的图象，利用函数()|sin|f x x=的图象与直线(0)y kx k=>有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系即可得到结论．【解答】解：作出函数()|sin|f x x=的图象与直线(0)y kx k=>的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，设切点为(,sin)Aαα-，即A B=．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．课后综合巩固练习5．（2018春•龙岗区期末）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=””索的因应是( ) A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()()0a b a c --> D ．()()0a b a c --<结论．【解答】解：由a b c >>，且0a b c ++=可得b a c =--，0a >，0c <．即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c --->，即证()()0a c a b -->．故选：C ．【点评】本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题．6．（2017春•菏泽期中）命题：“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法 【分析】根据综合法的定义进行判断即可．【解答】解：在证明的过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法，故选：B ．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据综合法的定义是解决本题的关键．比较基础．7．（2016•石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注:1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128【分析】利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n 的所有可能的取值．【解答】解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n 的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：B ．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力．8．（2016春•邹平县校级期中）若a b c >>，则使11k a b b c a c+---恒成立的最大的正整数k 为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5等式求得其最小值等于4，故4k ．【解答】解：a b c >>，0a b ∴->，0b c ->，0a c ->，且a c a b b c -=-+-． 224b c+=a c a ka b b -+-4k ， 故k 的最大整数为4，故选：C ．【点评】本题考查函数的恒成立问题，4c c ，是解题的难点和关键．9．（2015春•玉田县期中）要证明“442sin cos 2sin 1θθθ-=-”，过程为：“44222222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos sin (1sin )2sin 1θθθθθθθθθθθ-=+-=-=--=-”，用的证明方法是( )A ．分析法B ．反证法C ．综合法D ．间接证明法【分析】利用已知条件判断解题的方法即可．【解答】解：从字面的过程看：“44222222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos sin (1sin )2sin 1θθθθθθθθθθθ-=+-=-=--=-”，用的证明方法是：综合法．故选：C ．【点评】本题考查证明问题的基本方法，注意分析法，反证法，综合法，与间接法的区别，是基础知识方法的考查．10．（2013( )A ．综合法B ．分析法C ．间接证法D ．合情推理法以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选：B ．【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．11．（2011春•金台区月考）下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确．【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确． 根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故选：B ．【点评】本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．12．（2007春•南通期末）以下说法正确的是( )A ．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B ．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C ．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D ．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件【分析】利用综合法证题思路（执因索果）与分析法的证题思路（执果索因）及充分条件与必要条件的概念即可得到答案．【解答】解：设已知条件为P ，所证结论为Q ，综合法的证题思路为执因索果，即12n P Q Q Q Q ⇒⇒⇒⋯⇒⇒，∴在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故A 错误，B 正确； 分析法的证题思路是执果索因，即21n Q Q Q Q P ⇐⇐⋯⇐⇐⇐显然，在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故C 错误； 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的充分条件．故选：B ．【点评】本题考查分析法与综合法的应用，考查充分条件与必要条件的概念，属于中档题．。