复变函数 洛朗展式

f (z) 正向简单闭曲线，那么 dz (B) 4 2 i C ( z z0 )
A ) c4 B ) c3 1 (3) C) f ( z0 ) 3! D) 0
1
练习：
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 2. 将函数f ( z ) 在区域1 z i 内 z( z i ) in 展开为洛朗级数 . n 2 n 0 ( z i ) z3 3. 求函数f ( z ) 2 在下列要求下的级数 z 3z 2 (泰勒或者洛朗级数 )展开.
z z0
例 sin z 1 z z ( 1)n z z 3! 5! (2n 1)! sin z lim 1， z 0是函数的可去奇点， z 0 z
推论：z0为f ( z )的可去奇点 存在某一正数
2
4
2n
0 R, 使得f ( z )在0 | z z0 | 0内有界
m z z0
推论：若z0为f ( z )的m ( m 1)阶极点 1 哈 z0是 的m阶零点. 尔 f ( z ) 滨 工 P ( z ) 程 定理：设z 为函数f ( z ) 的孤立奇点， 0 大 Q( z ) 学 且点z0分别是P ( z ), Q( z )的m和n阶零点，则，
z z0
1 f (z) g ( z ) 这里 g ( z )在 z z0 m ( z z0 ) 内是解析函数且g( z0 ) 0.
ez 1 z 1 1 如f ( z ) e , f (z) 3 z z z 1 z
lim( z z0 ) f ( z ) c m , c m是不为零的复数

n1
设 c n n收敛半径为R，收敛域： R
1 1 R z z0 R1 z z0 R
n c ( z z ) 收敛域为R1 z z0 ； n 0 n1
对于Laurent级数的正幂项 cn ( z z0 )n，
n 0
o
1 2x
o
1 2x
o
1 2x
（i ) 0 z 1
(ii ) 1 z 2
(iii ) 2 z
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 在以点z 1, z 2的 例3 将 f ( z ) ( z 1)( z 2) 去心邻域内展开成Laurent级数。
(2) f ( z )
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
n m


cn ( z z0 )n (c m 0, m 1)
只有有限多个负幂次项，称z z0为m阶极点;
1 z 1 z z 例 e 1 z z n 0 n ! z 2! n!
z
3) e
1 z
解答
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 例2 将 f ( z ) 在以下圆环域 ( z 1)( z 2) ( i ) 0 z 1; ( ii ) 1 z 2; ( iii ) 2 z 内展开成z0 0点的Laurent级数。
y y 解答 y
一、 引入
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
回顾：f ( z )在z0解析 f ( z )在z0的某一个圆域
| z z0 | R内展开成z z0的幂级数。
思考：
若f ( z )在z0点不解析，但在R1 | z z0 | R2 内解析，那么，f ( z )能否用级数表示呢？
若f (z)的洛朗级数
(1) f ( z ) cn ( z z0 )
n 0 n
没有负幂次项，称z z0为可去奇点;
f ( z )在0 | z - z0 | R内解析
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
定理1：z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z ) c0
1) z 1，2) 1 z 2, 3) 1 z 1
解答
五、 孤立奇点
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
若f ( z )在z0处不解析, 但在z0的某个去心邻域 0 z z0 内解析 ,则称z0为f ( z )的孤立奇点.
例如
f (z) e
1 z
二、 洛朗(Laurent)级数（含有负幂项的级数）
哈 尔 滨 工 程 大 学 n 复 变 函 数
定义
负幂项部分
n
形如
c (z z )
n 0
c n ( z z0 )
n
c 1 ( z z 0 )
n
1
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )
1 例：f ( z ) 2 在z 0, z 1都不解析，但在 z (1 z ) 哈
尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
圆环域 : 0 z 1 内处处解析。
当 z 1, z 0时, 1 1 1 f (z) 2 2( ) z (1 z ) z 1 z
1 n 1 1 2 z 2 1 z z 2 z n , z n 0 z z | z | 1
c
2 ia p
1 f ( ) 解得：a p d p 1 2 i c ( z0 )
由此可知, 在圆环域内解析的函数展开成级数 就是Laurent级数.
注：
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
(1)当n 0时,系数cn形式上与高阶导数公式 f ( n ) ( z0 ) 相同但cn , 因为f ( z )在c内不是 n! 处处解析的.
解 1) 在z 1的(最大)去心邻域 0 | z 1 | 1
1 f (z) ( z 1)n z 1 n 0
o
1
2
x
1 2 1 ( z 1) ( z 1) z 1
2) 在z 2的（最大）去心邻域0 | z 2 | 1
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数

设其收敛半径为R2，收敛域 | z z0 | R2；
当且仅当R1 R2时，两个级数有公共收敛区域 R1 z z0 R2，称 cn ( z z0 ) 收敛。
n
R2

n
R1 R2
z0
R1
z0
R1 R2有公共收敛域
R1 R2无公共收敛域
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 1 1 1 f (z) 1 z 2 z z 2 1 ( z 2)
1 ( 1)n ( z 2)n z 2 n 0 1 1 ( z 2) ( z 2)2 z2
小结
注： (1)当R1 R2时，称 cn ( z z0 )n处处发散。
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数

n
(2) 在圆环域的边界z z0=R1, z z0=R2上,
n


cn ( z z 0 ) n， 可能有些点收敛，

有些点发散.
(3) 级数 cn ( z z0 ) 在R1 z z0 R2内的
滨 工 程 大 学 复 变 函 数
故z 0不是
1
1 sin z 的孤立奇点。
o
这说明奇点 未必是孤立的。
x
1、 孤立奇点的分类与性质
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数， 根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。
z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，
2. 同一个函数有不同的洛朗展式，这是因为在 不同的区域上的展式，这与唯一性并不矛盾。
练习：
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1. 设f ( z )在圆环域H : R1 z z0 R2内的洛朗 展开式为 cn ( z z0 ) , C为H内绕z0的任一条
n n
n n
和函数是解析的，而且可以逐项求积和 逐项求导 .
三、 洛朗级数展开定理
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
定理 设f ( z )在D : R1 z z0 R2内解析 ,则
f (z)
n
c (z z )
n 0

n
(*)
1 f (z) 其中 : cn dz( n 0, 1, 2,) n 1 2 i c ( z z0 ) c是D内绕z0的任何一条简单闭曲线 .
----z=0为孤立奇点
----z=1为孤立奇点 ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…) 都是它的奇点
1 f (z) z 1 1 f (z) 1 sin z
1 但因为lim 0, 所以在z 0不论多么小的 n n 哈 尔 去心邻域内 ,总有f ( z )的奇点存在， y
的级数称为洛朗级数
正幂项(包括常数项)部分
其中z0及cn ( n 0, 1, 2,)都是复常数
收敛域：
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
对于Laurent级数的负幂项部分 c n ( z z0 )

n
1 令 z z0
n1
n n c ( z z ) c n n 0 n1 n1
f (z)
可表示为
n
an ( z z0 )
n
(6)
z0
R2
D
设c为D内任何一条绕z0 的简单闭曲线， c
R1
c
f ( )
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
n
a ( z )
n 0

R2
D
n
沿c的正向取积分：
Байду номын сангаас
z0
R1
f ( ) 1 an d p 1 n c ( z0 ) p1 d n c ( z ) 0
z 0是函数的一阶极点
z

n
n1
1 1 n 1 1 n 3 z 3 2 z 3 z (1 z ) z n0 z z
z 0是函数的三阶极点
性质：若z0为f ( z )的m ( m 1)阶极点
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
lim f ( z )
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1. Laurent级数与Taylor 级数的不同点： • Taylor级数先展开求收敛半径R, 找出唯一的收敛圆域，展开成级数。
• Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为
中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所
有使 f(z) 解析的环域，在环域上展成级数。
(2) 遇到f (z)在奇点z0的邻域内解析，需要 把 f (z)展成级数，那么就展开成Laurent 级数。
四、函数的Laurent级数展开式
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
由唯一性，将函数展开成Laurent级数， 主要用间接法。
例1
将下列函数在0 z ＋展开成洛朗级数。
sin z e 1) ; 2) 3 ; z z
第四章 级 数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
§4.3 洛朗级数 学习要点
掌握Laurent级数展开定理 熟练掌握函数的Laurent级数展开式
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 数和计算留数的基础。
(*)称为f ( z )在D : R1 z z0 R2内的Laurent 展开式, 展式右边的幂级数称为f ( z )在 D : R1 z z0 R2内的Laurent级数。
证明
展开式的唯一性
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数 就是f (z)的洛朗级数。 分析：设f ( z )在D : R1 z z0 R2内解析，