二重积分的概念及计算法(一)

习题9-1，9-2 二重积分的概念及计算法（一）

1．填空题：

（1）由二重积分的几何意义得

∫∫≤+=−−122221y x d y x σ .

（2）根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

① ，其中是三角形区域，三顶点为（1,0），（1,1），（2,0），则 ∫∫+=D d y x I σ)ln(1∫∫

+=D

d y x I σ22)][ln(D 1I 2I .

②，，其中是由∫∫++=D d y x I σ21)1(∫∫

++=D

d y x I σ32)1(D x 轴与直线围成的区域，则 1,0−==+x y x 1I 2I .

（3）化二重积分为两种不同次序下的二次积分，其中是直线D 2,==x x y 及双曲线)0(1f x x y =所围成的闭区域，= ∫∫d y x f σ),(D = （4）①交换积分次序：

∫∫−−=22221),(x x x dy y x f dx ②交换积分次序： ∫∫∫∫−=+y y

dx y x f dy dx y x f dy 20313010),(),(

2．利用二重积分的性质，估计积分的值：

∫∫++=D

d y x I σ)94(22，其中是圆形闭区域：.

D 422≤+y x 3．计算下列二重积分：

（1）∫∫+=

D d x x y I σ2)1(cos ，其中是顶点分别为（0,0）,(1,0),(1,2)和（0,1）的梯形闭区域. D （2），其中是由∫∫+=D

y x d e I σD 1≤+y x 所确定的闭区域.

4．计算二次积分∫∫101dx e dy y x y

.

5．交换积分次序，证明：

∫∫∫−−−=a

y a

x a m x a m dx x f e x a dx x f e dy 000)()()()()(. 6．设平面薄片所占的闭区域是由直线D x y y x ==+,2和x 轴所围成，它的面密度

22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量.

7．求由曲面及所围成的立体的体积.

222y x z +=2

226y x z −−= 习题9-2 二重积分的计算法（二）

1．填空题：

（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ①

∫∫≤+=+x y x dxdy x

y y x f 22222)arctan ,( ； ②{}∫∫=≤+≤=+D y x dxdy e

x y y x y x D 22,,41),(22f .

（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 ①

∫∫−=+a x ax dy y x f dx 2020222)( ，； )0(f a ②

∫∫=+101022)(dy y x f dx ； ③

∫∫=203(arctan x x dy x y f dx ； ④ ∫∫=1002),(x dy y x f dx .

2．用极坐标计算下列积分的值： （1）dxdy y x I D ∫∫+=221，其中是由曲线与直线D 2x y =x y =所围成的闭区域.

（2）

,其中是圆域及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域. ∫∫++=D

d y x I σ)1ln(22D 122≤+y x 3．选用适当的坐标计算下列各题：

（1），其中是由直线∫∫+=D d y x

I σ)(22D )0(3,,,f a a y a y a x y x y ==+==所围成

的闭区域. （2）∫∫=D d x

y x I σsin

，其中1,0,===x y x y 所围成的区域.

（3），其中由不等式确定. ∫∫−=D

d x y I σ2)(D 0,,222≥≤++≤y R y x x R y 4．计算以xoy 面上的圆周围成的区域为底，而以曲面为

顶的曲顶柱体的体积.

)0(22f a ax y x =+22y x z +=

习题9-3 三重积分（一）

1．填空题：

化三重积分为直角坐标下的三次积分，其中积分区域

∫∫∫Ω

=dv z y x f I ),,(Ω（1）由曲面及平面22y x z +=1=z 所围的闭区域，

=I ；

（2）由上半球面222y x R z −−=及xoy 坐标面所围闭区域，

=I ；

（3）由锥面及柱面所围成的在第一卦限内的闭区域， 222y x z +=12

2=+y x =I ；

（4）由双曲抛物面xy z =及平面0,1==+z y x 所围成的闭区域，

=I ；

（5）由曲面及所围成的闭区域， 2

22y x z +=22x z −==I ；

2．计算下列三重积分：

（1）

，其中是由平面∫∫∫Ωxdxdyd Ω0,0,0===z y x ，以及1=++z y x 所围成的闭区域.

（2），其中是由平面∫∫∫Ω

zdxdydz Ω1,,0===y y z z 以及柱面闭区域. 2x y =3．若Ω为m z l d y c b x a ≤≤≤≤≤≤,,，证明：

∫∫∫∫∫∫=Ωb a d c m

l dz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321，.

4．利用“先二后一”的方法计算下列三重积分：

（1），其中Ω是两个球面：和围成的闭区域.

∫∫∫Ω

=dxdydz z I 21222≤++z y x z z y x 2222≤++（2）

，其中：曲面与平面∫∫∫Ωdv e x 3Ω222z y x +=1=x 围成的闭区域.

习题9-3 三重积分（二）

1．填空题：

（1）利用柱面坐标化三重积分为三次积分并算出结果：

①为柱面与平面Ω122=+y x 1,0==z z 所围成的在第一卦限内的闭区域，

∫∫∫Ω

=xydv ；

②是由曲面及所围的闭区域

Ω22y x z z −−=22y x z +=∫∫∫Ω

=xdv ；

（2）是由曲面Ω222y x z −−=与所围成，在指定的坐标系下，将化为三次积分：

22y x z +=∫∫∫Ω

=zdv I ①直角坐标系=I ；

②柱面坐标系=I ；

③球面坐标系=I .

2．选用适当的坐标计算下列三重积分：

（1），其中∫∫∫Ω−=

dv y x I )(22Ω是立体及的公共部分.

22222b z y x a ≤++≤)0(0b a z p p ≥（2），其中为所围的闭区域. ∫∫∫Ω=

zdv I Ω)0(,222f h h z z y x ==+（3）∫∫∫Ω++=

dv z y x I 222，其中Ω是曲面所围成的闭区域. z z y x =++222（4）∫∫∫Ω++=dv y x z

I 22，其中Ω是柱面22x x y −=及平面),0(f a a z =

0,0==y z 所围成的闭区域.