第一章生存模型的概念及生存模型数学

常运行的概率Pr（T＞t）可以记为：
S(t) Pr(T t)
（1.1.1）
上式中显然有：
（）T≥0 （）S（0）=1 （）S（t）是t的非增函数，且
lim S (t) 0
t
•
随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。
S（t）为生存函数。
• 1.1.2精算生存函数
•
一、对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来
例1.3 某产品的寿命生存函数 为S(x) 1 0.0025x2, 0 x 20,该产品中位数年龄(中值年龄)时的未来期 望寿命是多少？
• 1.3参数生存模型举例:
• 1.3.1均匀分布
• 均匀分布的概率密度函数为
1
f (t) ba
t a,b
0 其他
其性质：
F (t) S(t)
(t)
第一章 生存模型的概念及生存模型
1.1 生存模型
• 1.1.1 生存状态和生存模型
• 一、生存状态
•
从数学的角度来看，生存状态是一个简单的
过程。这个过程具有以下的特征：
•
1、存在两种状态：生存与死亡。
•
2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，
也就是说我们可以说出他们的状态。
•
3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状
态，但不能相反。
•
4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所
以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的
研究。
• 二、 生存模型：是一类特殊随机变量的概率分 布；是对生存过程建立的一个数学模型。
•
假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至
报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或
失效的时间，则该设备在任意时刻t（t≥0）仍正
四、累积危险函数 (t)
t
（t） ( y)dy ln S(t) 0
则 S(t) e(t)
五、T的矩和方差
一阶矩
0
E(T ) t f (t)dt e0 0
0
e0 也称为出生婴儿未来寿 命的完全期望。
二阶矩
E(T 2) t t2 f (t)dt 0
由此T的方差
Var(T ) E(T 2 ) E(T )2
生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。
• 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为
•
F0（t） =P（T0≤t）（1.1.2）
• F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的 概率。
•
未来生存时间超过t年的概率就是S0（t），就
是生存函数或生存分布：
•
S0（t）= P（T0＞t）=1- F0（t） （1.1.3）
E(T )
Var(T )
f(x)
a
0
b
x
F(x) 1
a
b
x
• 1.3.2指数分布 • 其生存分布函数为
S(t) et ,t 0, 0
其密度函数为：
f
(t)
d dt
S (t )
et
为常死力。
f(x)
λ
0
x
F(x) 1
0
x
• 例1.4 对于指数分布，证明
E(T )
1
,Var(T )
1
2
•
通常S0（t）可以表示为S（t）； F0（t）可以
表示为 F（t） 。这是新生婴儿的生存模型和分布函
数。
•
二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间
定义为Tx，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x） 。
•
F（t;x） =P（Tx≤t）（1.1.4）
•
F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概
• 六、中位数 • 如果Pr（T＞y）=Pr （T≤y）=1/2，则
称y为随机变量的中位数 • 有 S（y）=F（y）= ½
七、死力x，也就是危险率函数 (x)
x
d dx
S
(
x)
S(x)
d dx
ln S(x)
八、期望寿命
出生婴儿未来寿命的期 望值：
0
e E(x) xf (x)dx 0
0
x岁的人的未来寿命的期 望值
• 1.3.3 Gompertz分布 • 特征： (x) Bcx, x 0, B 0,c 1
生存分布函数为：
• 1.3.4
x
S(x) exp[
(
y)dy]
exp[
B ln c
(1
c
x
)]
0
Makeham分布
•
Weibull分布
1.4条件度量和截尾分布
• 1.4.1条件概率和密度
•
如果某人已生存到x岁，他在n年后仍生存的
概率Pr，我们将条件概率用nPx表示，则：
p n x
S ( xn) S(x)
相对应的死亡概率为：
nqx
1n px
S ( x)S ( xn) S(x)
条件概率n px与无条件概率S(n; x)的区别： 相同点：都是求 x岁人活到x n岁的概率。
0 f ( y)dy 1
三、危险率（死力）
(t)
f (t) S (t )
d dt
S (t )

S (t )
d dt
ln
S
(t)
两边积分得：
0t （y）dt ln S(t)
或
t
S(t) exp ( y)dy
0
f (t)与（t）的区别：（t）是以生存到t为条件的
；f (t)是无条件的（只是给定 条件t 0是生存）。
e 0
x
t
dS (t:x) dt
dt
t
dS (t x )
dt
S( x)
dt
0
0
例1.1 设某随机变量x生存函数S(x) ax3 b, 0 x k,若x的数学期望值为90，则x的方差 为多少？
例1.2 设x1和x2是两个相互独立的随机变量， 如果 Y min(X1, X2),证明：Y的生存函数是 X1与X 2生存函数的乘积。
•
二、多个伴随变量的生存模型
•
S（t；x1，x2，…，xm）
• 1.1.4研究方法
• 一、横向研究：适用大样本空间
• 1、选择一个独立人群
• 2、选取一个观察期
• 二、纵向研究：
• 1、确定一个特殊的人群
• 2、对每个对象进行观察直至死亡
• 1.2 T的分布函数
• 一、S（t）的性质
• 由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有
率。
•
一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的
概率就是或S(t;x)，就是生存函数：
•
S（t;x）= P（Tx＞t）=1- F（t;x） （1.1.5）
•
S（x+t）= S（x） S（t;x）
（1.1.6）
• 1.1.3生存函数的形式
•
一、参数生存模型：S（t）
• 实际运用中，用表格描述生存模型
•
S（0）=1，S（+∞）=0.
• 令F（t）=Pr（T≤t），
• 有F（t）==1- S（t）
• 上式有： F（0）= 0，F（ +∞ ）=1
• 二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数：
f
(t )
d dt
F (t)
d dt
S (t)
（t≥0）
• 从而有
t
F (t) 0 f ( y)dy
S(t) t f ( y)dy