北师大版数学高一必修4知识必备 1.7正切函数
数北师大必修4例题与探究：1.7正切函数
典题精讲1.如何快速作出正切函数的图像？剖析：我们知道五点法可以快速画出正、余弦函数的图像的草图.正切函数的图像不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图像.其突破方法是从正切函数的图像和性质上来分析，找出画草图的方法.由于正切函数的定义域为{x|x≠2π+kπ,k ∈Z }，所以函数的图像被垂直于x 轴的直线x=kπ+2π (k ∈Z )所隔开，但两端连续的无限接近这些平行线，所以直线x=kπ+2π(k ∈Z )称为正切函数的渐近线.画正切函数的图像时，也是先画一个周期的图像即函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，再把这一图像向左、右平移（每次平移π个单位长度），从而得到正切函数的图像.函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的作图，通过图像的特点将发现,函数的图像过(-4π,-1),( 4π,1),(0,0)三点，以直线x=±2π为渐近线，这样根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图像的草图.2.为什么正切函数的最小正周期是π？剖析：疑点是正切函数是周期函数，是否还有比π更小的正周期.其突破方法是利用反证法，结合周期函数的定义来理解、分析.∵tan(x+π)=tanx ，∴正切函数是周期函数，π是一个周期.假设存在一个非零常数T ，且0＜T ＜π,使对任意x ∈(kπ-2π,kπ+2π）(k ∈Z )，总有tan(x+T)=tanx 成立.不妨令x=0，则tanT=tan0=0，则T=kπ(k ∈N *).∴T=kπ≥π，这与假设0＜T ＜π矛盾.∴假设不成立,即正切函数的最小正周期是π.典题精讲例1(2005湖南高考卷，文2)tan600°的值是（ ） A.33- B.33 C.-3 D.3 思路解析：运用诱导公式化为锐角求值.tan600°=tan(180°×3+60°)＝tan60°=3.★答案★：D变式训练1tan(323π-)=____________. 思路解析：tan(323π-)=-tan 323π=-tan(7π+3π)=-tan 3π＝-3.★答案★：-3变式训练2比较tan(413π-）与tan(517π-)的大小. 思路分析：同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.解：∵tan(413π-)=-tan 4π,tan(517π-)=-tan 52π, 又∵0＜4π＜52π,y=tanx 在(0, 2π）内单调递增， ∴tan 4π＜tan 52π. ∴-tan 4π＞-tan 52π， 即tan(413π-)＞tan(517π-). 例2（经典回放）若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限思路解析：利用sinθ和cosθ的符号确定θ所在的象限.方法一：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0或sinθ＜0，cosθ＜0.当sinθ＞0且cosθ＞0时，θ在第一象限；当sinθ＜0且cosθ＜0时，θ在第三象限.综上可得θ在第一、三象限. 方法二：sinθcosθ＞0⇔θθcos sin ＞0⇔tanθ＞0，则θ在第一、三象限. ★答案★：B绿色通道：已知同角的某两个三角函数积或商的符号，可通过分类讨论来确定判断此角所在的象限；还可以把已知两个三角函数积或商的符号化归为此角的另一个三角函数值的符号后，再判断此角所在的象限.变式训练1若sinθtanθ＜0，则θ在（ ）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、三象限思路解析：方法一：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ＜0，tanθ＞0或sinθ＜0，tanθ＞0.当sinθ＞0，tanθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，tanθ＞0时，θ在第三象限.综上，可得θ在第二、三象限.方法二：sinθtanθ＜0⇔θθtan sin ＜0⇔cosθ＜0，θ在第二、三象限. ★答案★：D变式训练2已知点P （tanα，cosα）在第三象限，则|tan2α|等于（ ） A.tan 2α B.-tan 2α C.±tan 2α D.2tan α 思路解析：由于点P 在第三象限，则tanα＜0,cosα＜0，所以α的终边在第二象限，则2α在第一、三象限，则tan2α＞0，则有|tan 2α|=tan 2α. ★答案★：A 例3求函数y=tan(3x-3π）的定义域、值域，并指出它的单调性. 思路分析：利用整体原则，把3x-3π看作一个整体. 解：令3x-3π≠kπ+2π (k ∈Z )，得x≠3πk +185π， ∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠3πk +185π,k ∈Z },值域为R. 由y=tanx ，x ∈(kπ-2π,kπ+2π）(k ∈Z )是增函数， ∴令kπ-2π＜2x-3π＜kπ+2π(k ∈Z )， 即2πk -12π＜x ＜2πk +125π(k ∈Z ). ∴函数的单调递增区间为(2πk -12π,2πk +125π)(k ∈Z ). 绿色通道：函数y=Atan(ωx+φ)（其中，A≠0,ω＞0）的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A ＞0(A ＜0)时，y=tanx(x≠2π+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）. 变式训练1(2006全国高考卷Ⅰ，理5)函数f(x)=tan(x+4π)的单调增区间为（ ） A.(kπ-2π,kπ+2π),k ∈Z B.(kπ,(k+1)π),k ∈Z C.(kπ-43π,kπ+4π),k ∈Z D.(kπ-4π,kπ+43π),k ∈Z 思路解析：利用整体策略，令kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π (k ∈Z )，得kπ-43π＜x ＜kπ+4π. ★答案★：C变式训练2(2005全国高考卷Ⅱ，理4)已知函数y=tanωx 在（-2π，2π）内是减函数，则（ ） A.0＜ω≤1 B.-1≤ω＜0 C.ω≥1 D.ω≤-1思路解析：若ω使函数y=tanωx 在（-2π，2π）内是减函数，则有ω＜0，并且周期T=||ωπ≤2π-（-2π）=π.则-1≤ω＜0. ★答案★：B问题探究问题正切函数的图像关于原点、(±2π、0)、（±π,0）成中心对称图形.结合正切函数的图像，你发现正切函数的图像还有其他对称中心吗？导思：结合正切函数的图像，先进行归纳、猜想，再利用对称的定义加以证明你的猜想. 探究：由于正切函数是奇函数，则其图像关于原点对称.设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=tanx 图像上任意一点，则y 0=tanx 0.那么点P(x 0,y 0)关于点(2π,0)的对称点M(π-x 0,-y 0)， ∵tan(π-x 0)=-tanx 0，∴tan(π-x 0)=-y 0，即点M(π-x 0,-y 0)也在正切函数y=tanx 图像上.∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=tanx 图像上任意一点，∴正切函数的图像关于(2π,0)成中心对称图形. 同理，可证正切函数的图像关于(-2π,0)、(±π,0)成中心对称图形. 如图1-6-5所示，观察正切函数的图像.图1-6-5归纳：原点、（±2π,0)、(±π,0)的坐标都可写成(0×2π,0)、(±1×2π,0)、(±2×2π,0)的形式，可猜想(2πk ,0)(k ∈Ｚ)都是正切函数图像的对称中心. 证明：设点P(x 0,y 0)是正切函数y=tanx 图像上任意一点，则y 0=tanx 0. 那么点P(x 0,y 0)关于点(2πk ,0)的对称点M(kπ-x 0,-y 0)， ∵tan(kπ-x 0)=-tanx 0,∴tan(kπ-x 0)=-y 0，即点M(kπ-x 0,-y 0)也在正切函数y=tanx 图像上.∵点P(x 0,y 0)是正切函数y=tanx 图像上任意一点，∴正切函数的图像关于(2πk ,0)(k ∈Z )成中心对称图形. 也可看出：正切函数图像的任意相邻的两个对称中心正好相差半个周期.。
高中数学下学期 1.7.11.7.2正切函数的图象与性质课件 北师大版必修4
3.正切函数是奇函数,图像关于原点对称,并且 有无穷多个对称中心,对称中心坐标是k2π，0(k ∈Z).正切函数的图像无对称轴,但图像以直线 x ＝kπ＋π2(k∈Z)为渐近线.
◎求函数 y＝ 3tan x＋ 3的定义域.
1.已知角 α 的终边过点 P(－3cos
θ,4cos θ),其中 θ∈π2，π,求 sin α,cos α,tan α 的 值.
解析: 因为 θ∈π2，π,所以 cos θ<0, 所以 r＝ －3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－
5cos θ. 于是 sin α＝－4c5ocsosθθ＝－45,cosα＝－ －35ccooss θθ＝
2.正切函数的图像:如图所示.
3.正切函数的性质:如下表所示
函数 性质
y＝tan x
定义域 值域
x|x≠kπ＋π2，x∈R,(k∈Z) _R__
周期 奇偶性
_π_ _奇__函__数___
单 增区间 调 性 减区间
kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)
无
1.角 θ 的终边经过点(－ 23,12),那么 tanθ 的值
1.如图,若角α的终边与单位圆 交于P(a,b),则sin α＝__b,cos α＝ _a_,若PQ⊥x轴,则QP为_正__弦__线__, OQ为_余__弦__线__. 2.正弦函数y＝sin x和余弦函 数y＝cos x都是_周__期___函数, _2_k_π_(_k_∈__Z_)都是它们的周期,最 小正周期都是_2_π_.
由 kπ－π2<12x－π6<kπ＋π2,k∈Z 得 2kπ－23π<x<2kπ＋43π,k∈Z. 所以函数 y＝tan12x－π6的单调增区间为 2kπ－23π，2kπ＋43π(k∈Z).
数学必修四北师大版 1.7 正切函数
（ ， ） 22
2、利用单位圆平移正切线
3、连接正切线的终点
第二步：将图像拓展到 整个定义域内
1、选择一个周期（
2
， 2
）
，分成（8）等分
y
文明
勤奋
博学
创新
1
A
0'
3 28 48
0
8
4
3 8
2
x
－1
特
点
21、、介图于像直经线过原x = 点- 2
和
x=
2
之间
3、整个图像呈上升的趋势
x|x2k,kZ R
奇函数 （k， k） ,kZ 22
( k , 0)k Z 2
3.思想方法：类比归纳、数形结合
思考？
如 何 解 不 等 式 ： tanx3 ？
文明 勤奋 博学 创新
作业：
文明
勤奋
博学
创新
课本P40 习题1-7 A组 第1、2题
cos(x k ) c o s x
(其中x2k,kz)
∴正切函数是周期函数，周期为 k(k0且 kz)
最小正周期为
探究活动:
文明
如何作出正切函数的图像呢？
勤奋
我们一起来回顾正弦函数图像的几何作法
博学
创新
第一步：画出正弦函数在一个周期内的图像
1、确定一个周期，分成若干等分 0,2
2、方法：利用单位圆，平移正弦线
3、用光滑的曲线连接正弦线的终点
1
y=sinx,x∈[0,2π]
π
2π
01
O
x
文明
勤奋
第二步：将图像拓展到 整个定义域内
博学
Hale Waihona Puke 创新y14
1.7.1正切函数的图象与性质
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到
正切函数的图象，称为正切曲线 y
1
-3/2 -
-/2
x
0 /2
3/2
-1
y=tanx
利用正切函数的图象来研究它的性质：
三、正切函数的性质：
1、定义域： x x k , k Z 2
角 的终边 3 T
Y
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
正切函数的性质：
3、周期性：k 对任意的
2 t anx t an x
x R, 且x
k , k Z 都有
最新正周期
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
a
一.正切函数的定义
那么角α的终边与
tan
b .根据函数的定义，比值 a 是角α的函数，
其中α∈R,
y
的终边
2
k , k Z
北师大版高中数学必修四1.7正切函数课件(18张ppt)
北师大版高中数学必修四1. 7 正切函数课件(18张ppt)
值 最小 奇偶 域 正周期 性
单调区间
π
无
(3πkπ,πkπ)(kZ) (πkπ,0)(kZ)
44
42
对称中心
π 4
北师大版高中数学必修四1. 7 正切函数课件(18张ppt)
正切函数的诱导公式
角2π,2π,π与,π,角 tan 2 π ( ) 的正切函
最小正周期为
P2
4
kπkΖ,k0
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份 (2) 作正切线 (3)平移 (4) 连线
xkππ(kZ) 2
0 3 24 8
x
o 3 y
82 8 8
π 2
y
5π
π
2
2
1 3 π
3π
2
2
-01
5π
(πkπ,πkπ)(kZ)
2
22
x
正切曲线是由被相互平行的直线 ytaxn,xπ2kπ(kZ)的图像
北师大版高中数学必修四1. 7 正切函数课件(18张ppt)
!
谢 谢 指 导
§7
y
π 2
1 3 π 2
3π 2
sin MP v OP
cos OM u OP
北师大版普通高中课程标准实验教科书
-01
x
数学必修47节 P36—P42
新课导入
y
P(u,v)
ytanα，其中αR,αk,kZ.
2
OM
A(1,0)x
y
P(a,b)
b
a
OM
A(1,0) x
正切函数的定义：
根据函数的定义，比值
数学北师大版必修4课堂导学：1.7正切函数 含解析 精品
课堂导学三点剖析1.正切的性质及诱导公式【例1】 求函数y=tan(3x-3π)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 思路分析：把3x-3π看作一个整体，利用tanx 的单调性. 解：由3x-3π≠kπ+2π，得x≠3πk +185π, ∴所求定义域为{x|x ∈R ,且x≠3πk +185π,k ∈Z }，值域为R ，周期T=3π，是非奇非偶函数. 由于y=tanx,x ∈(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )是增函数， ∴kπ-2π＜3x-3π＜kπ+2π(k ∈Z ), 即3πk -18π＜x ＜3πk +185π(k ∈Z ). 因此，函数的单调递增区间为（3πk -18π,3πk +185π）(k ∈Z ). 友情提示y=Atan (ωx+φ)（其中A≠0,ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A ＞0(A ＜0)时，y=tanx(x≠2π+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）.各个击破类题演练 1求下列函数的周期：（1）y=tan 37x ； (2)y=tan(2x+3π). 解析：（1）y=tan37x =tan(37x +π)=tan ［37(x+73π)］ ∴T=73π. (2)y=tan(2x+3π)=tan(2x+3π+π) =tan ［2(x+2π)+3π］, ∴T=2π. 变式提升 1试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;(2)f(x)=x 2tanx-sin 2x.解析:(1)因为该函数的定义域是{x|x≠2π+kπ,k ∈Z },关于原点对称,且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠2π+kπ,k ∈Z },关于原点对称,又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin 2(-x)=-x 2tanx-sin 2x,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.正切函数的图象和性质的综合应用【例2】 作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.思路分析:要作出函数y=|tanx|的图象，可先作出y=tanx 的图象，然后将它在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象向上翻折（即作出关于x 轴对称的图象）就可得到y=|tanx|的图象.解析：由于y=|tanx|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈-+∈),,2(,tan ),2,[,tan ππππππk k x x k k x x (k ∈Z ),所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2π）(k ∈Z )；单调减区间为（kπ-2π,kπ］(k ∈Z).友情提示利用正切函数的图象过（-4π,-1）(4π,1)(0,0)三点且以x=-2π,x=2π为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出y=tanx 的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.类题演练 2 分别作出32π和-43π的正弦线,余弦线和正切线. 解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以Ox 轴正方向为始边作32π的终边与单位圆交于P 点,作PM ⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则sin32π=MP,cos 32π=OM,tan 32π=A T. 即32π的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为A T.(2)同理可作出-43π的正弦线,余弦线和正切线,如右图中sin(-43π)=M′P′,co s(-43π)=OM′,tan(-43π)=AT′. 即-43π的正弦线为M′P′,余弦线为OM′,正切线为AT′. 变式提升 2已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则在(0,2π)内α的取值范围是________.解析:由⎩⎨⎧<>0cos ,0tan αα得α是第三象限角.又∵0<α<2π,∴π<α<23π. 答案:π<α<23π. 3.正切函数定义域与值域【例3】 求下列函数的定义域 (1)y=tan(2x-3π); (2)y=x tan 3-; (3)y=xtan 11+; (4)y=tan(sinx).思路分析:定义域是使各个解析式有意义的自变量x 的取值范围.(1)只要使2x-3π≠2π+kπ,k ∈Z 即可;(2)只要满足⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-Z k k x x ,2,0tan 3ππ即可;(3)只要满足1+tanx≠0即可;(4)只要sinx≠kπ+2π,k ∈Z 即可. 解:(1)函数的自变量x 应满足: 2x-3π≠kπ+2π,k ∈Z , 即x≠2πk +125π(k ∈Z ).所以,函数的定义域为{x|x≠2πk +125π,k ∈Z }. (2)∵⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-Z k k x x ,2,0tan 3ππ ∴tanx≤3,∴kπ-2π<x≤kπ+3π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x|kπ-2π<x≤kπ+3π,k ∈Z }. (3)要使函数y=x tan 11+有意义, 则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+Z k k x x ,2,,0tan 1ππ 即x≠kπ-4π,且x≠kπ+2π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为,{x|x ∈R 且x≠kπ-4π,x≠kπ+2π,k ∈Z }. (4)∵无论x 取何值,-1≤sinx≤1,tan(sinx)总有意义.∴原函数的定义域为R .友情提示把正切函数的定义域当成R,或者认为y=tanx 在R 上单调递增都是错误的. 类题演练 3求函数y=)6tan(1tan π+-x x 的定义域. 解析:由题得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠≠++<≤+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠+≠+≥236242260)6tan(1tan ππππππππππππππππk x k x k x k x k k x k x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠-≠+<≤+⇒.2,3,6,24ππππππππππk x k x k x k x k 所以定义域为［kπ+4π,kπ+3π)∪(kπ+3π,kπ+2π)(k ∈Z ). 变式提升 3（1）求函数f(x)=tanxcosx 的定义域与值域；（2）求函数f(x)=|tanx|的定义域与值域.解析:（1）其定义域是{x|x ∈R ,且x≠kπ+2π,k ∈Z }. 由f(x)=xx cos sin ·cosx=sinx ∈(-1,1)， ∴f(x)的值域是(-1,1).（2）f(x)=|tanx|化为 f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--+<≤02,tan ,20,tan x k x k x x ππππ(k ∈Z ).可知，函数的定义域为{x|x ∈R ,且x≠kπ+2π,k ∈Z }，值域为(0,+∞).。
高中数学第一章1.7正切函数1.7.1_1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课件北师大版必修4
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)依题意得12x-π3≠kπ+π2,k∈Z,
所以 x≠2kπ+53π,k∈Z.
所以函数的定义域是
������
������
≠
2������π
+
5π 3
,������∈Z
.
由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞).
(2)依题意 3-tan x≥0,
所以 tan x≤ 3.
+
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z 的周期与常数 ω 的值有关,最小正周期 T=|���π���|.
(4)奇偶性:若 φ=������2π(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.
(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化
为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数
易错辨析
纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域
上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.
2.本题错解在解不等式 tan x≥- 33时,误认为 y=tan x 在整个定义域
上都是增函数而致错,正切函数应是在每个开区间
-
π 2
+
������π,
π 2
+
������π (k∈Z)上是增函数.
,
π 4
+
������π 3
(k∈Z).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错
数学北师大版必修4知识导航：1.7正切函数 含解析 精品
§6 正切函数知识梳理1.任意角的正切函数 （1）定义如图1-6-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则ab是角α的函数，称为正切函数，记为ab=tanα(α∈R ).通常用x,y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx. （2）正切线如图1-6-1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.图1-6-1（3）正切线所表示的正切值可如下确定：正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致，向上为正，向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值.（4）任意角的正切函数定义的推广图1-6-2如图1-6-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点,则tanα=xy . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数.正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.2.任意角的正切值的符号（1）用图形表示：正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.图1-6-3 （2）用表格表示3.正切函数的图像和性质(1)图像：如图1-6-4所示.图1-6-4知识导学1.复习初中学过的锐角的正切函数，本节是锐角正切函数的补充和延伸.2.任意角的正切值的符号记忆口诀：“一三正，二四负”.其含义是终边在第一、三象限的任意角正切值为正.3.三角函数值在各象限的符号的记忆方法：三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数）.。
高中数学北师大版必修四 正切函数 课件(共24张PPT)
知识点 4 正切函数的图象及特征 π (1)y＝tanx，x∈R 且 x≠ ＋kπ，k∈Z 的图象； 2
(2)正切曲线是间断的 π 正切曲线是被相互平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z)所隔开的无穷多支 2 曲线组成的． π (3)正值区间：即 y＞0 时，x∈kπ，kπ＋2(k∈Z)；负值区间：即 y π ＜0 时，x∈kπ－2，kπ(k∈Z).
变式训练 1
求函数 y＝
3－tanx的定义域．
解析：由 3－tanx≥0，即 tanx≤ 3， π π ∴kπ－ <x≤kπ＋ ， 2 3 π π 故函数的定义域为kπ－2，kπ＋3(k∈Z).
类型二 求与正切函数有关的函数的值域 5 【例 2】 求函数 y＝ 的值域． 2tan2x－4tanx＋3 思维启迪：通过换元将原三角函数化成分母上是二次函数的分式 函数，再由二次函数求值域的方法即可解决．
π 在直角坐标系中(如图所示)，如果角 α 满足：α∈R，α≠ ＋kπ(k 2 b ∈Z)，那么，角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，唯一确定比值 . a b 根据函数的定义， 比值 是角 α 的函数， 我们把它叫作角 α 的正切函数， a π 记作 y＝tanα，其中 α∈R，α≠ ＋kπ，k∈Z. 2
知识点 5 正切函数的诱导公式 (1)tan(2π＋α)＝tanα；(2)tan(－α)＝－tanα； (3)tan(2π－α)＝－tanα；(4)tan(π－α)＝－tanα； π (5)tan(π＋α)＝tanα；(6)tan2＋α＝－cotα； π (7)tan2－α＝cotα.
(2)形如 tanx＞a 不等式的求解 利用正切函数的图象，可解不等式 tanx＞a，其解题步骤是： π π ①作出正切曲线在－2，2的图象； π π ②求出在－2，2内使 tanx＝a 成立的 x 的值； π π ③利用图象确定 tanx＞a 在－2，2内的解； ④把解扩展到整个定义域内，由此也可解形如 tanx＜a 及 a＜tanx ＜b 的不等式.
高中数学第1章三角函数7正切函数课件北师大版必修4
§7 正切函数
阶 段
一
三
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学
阶 段 二
7．3 正切函数的诱导 2．能画出y＝tan xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间－π2，π2 内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
1．三点两线画图法 “三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指 x＝－π2和 x＝π2.在三点、 两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图， 然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称 变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y＝ f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得 到 y＝|f(x)|的图像．
(2)若已知Q35，45，试求tan α.
图1－7－2
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α 的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过 程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝csoins αα知其中两个，可求另一个．
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z) ，且角α的终边与
2015高中数学 1.7正切函数 课件(北师大版必修4)
＝ π π －sin2－αcos2－α
sin2α
－sin α sin2α ＝ ＝ cos α ＝－tan α＝右边． －cos α· sin α ∴原等式成立．
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵
活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于 另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都 等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异， 有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为
tan(2π＋x)＝ tan x ；
tan(－x)＝－tan x ； tan(2π－x)＝ －tan x ； tan(π－x)＝ －tan x ； tan(π＋x)＝ tan x.
要点一 例1
求正切函数的定义域
tan x－1 求函数 y＝ π 的定义域． tanx＋6 tan x≥1， π tan x＋ ≠0， 根据题意，得 6 π π x＋ ≠ ＋kπ， 6 2
2．函数y＝tan x的性质与图像见下表：
y＝tan x
图像
定义域
π x|x∈R，且x≠kπ＋ ，k∈Z 2
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π 奇函数
π π 在开区间kπ－2，kπ＋2
(k∈Z)内递增
3.正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝ tan x (k∈Z)；
π π 在－2，2内是增函数，
∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3 <tan 1.
规律方法 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增 区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一 单调区间内．
推荐-高中数学北师大版必修4课件1.7.1-1.7.2正切函数的定义 正切函数的图像与性质
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它们也存在大量的共性,如均为周期函数,y=tan x 是奇函数,它的图
像既可以类似地用正切线的几何方法作图,又可以类似于“五点法”
用“三点两线法”作简图,这里的三个点为(kπ,0),
������π
+
π 4
,1
,
������π-
π 4
,-1
,
直线x=k
π+
π 2
,
直线x=k
§7 正切函数
-1-
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
-2-
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知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解正切函数的定义,掌握正切函数的符号规律. 2.了解正切线的作法. 3.掌握正切函数的图像与性质,并能运用图像与性质求解一些简 单问题.
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123
1.正切函数
利用正切函数的定义可求下列特殊角的正切值:
α tan α
πππ 06 4 3
03 3
13
2π 3
−3
3π 4
-1
5π 6
3 −3
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知角α的终边落在直线2x+3y=0上,求tan α的值.
解若角 α 为第二象限角,在角 α 的终边上任取一点(3t,-2t)(t<0),
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12345
4 若 tan x− 3≥0,则 x 的取值范围是 .
(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
k
x
4
2
k，k
Z
解得 3 k x k，k Z
4
4
所以函数在区间
k
3
4
,
k
4
,
k
Z 上是增加的.
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则( C )
a
角α的正切值不存在.
这里的角是指的角的弧度数.
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自 变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数，我们统称它们为三角函数.
根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一 和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和 第四象限时，其正切函数值为负.
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
最小正周期是π
例1． 若 tanα ＝ 2 ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
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§6 正切函数
知识梳理
1.任意角的正切函数 （1）定义
如图1-6-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则a
b
是角α的函数，称为正切函数，记为
a
b
=tanα(α∈R ).通常用x,y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx. （2）正切线
如图1-6-1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.
图1-6-1
（3）正切线所表示的正切值可如下确定：
正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致，向上为正，向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值.
（4）任意角的正切函数定义的推广
图1-6-2
如图1-6-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点,则tanα=
x
y . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数.正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.任意角的正切值的符号
（1）用图形表示：正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.
图1-6-3
tanα x 非负半轴 0 第一象限 + y 非负半轴 不存在 第二象限 - x 非正半轴 0 第三象限 + y 非正半轴 不存在 第四象限
-
3.正切函数的图像和性质 (1)图像：如图1-6-4所示.
图1-6-4
函数
性质
y=tanx
定义域 {x|x≠
2
π
+kπ,k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数
单调性
增区间 (-2π+kπ, 2
π
+kπ)(k ∈Z ) 减区间
无
对称性 对称中心 （2
π
k ,0)(k ∈Z ) 对称轴
无
x tanx -α -tanα π-α
-tanα
知识导学
1.复习初中学过的锐角的正切函数，本节是锐角正切函数的补充和延伸.
2.任意角的正切值的符号记忆口诀：“一三正，二四负”.其含义是终边在第一、三象限的任意角正切值为正.
3.三角函数值在各象限的符号的记忆方法：
三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数）.。