锐角三角函数《复习与小结》(湘教版)

E
A D C
O
B
达标检测
2.A cos60,-tan30 是( A ).
A
关于原点对称的点B 的坐标

-
1 2
,
3 3

B


-
-
1 2
3
,
3 2
3 3


C

-
1 2
,-
3 3

D
2
,
达标检测
A
3.（2010广东中山）如图，已知 Rt△ABC中，斜边BC上的高AD 4 = 4，cosB= ，则
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之 间有何关系？ 同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系 是：正弦值等于它的余角的余弦值，余 弦值等于它的余角的正弦值. 即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB cosA＝sin（90°一A）＝sinB
二.特殊角的三角函数值
A●
45° 160
60° ● B
P
分析：作PC⊥AB于C ，∵∠A = 45°
∴∠APC=45° ∴AC=PC BC ∵cotB =
PC
∠B = 60°
3 3
45°
A
∴ BC = PC· cot60° = ∵AC + BC = AB = 160
480
PC ∴PC +
3 3 PC
┓ C
60° B
= 160
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
锐角的三角函数值 有何变化规律呢？
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？ 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
h

l
h 示，则 i tan l
h 坡度通常写成 i tan 的形式. l
例1.计算2sin30 °+tan45 ° ×cos60° 1 1 解：原式=2× +1× 2 2 步骤： 1 1 一“代”二 =1+ = 2 2 “算” 例2.若 3 tan 1 0 ，则锐角α= 30°
解：（１）
D
AD AD cos∠DAC ＝ 在Rt △ABD和△ACD中，tanB= ， AC BD AD AD 因为tanB=cos∠DAC，所以 ＝ BD AC 故 BD=AC
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， 若tanB=cos∠DAC.
A
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
12 （２）若sinC＝ ，BC=12，求AD的长. 13 12 （２） 在Rt △ACD中，因为sinC＝ 13
B
斜边c
对边a
C
一.锐角三角函数的概念
A
邻边b
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A a 对这些关系式 的正弦，记作 sin A
要学会灵活变 余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 b 式运用 cos A 余弦，记作
c
c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 a 正切，记作 tan A
点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先
3 将原式变形为tanα= ，从而求得α的度数. 3
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
∵tanB=b/a,
B 5
∴b=a· tanB=5· tan60°= 5 3 ∵ sinA=a/c, 30°
A
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦 ⑶正切 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
⑴定义
①三边间关系
锐 角 三 角 函 数
3.解直角三角形
⑵解直角三角形的依据
②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中 的应用
达标检测
1．如图所示，边长为1的小正方形构成的 网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点 1 上，则∠AED的正切值等于﹍﹍﹍。 2
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以 内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间 的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一艘 外国船只航行到P点，在A点测得 ∠BAP=450，同时在B点测得 ∠ABP=600。问此时是否要 P 向外国船只发出警告， 令其退出我国海域.
∴PC =3 3 80 (3 3 )≈101.44 > 100 ∴此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。
1.若 2 sin Байду номын сангаас2 0 ，则锐角α= 45°
2.若 tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80°
3.计算：
2 (1) sin 45 tan 60 2 cos30. 2
设AC=13k,AD=12k，所以CD=5k,又AC=BD=13k，
D
C
2 所以BC=18k=12,故k= 3 2 所以AD=12× ＝８ 3
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北 偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小 岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
14 2
人教版九年级数学
锐角三角函数
（复习课）
1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之 比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计 算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊 锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际 问题.
a （3）边角的关系： sin A c
a tan A b 归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余3个未知元素.
b cos A c
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. 解直角三角形分为两类:一是已知一边一角解直角三 角形;二是已知两边解直角三角形.
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， 若tanB=cos∠DAC. （１）AC与BD相等吗？说明理由； B
A C
12 （２）若sinC＝ ，BC=12，求AD的长. 13
1 2
0
2 6 tan
2
30 3 sin 60 2 cos 45 .
0 0
1 2 2
B A
则a= 2 ，∠B=
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
60° ，∠A= 30°.
5.如果
1 cos A 3 tan B 3 0 2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边分别BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
7 是 24
.
6
C
E D
8
方法点拨:设CE=x,则AE=BE=8-x, B 利用勾股定理求出x,再求 tan∠CBE的值.
视线 铅 直 线
仰角 俯角
水平线
视线
2.方向角 指南或北的方向线与目标方向线构成小于 90°的角,叫做方向角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向） 北
30° 西 B O 45° 南
A
东
3.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母i表
D
解：有触礁危险.
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x.
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD,
12 x 3x,
12 x 6( 3 1) 18. 3 1
5
AC=____________。 5
B
D
C
达标检测
如图所示，在正方形
网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的 值为（ 3 ） 。10
5
α
如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处， 沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发， 沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时 后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．