河南省高一上学期数学12月月考试卷
河南省洛阳第一高级中学2013-2014学年高一上学期12月月考试卷 数学 Word版含答案
x'EN命题人：王玮琪 时间：2013年12月13日一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题是真命题的是( ).A 梯形一定是平面图形 .B 空间中两两相交的三条直线确定一个平面.C 一条直线和一个点能确定一个平面 .D 空间中不同三点确定一个平面2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ).A 球 .B 三棱锥 .C 正方体 .D 圆柱3.下列命题中正确的个数是（ ）个①若直线l 上有无数个公共点不在平面α内，则//l α.②若直线l 与平面α平行,则直线l 与平面α④垂直于同一条直线的两条直线互相平行..0 .1 .2 .3A B C D4.如图'''Rt O A B ∆是一个平面图形的直观图，斜边''2O B =，则该平面图形的面积是（ ）. 1 2A B C D 5.123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )122313.,//Al l l l l l ⊥⊥⇒ 122313.,//B l l l l l l ⊥⇒⊥ 123123.////,,C l l l l l l ⇒共面 123123.,,,,D l l l l l l ⇒共点共面6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行.②CN 与BE 是异面直线. ③CN 与AF 垂直.④DM 与BN 是异面直线. 以上四个命题中正确的个数是（ ）.1 .2 .3 .4A B C D7.圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的体积是( )洛阳一高2013—2014学年高一12月月考数学试题.2.A B C D 8.已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，下列四个命题：①//,////a b b c a c ⇒. ②//,////a b a b αα⇒. ③//,////a b b a αα⇒.④//,////a a βααβ⇒. 其中正确命题的个数为（ ）.3 .2 .1 .0A B C D9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）.2 .4.2.4A B C D ππππ++10.正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长都等于 则它的外接球的表面积是（ ）1664.16 .64 ..33A B C D ππππ 11.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的体积为（ ）.672 .224 .168 .56A B C D ππππ12. 一个三棱锥的棱长均为2，四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(三棱锥的截面)的面积是 （ )A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.在长方体''''ABCD A B C D -中，,M N 分别为,''AB A D 的中点，则直线MN 与平面''A BC 的位置关系是_____________.14.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_________ (填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．15.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为________．16.已知三棱锥S ABC -的棱长均相等，E 是SA 的中点,F 为正视图ABC ∆的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角为___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图(尺寸不作严格要求)，并求该平面图形的面积．18．（本小题满分12分）如图，左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图， 它的正视图和侧视图如图（单位：cm ）. （1）求该多面体的体积；（2）证明：平面'BDC ∥平面EFG .19．（本小题满分12分）如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别为,'AB AA 的中点.求证：CE ,DF',DA 三条直线交于一点.20．（本小题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中. (1)求11AC 与1BC 所成角的大小； (2)若,E F 分别为,AB AD 的中点，求11AC 与EF 所成角的大小．21．（本小题满分12分）有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为o216的扇形，在这个圆锥中内接一个高为2的圆柱． (1)求圆锥的体积；(2)求圆锥与圆柱的体积之比.22．（本小题满分12分）如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形. (1)求证://AB 平面,//EFGH CD 平面EFGH ；(2)若4,6,,AB CD AB CD ==所成的角为o60，求四边形EFGH 的面积的最大值.参考答案 一、选择题A D A D B B C C C A B D 二、填空题13.平行 14. ①②③⑤ 15. 1:27 16. 三、解答题17. (1)分(2)侧视图(如图) (6)分其中,AB AC AD BC =⊥，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即,BC AD =是棱锥的高，AD =， 所以侧视图的面积为21322S a ==.……10分 18.(1)所求多面体的体积()311284446222323V V V cm ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正长方体三棱锥.……6分 (2)如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，依题意,E G 分别为',''AA A D 的中点. 连接,''BD B D ，则四边形''AD C B 为平行四边形，'//'AD BC ∴. ……9分,E G 分别为',''AA A D 的中点，'//AD ∴EG ，从而EG ∥'BC . EG ⊂平面EFG ，'BC EFG ⊄平面, 'BC ∴∥平面EFG . (12)分 19.连',''''A B ABCD A B C D -为正方体，''//,''A D BC A D BC ∴=，∴四边形''A D CB 为平行四边形， ……2分'//',''A B D C A B D C ∴=. ……4分又EF 为'AA B ∆的中位线，1//','2EF A B EF A B ∴=， 1//','2EF D C EF D C ∴=， ……6分 ∴四边形'EFD C 为梯形. ……8分设',D FCE M =则',M D F M EC ∈∈.M ∴∈平面''AA D D ，M ∈平面ABCD . ……10分 平面''AA D D 平面ABCD AD =, M AD ∴∈，即CE ,DF',DA 三条直线交于一点. ……12分 20.(1)如图，连接1,AC AB ，1111ABCD A BC D -是正方体，11AAC C ∴为平行四边形，11//AC AC ∴， ……2分1BCA ∴∠就是11AC 与1BC 所成的角． ……4分 111,AB B C AC AB C ==∴∆为正三角形，160o BCA ∴∠=即11AC 与1B C 所成角为60°. ……6分 (2)如图，连接BD ，11//AA CC ，且11AA CC =，11AAC C ∴是平行四边形，11//AC AC ∴， ……8分∴AC 与EF 所成的角就是11AC 与EF 所成的角． ……10分∵EF 是△ABD 的中位线，∴//EF BD .又∵,AC BD AC EF ⊥∴⊥，即所求角为90°. ……12分 21.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ， 则21652180r ππ⨯⨯=，解得3r =, ……2分所以圆锥的高为4. ……4分 从而圆锥的体积2211341233V r h πππ==⨯⨯=. ……6分(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为R ， 则323,342R R -=∴=. ……8分 ∴圆柱的体积为2239'2222V R πππ⎛⎫=⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭. ……10分∴圆锥与圆柱体积之比为912:8:32ππ=. ……12分 22.(1) 四边形EFGH 为平行四边形,//EF HG ∴.,,//HG ABD EF ABD EF ABD ⊂⊄∴平面平面平面. ……2分 ,,//EF ABD ABD ABD AB EF AB ⊂=∴平面平面平面.,,//.EF EFGH AB EFGH AB EFGH ⊂⊄∴平面平面平面 ……5分 同理//CD EFGH 平面. ……6分 (2) ////,EF AB EH CD FEH ∴∠，或其补角即为,AB CD 所成的角. 设,EF x EH y ==.由//,//EF AB EH CD 得,,1EF CE EH AE EF EH CE AEAB CA CD CA AB CD CA CA ==∴+=+=， 4,6,1,6(1)464x y xAB CD y ==∴+=∴=-，o 2sin 606(1)(2)4]4EFGH x S xy x x ∴==⋅⋅-=--+≤2x ∴=时，四边形EFGH 的面积有最大值。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
）
A． ðU M N B． N ðU M
C． ðU M N
D． M ðU N
2．已知
a
log 2
1 3
，
b
23
，
c
3ln 2
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（
）
A． a b c
B． b a c
C． b<c<a
D． a c b
3．命题 p : ax2 2x 1 0 有实数根，若 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
(2)
lg
1 2
lg
5 8
lg12.5
log8
9
log 27
8
．
18．（1）已知集合 A x | x2 ax 12b 0 ，B x | x2 ax b 0 满足 ðR A B {2}，
A ðR B {4}，求实数 a ， b 的值；
（2）已知集合 A x | a 1 x 2a 1 ，函数 y lg(x x 2) 的定义域为 B ，若 A B ，
河南省新乡市原阳县第一高级中学 2023-2024 学年高一上学 期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合U
R ，集合 M
x
x
1 ， N
x
1 4
1 x 2
2
，则
x
x
2 （
11．（多选）已知函数 f x x2 2x 1的定义域为 2,3 ，则函数 f x 的单调递增
区间是（ ）
A． , 1
河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试题 数学(含答案)
郑州一中27届（高一）第一次模拟测试数学试题卷第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 已知函数的值为（ ）A. B. 0 C. 2 D. 44. 已知，若，，，且，，，则的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定5. 函数的部分图象大致为（ ）A.B.U R =(){}{}30,1M x x x N x x =+<=<-{|1}x x ≥-{|30}-<<x x {|3}x x ≤-{|10}x x -≤<x ∃∈R 310x x +>x ∃∈R 310x x +≥x ∃∈R 310x x+≤x ∀∈R 310x x+≤x ∀∈R 310x x +>()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩2-3()2f x x x =+a b c ∈R 0a b +>0a c +>0b c +>()()()f a f b f c ++()22111x f x x +=-+C. D.6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C D. 7. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（ ）A 13 B. 14 C. 15 D. 168. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 10. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A. B. C. D. 11. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的结论中正确的是（ ）A. 在上是单调递增函数B. 对任意，都有C. 对任意，，都有..0a b >>22a b a b +>+2()4a b ab+≤2b a a b +<22b b a a +<+Z a ∈x 280x x a -+≤a 212,()23,3x c f x x x x c x ⎧-+<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩()f x [2,6]c 11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[1,0)-11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(0,)+∞()f x =()||f x x x =2()1x x f x x -=-3()f x x =[1,2)x ∀∈20x a -≤4a ≥5a >6a ≥7a >x x x []x [1.2]1=[ 1.4]2-=-()[]f x x =()f x ()f x R x ∈R ()1f x x >-x ∈R k ∈Z ()()f x k f x k+=+D 对任意，，都有第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 用列举法表示______．13. 函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则______；当时，函数的解析式为___________.14. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. 已知全集，集合，.（1）求；（2）求.16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．（1）若为真命题，求实数取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数取值范围．17. 设函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在(0,+∞)上的单调性.18. 已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．（1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？.的的x y ∈R ()()()f xy f x f y =6N N 1a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣()f x R 0x >2()1f x x=-(1)f -=0x <a b 21a b +=22211a b a b+++R U ={}2|560A x x x =-+>{|230}B x x =->A B ⋂()()U U A B ðð[]:1,1p x ∀∈-2230x x m --+<[]:0,1q x ∃∈2223x m m -≥-p m p q m ()22a f x x a x+=-+(,0)(0,)-∞+∞ a ()f x ()f x（2）若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.983A ,,x y z x y z <<x y z +>x y z ++A P {}1,2,3,,2n S n = *(N ,4)n n ∈≥n SB n S ,,a b c ,,+++a b b c c a B B n S {}1,2,3,5,7,9A =P {}3,4,B a =P B 4S M P M n S郑州一中27届（高一）第一次模拟测试数学试题卷第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】BC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】 ①. ②. 【14题答案】【答案】2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.【15题答案】【答案】（1）或 （2）【16题答案】【答案】（1）（2）【17题答案】【答案】（1）（2）在上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，证明见解析【18题答案】【答案】（1）长为6米、宽为4米（2）长为7米、宽为米【19题答案】【答案】（1）不具有，理由见解析（2）证明见解析 （3）证明见解析{}1,2,3,61()21f x x=--{3|22x x <<3}x >3|232x x x ⎧⎫≤≤≤⎨⎬⎩⎭或(,0)-∞(,3]-∞0a =(,0)-∞143。
2020-2021学年河南省三门峡市外国语高级中学高一上学期12月考数学试卷
2020-2021学年河南省三门峡市外国语高级中学高一上学期12月考数学试卷一、单选题（共20题；共40分）1.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③y=sin(x-)④y=|cot|．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A. 1＞2，s1＜s2B. 1= 2，s1＜s2C. 1= 2，s1=s2D. 1＜2，s1＞s25.已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知A={x|x2=1}，B={x|x= }，若B⊆A，则a的值为（）A. 1或﹣1B. 0或1或﹣1C. ﹣1D. 17.集合，下列表示从A到B的函数是（）A. B. C. D.8.已知tanα= ，则sinαcosα的值为（）A. B. C. D. ﹣9.“ ”是“ >0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为（）A. 8B. 12C. 16D. 2011.函数的一条对称轴方程为，则A. 1B.C. 2D. 312.设函数为奇函数，则实数（）．A. B. C. D.13.要使函数+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）A. m≥﹣1B. m≤﹣1C. m≤﹣2D. m≥﹣214.已知函数y=Asin（ωx+φ），在同一周期内，当x= 时，取最大值y=2，当x= 时，取得最小值y=﹣2，那么函数的解析式为（）A. y= sin（x+ ）B. y=2sin（2x+ ）C. y=2sin（﹣）D. y=2sin（2x+ ）15.函数的零点所在区间为( )A. B. C. D.16.如图是一正方体的表面展开图，都是所在棱的中点，则在原正方体中，①与相交；② ；③ ；④ 与异面；⑤ 平面. 其中真命题的是（）．A. ②③B. ①④⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤17.已知向量，，则函数是（）A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为的偶函数D. 周期为的奇函数18.下列说法正确的是（）A. 0={0}B. 0∈N*C. 0∈ND. 0∉N19.定义在上的偶函数的部分图象如图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（）A. B. C. D.20.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量+表示（）A. 向东北方向航行2kmB. 向北偏东30°方向航行2kmC. 向北偏东60°方向航行2kmD. 向东北方向航行（1+）km二、填空题（共9题；共10分）21.设实数满足,则的最大值是________.22.已知等式对恒成立，则________23.过原点作直线l的垂线，垂足为M（3，﹣4），则直线l的方程为________24.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________25.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是________．26.设当时，函数取得最大值，则________.27.若，则cos2θ=________28.若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________；点A坐标（p，q），曲线C方程：y= ，直线l过A点，且和曲线C只有一个交点，则直线l的斜率取值范围为________．29.设数集M= ，N= 且集合M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．三、解答题（共6题；共50分）30.已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2）．（1）求φ的值；（2）若f（）=，﹣＜α＜0，求sin（2α﹣）的值．31.计算：2××32.在锐角中，角所对的边分别为，若向量与，（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值．33.底面半径为4，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．34.设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．35.已知 =（2，1）， =（1，7）， =（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O是坐标原点．（1）求使取得最小值时的坐标的坐标；（2）对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】A13.【答案】B14.【答案】B15.【答案】B16.【答案】C17.【答案】A18.【答案】C19.【答案】D20.【答案】B二、填空题21.【答案】2722.【答案】-323.【答案】3x﹣4y﹣25=024.【答案】25.【答案】[ ，3]26.【答案】27.【答案】-28.【答案】9；{ }∪（，1]29.【答案】三、解答题30.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2），∴f（）=2sin（π+φ）=﹣2，即sinφ=1．∵0＜φ＜2π，∴φ=；（2）由（1）得，f（x）=2cos2x．∵f（）=，∴cosα=．又∵﹣＜α＜0，∴sinα=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣．从而sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．31.【答案】解：原式===2×3=6．32.【答案】（1）解：由题意，向量，，因为，可得，又由，可得整理得，即，由正弦定理，可得，又由余弦定理，可得，因为，所以（2）解：由余弦定理可得，当且仅当等号成立，又由，所以，所以面积的最大值为33.【答案】（1）解：根据相似性可得：解得：（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh===因为，所以当时，故当正四棱柱的底面边长为时，此正四棱柱的表面积最大值为34.【答案】（1）解：{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，n=1时，a1=S1=1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1也成立．故a n=2n﹣1，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16，q3= =8，解得q=2．则有b n=b2q n﹣2=2n﹣1（2）解：前n项和T n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n﹣1）•2n，两式相减．得﹣T n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即有﹣T n=1+ ﹣（2n﹣1）•2n，则有．35.【答案】（1）解：由题意，设 =t =（2t，t），则 = =（1﹣2t，7﹣t），= =（5﹣2t，1﹣t）．所以 =（1﹣2t）（5﹣2t）+（7﹣t）（1﹣t）=5t2﹣20t+12=5（t﹣2）2﹣8，所以当t=2时，最小，即 =（4，2）．（2）解：设向量与的夹角为θ，由（1）得 =（﹣3，5）， =（1，﹣1），所以cosθ= = =﹣．。
河南省高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
（时间：120分钟，共150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合， 则 （ ） {}{21}2101A x x B =-<≤=--∣，，，，A B = A. B.C.D.{2,1,0,1}--{1,0,1}-{1,0}-{}2,1,0--【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为， {}{21}2101A xx B =-<≤=--∣，，，，则 . A B = {1,0,1}-故选：B.2. 不等式的解集为（ ） 21560x x +->A. 或 B. {1xx >∣1}6x <-116xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C. 或 D. {1xx >∣3}x <-{32}xx -<<∣【答案】B 【解析】【分析】化简原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可. 【详解】原不等式即为，解得， 26510x x --<116x -<<故原不等式的解集为.116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选 ：B.3. 下列各式为y 关于x 的函数解析式是（ ） A.B. C. D. ()3y x x =--y =1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】A 项，，定义域为R ，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，()33y x x =--=所以不是函数，A 项错误；B 项，，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；y =+2010x x -≥⎧⎨-≥⎩C 项，，定义域为R ，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C 项1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩正确；D 项，，当时，y 有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D 项错误.0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数1x =故选：C.4. “a <b ”是“a 2<b 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果. 【详解】若，，则满足，不满足； 2a =-1b =a b <22a b <由可得，不能推出， 22a b <()()0a b a b +-<a b <所以“a <b ”是“a 2<b 2”的既不充分也不必要条件. 故选：D.5. 已知函数，则（ ）()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()3f f =A.B. 3C. 1D. 19319【答案】B 【解析】【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.()3f ()()3ff【详解】由，则.()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()3(1)3f f f ==故选：B6. 命题“”的否定是（ ） 21,0x x x ∃>->A. B. 21,0x x x ∃≤->21,0x x x ∀>-≤C. D.21,0x x x ∃>-≤21,0x x x ∀≤->【答案】B 【解析】【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该 ∃∀∴命题的否定是“”. 21,0x x x ∀>-…故选：B.7. 函数的单调增区间是（ ）()225f x x x =-+A. 和 B. 和 (),1-∞-()0,1(),1-∞-()1,+∞C. 和 D.和[]1,0-[)1,+∞()1,0-()0,1【答案】C 【解析】【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得()f x ()()2()25f x x x f x -=---+=()f x 0x ≥的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案()f x 0x ≤()f x 【详解】解：由，()()22()2525f x x x x x f x -=---+=-+=则为偶函数，的图像关于轴对称.()f x ()f x y 当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；0x ≥()225f x x x =-+1x =()f x [)1,+∞[]0,1则当时，在递增，在递减， 0x ≤()f x []1,0-(],1-∞-则有的递增区间为.()f x ][)1,0,1,∞⎡-+⎣故选：C8. 判断下面结论正确的个数是（ ） ①函数的单调递减区间是； 1y x=()(),00,-∞⋃+∞②对于函数，，若，且，则函数在D 上是增函数；()f x x D ∈1x 2D x ∈()()12120f x f x x x ->-()f x ③函数是R 上的增函数；y x =④已知，则()2122f x x x +=++()21f x x =+A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B 【解析】【分析】对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可【详解】对于①，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是=1x -1y =-1x =1y =1y x=，所以①错误，()(),00,-∞⋃+∞对于②，由可得，所以与同号，()()12120f x f x x x ->-1212()[()()]0x x f x f x -->12x x -12()()f x f x -所以函数在D 上是增函数，所以②正确，()f x 对于③，当和时，，所以不是R 上的增函数，所以③错误， =1x -1x =1y =y x =对于④，因为，所以，所以④正确，()22122(1)1f x x x x +=++=++()21f x x =+故选：B二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. 与()f x x =()g x =B. 与()1f x x =+()211x g x x -=-C .与 ()xf x x =()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D. 与 ()1f t t =-()1g x x =-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一()f x x =()x ∈R ()g x =()x ∈R 致，所以是同一函数，故正确；对于B ，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一()f x R ()g x {}1x x ≠函数，故错误；对于C ，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是()1,01,0x f x x >⎧=⎨-<⎩()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩同一函数，故正确；对于D ，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确； ()1f t t =-()1g x x =-故选:ACD10. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 23,12a b -<<<<42a b -<-<B. 若，则 22ac bc >a b >C. 若，则0,0b a m <<<m ma b>D. 若，则 ,a b c d >>ac bd >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明； 对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值即可否定结论. 2,1;2,3a b c d ===-=-【详解】对于A ：因为，所以.12b <<21b -<-<-因为，利用同向不等式相加，则有.故A 正确； 23a -<<42a b -<-<对于B ：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B 正确； 22ac bc >20c ≠210c >22ac bc >21ca b >对于C ：因为，所以. 0b a <<110a b<<因为，所以. 0m <0m ->对两边同乘以，有，所以.故C 正确； 11a b <m -m m a b --<m m a b>对于D ：取，满足，但是，所以不成立.2,1;2,3a b c d ===-=-,a b c d >>4,3ac bd =-=-ac bd >故D 错误. 故选：ABC11. 下列函数的最小值为4的有（ ） A. B. 224y x x=+()1111y x x x =++>-C. D. y =92y x x=+-【答案】AB 【解析】【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A ，B ，C 选项，取特殊值验证选项D 即可. 【详解】对于A ，，2244y x x =+≥=当且仅当时等号成立，x =，故A 正确；min 4y =对于B ，， 1122241y x x =+-+≥+=-当且仅当即时等号成立， 11x-=2x=故B 正确； 对于C ，，4y ===≥因为无解，故等号不成立，故不是4， 264x +=min y 故C 错误. 对于D ，，取，则， 92y x x=+-=1x -124y =-<故D 不正确. 故选：AB.12. 已知函数的定义域为A ，若对任意，存在正数M ，使得成立，则称函数()f x x A ∈()f x M ≤是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）()f xA.B.()34xf x x+=-()f x =C.D.()25243f x x x =-+()f x x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.【详解】对于A ，，由于，所以， ()37144x f x x x+==-+--704x ≠-()1f x ≠-所以，故不存在正数M ，使得成立. ()[)0,f x ∈+∞()f x M ≤对于B ，令，则，时，u 取得最大值4，所以，所以24u x =-0u ≥()f u =0x =[]0,4u ∈，故存在正数2，使得成立.()[]0,2f x ∈()2f x ≤对于C ，令，则，易得，所以，即()22243211u x x x =-+=-+()5f u u =1u ≥()5051f x <≤=，故存在正数5，使得成立.()(]0,5∈f x ()5f x ≤对于D ，令，，则，易得t =0t ≥24x t =-()()221174024f t t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，所以，故不存在正数M ，使得成立. ()174f x ≤()[)0,f x ∈+∞()f x M ≤故选：BC三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合，，且是的真子集，则实数___________.{}1,3,A a ={}21,1B a a =-+B A =a 【答案】或-1 2【解析】【分析】根据集合关系得到方程，求出的值，利用元素互异性排除不合要求的答案.a 【详解】因为是的真子集，所以当时，解得：或-1，经检验，均符合要求； B A 213a a -+=2a =当时，解得：，此时不满足集合元素的互异性，舍去， 21a a a -+=1a =综上：或-1 2a =故答案为：或-1214. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是___________． ()f x 30,2⎛⎫⎪⎝⎭(13)f x -【答案】##11,63⎛⎫- ⎪⎝⎭1163x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意可得出，进而可解得函数的定义域. 30132x <-<(13)f x -【详解】因为函数的定义域为， ()f x 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得出， 30132x <-<解得. 1163x -<<所以函数的定义域为. (13)f x -11,63⎛⎫-⎪⎝⎭故答案为：. 11,63⎛⎫-⎪⎝⎭15. 已知集合，，且，则满足条件的m 的取值集合{}260A x x x =+-={}10B x mx =+=A B A ⋃=是______． 【答案】 110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】计算，得到，考虑和两种情况，计算得到答案.{}2,3A =-A B A ⋃=BA ⊆B =∅B ≠∅【详解】，，故，{}{}2602,3A x x x =+-==-A B A ⋃=BA ⊆当时，，满足条件；B =∅0m =当时，或，解得或.B ≠∅12m-=13m -=-12m =-13m =综上所述：，或.0m =12m =-13m =故答案为：. 110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭16. 若对有恒成立，则的取值范围是_________ 0,0x y >>21(2)()x y a x y++≥a 【答案】 8a ≤【解析】【详解】试题分析：因为，而恒成立，则0,0x y >>21(2)()x y a x y++≥，当且仅当x=2y 时取得等号那么可知只要小于等214(2)()2248y x x y x y x y ++=+++≥+=a 于表达式的最小值8即可，故答案为8a ≤考点：本试题主要考查了运用均值不等式求解最值．点评：解决该试题的关键是对于不等式的恒成立问题，我们一般转换为函数的最值来研究，从而得到参数a 的范围．四､解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18､19､20､21､22每题12分，共70分）17. 设集合，，.求： {}4U x x =≤{}12A x x =-<≤{}13B x x =≤≤（1）； A B ⋂（2）； ()U A B ð（3）.()()U U A B ⋂ðð【答案】（1）； {}12x x ≤≤（2）或；{1x x ≤-}14x ≤≤（3）或. {1x x ≤-}34x <≤【解析】【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可. 【小问1详解】；{}12A B x x ⋂=≤≤【小问2详解】{x |或}，U A = ð1x ≤-24x <≤{x |或}；()U A B ∴⋃=ð1x ≤-14x ≤≤【小问3详解】{x |或}，{x |x ＜1或3＜x ≤4}，U A = ð1x ≤-24x <≤U B =ð{x |或}. ()()U U A B ∴I ðð=1x ≤-34x <≤18. 已知集合，．若，且“”是“”的充分不必{}22A x a x a =-≤≤+{}14B x x =<<0a >x A ∈x B ∈要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】 ()0,1【解析】【分析】由题设A 是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a 的范围. B 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A 是的真子集， x A ∈x B ∈B 又，，{}(220A x a x aa =-≤≤+>{}14B x x =<<所以，可得，则实数a 的取值范围为．2124a a ->⎧⎨+<⎩01a <<()0,119. 已知不等式的解集为，求不等式的解集. 210ax bx ++>1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣30ax x b+≤-【答案】或 {1xx <-∣1}2x ≥【解析】【分析】根据三个二次的关系易得和是方程的两根，进而求出的值，代入所求12-13210ax bx ++=,a b 不等式，利用分式不等式的求解方法即可求得解集. 30ax x b+≤-【详解】依题意，和是方程的两根，12-13210ax bx ++=法1：由韦达定理，，解得， 11111,2323b a a∴-+=--⨯=6,1a b =-=-法2：直接代入方程得，，解得， 22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩6,1a b =-=-不等式为，即：，解得：或， ∴30ax x b +≤-6301x x -+≤+()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩1x <-12x ≥不等式的解集为或. ∴30ax x b +≤-{1x x <-∣1}2x ≥20. 当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）．当年产量不足150()x x N ∈()C x 万件时，；当年产量不小于万件时，．通过市场6021()3802C x x x =+6081000()4103000C x x x=+-分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本) （1）求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；()L x ()x x N ∈（2）年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．【答案】（1） ()2120150,60,281000285010,60,x x x x N L x x x x N x ⎧-+-<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元【解析】【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入－总成本，写出分段函数的解析式即可；（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可. 【小问1详解】当且时，60x <x ∈N ， 2211()4003801502015022L x x x x x x =---=-+-当且时，60x ≥x ∈N8100081000()4004103000150285010L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭综上： ()2120150,60,281000285010,60,x x x x N L x x x x N x ⎧-+-<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当且时， 60x <x ∈N 2211()20150(20)5022L x x x x =-+-=--+∴当时，取最大值（万元）20x =()L x (20)50L =当且时， 60x ≥x ∈N 81000()28501028501050L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立． 8100010x x=90x =∴当时，取最大值（万元）90x =()L x (90)1050L =∵，501050<综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元. 21. 已知是二次函数，满足且.()f x ()()12f x f x x +=+()01f =（1）求的解析式；()f x （2）当时，使不等式成立，求实数的范围.[1,1]x ∃∈-()2f x x m >+m 【答案】（1）()21f x x x =-+（2）(),5-∞【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得的解析式；()f x （2）利用函数不等式能成立问题的解决方法，将问题转化为即可.()max m g x <【小问1详解】设函数，2()(0)f x ax bx c a =++≠因为，可得，所以， ()01f =()01f c ==()21f x ax bx =++又，得，整理得， ()()12f x f x x +=+()()2211112++++=+++a x b x ax bx x 22ax a b x ++=因为对于任意的成立，则有解得， x 22,0.a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=-⎩所以. ()21f x x x =-+【小问2详解】当时，成立，即成立，[1,1]x ∃∈-()2f x x m >+231x x m -+>令，则 ()[]223531,1,124g x x x x x ⎛⎫=-+=--∈- ⎪⎝⎭()max m g x <因为开口方向向上，对称轴为， ()g x 312x =>所以在单调递减，故，()g x []1,1-()()()()2max 113115g x g =-=--⨯-+=故，即实数的取值范围是.5m <m (),5-∞22. 已知是奇函数，且. 23()2x b f x ax +=+3(2)5f =（1）求实数的值．a b ，（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．()f x (],1-∞-（3）求的最大值．()f x 【答案】（1），；0b =2a =（2）在上为减函数，证明见解析；()f x (],1-∞-（3）． 34【解析】【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用单调性的定义即可证明；（3）根据奇偶性与单调性即可求解.【小问1详解】是奇函数，．()f x ()()f x f x ∴-=-，，， 223322x b x b ax ax -++∴=-++b b ∴=-0b ∴=又， 3(2)5f =56342a ∴=+解得：.2a =所以.2,0a b ==【小问2详解】在上为减函数，()f x (],1-∞-证明如下：由（1）知， 233()2222x f x x x x ==++令，则的单调性和的单调性相反， ()1g x x x=+()g x ()f x 设，121x x <≤-则， ()()()12121212121111g x g x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭，，， 121x x <≤- 120x x ∴-<121211,10x x x x >->，即，()()120g x g x ∴-<()()12g x g x <在上为增函数，()g x ∴(],1-∞-则在上为减函数；()f x (],1-∞-【小问3详解】由（1）（2）结合计算可知：在上递减，在上递增，()f x (],1-∞-(]1,0-在上递增，在上递减．(]0,1()1,+∞又当时，，且， 0x <()0f x <()3104f =>． ()()max 314f x f ∴==。
河南省郑州市第四高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2027届高一上期第一次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式对于一切．恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．C ．D ．4．集合的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则的最小值为（ ）A ． B ．0 C ．1D 6．已知，且函数与值域相同，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，中，，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设，的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．0{0}∈{0}∅⊆{0,1}{(0,1)}⊆{(,)}{(,)}a b b a =0xy ≠0x y +=2y xx y+=-210x ax ++≥10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2-52-3-{52,},{53,},{103,}M xx k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈∣∣∣S P M ⊆⊆S P M =⊆S P M ⊆=P M S=⊆100x y y x +=>>，，121x x y ++542()()f x x ax a R =+∈(())f f x ()f x (,0][2,)-∞+∞ (,0)(2,)-∞+∞ {0,2}[0,2]ABC △903016ACB A AB ∠=︒∠=︒=，，PQ AB ⊥AP x =APQ △8．设，若是的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分、共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
河南省郑州市郑州外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
B．若
1 ，则
f
x
的图象关于点
2π 3
,
0
对称
C．若
f
x
在区间
0,
π 2
上单调递增，则 0
4 3
D．若 f x 在区间0, 2π 上恰有 2 个零点，则 7 13
12
12
12．已知函数 f x 的定义域是 0, ，对 x, y 0, 都有 f x y f x f y ，
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
4．已知函数 f 2x 1 的定义域为 1,9 ，则函数 f 3x 1 的定义域为（ ）
A．
1 3
,
4 3
B．
4 3
,
16 3
C．
2 3
,
8 3
D． 2, 28
5．在平面直角坐标系中，点 P tan2022,sin2022 位于第（ ）象限
A．一
B．二
x
的图象交点为
P( x0
,
y0
)
，则
sin
x0
的
值为（ ）
A．
1 3
B． 3 3
C．
2 3
D． 2 2 3
8．函数 y [x] 为数学家高斯创造的取整函数. [x] 表示不超过 x 的最大整数，如[3.1] 4 ，
[2.1]
2
，已知函数
f
(x)
x2
x 3x
4
8 9
，则函数
y
[Leabharlann f(x)]的值域是（
）
试卷第 1页，共 3页
A．1,1, 2
B． 1, 0,1
C．0,1, 2
高一(上)12月月考数学试卷 (1)
高一（上）12月月考数学试卷一．选择题：1.已知，集合，，则A. B. C. D.2.有个命题：三点确定一个平面．梯形一定是平面图形．平行于同一条直线的两直线平行．垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.3.函数的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是（）A. B.C.与相交D.以上都有可能5.如图的正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.6.已知、为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①④D.②③7.若函数，则函数的定义域为（）A. B. C. D.8.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足：对任意的，，有，则（）A. B.C. D.10.一长方体的长，宽，高分别为，，，则该长方体的外接球的体积是（）A. B.C. D.11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.12.已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于，．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（）A. B. C. D.二．填空题：13.函数的值域是________．14.一个圆锥的底面半径是，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为________．15.函数的零点个数是________．16.所在的平面，是的直径，是上的一点，，分别是点在，上的射影，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 平面．其中正确命题的序号是________．三．解答题17.17.. . ．18.如图为一个几何体的三视图画出该几何体的直观．求该几何体的体积．求该几何体的表面积．19.如图，在正方体中．如图求与平面所成的角如图求证：平面．20.是定义在上的偶函数，当时，；当时，．当时，求满足方程的的值．求在上的值域．21.已知定义域为的函数是奇函数求，的值．判断的单调性，并用定义证明若存在，使成立，求的取值范围．22.已知函数，．求的最小值；关于的方程有解，求实数的取值范围．答案1. 【答案】A【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵或，∴ ，则，故选：2. 【答案】C【解析】由公理三及其推论能判断、的正误，由平行公理能判断的正误，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，由此能判断的正误．【解答】解：不共线的三点确定一个平面，故错误；∵梯形中有一组对边互相平行，∴梯形一定是平面图形，故正确；由平行公理得平行于同一条直线的两直线平行，故正确；垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故错误．故选：．3. 【答案】A【解析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：，即由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，考察四个选项，只有选项符合题意，故选．4. 【答案】D【解析】以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在正方体中，，平面，平面；，平面，平面；，平面，与平面相交．∴直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是或或与相交．故选：．5. 【答案】C【解析】连接，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得即为异面直线与所成的角，连接后，解三角形即可得到异面直线与所成的角．【解答】解：连接，由正方体的几何特征可得：，则即为异面直线与所成的角，连接，易得：故故选6. 【答案】D【解析】，，则或与是异面直线；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，故，；若，，则；，，则，或，相交，或，异面．【解答】解：，，则或与是异面直线，故①不正确；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，∴ ，故．故②正确；若，，则．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；，，则，或，相交，或，异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．7. 【答案】B【解析】要使函数有意义，则有，解不等式组即可得.到答案．【解答】解：要使函数有意义，则，.解得：．∴函数的定义域为：．故选：．8. 【答案】B【解析】先根据是定义在上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．【解答】解：∵ 是定义在上的奇函数，∴ ，又∵当时，，∴ ，∴ ．故答案是．9. 【答案】D【解析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的，，有，则函数满足在上单调递减，则，故选：．10. 【答案】C【解析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：，外接球的半径为：外接球的体积．故选：．11. 【答案】C【解析】可得，，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵，∴ ，，满足，∴ 在区间内必有零点，故选：12. 【答案】C【解析】由题意设，，，各点的横坐标分别为，，，，依题意可求得为，，，的值，，，下面利用基本不等式可求最小值【解答】解：设，，，各点的横坐标分别为，，，，则，；，；∴ ，，，．∴ ，，∴又，∴，当且仅当时取“ ”号，∴，∴的最小值为．故选：．13. 【答案】【解析】根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．【解答】解：，∴，∵，∴，即函数的值域为．故答案为：．14. 【答案】【解析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，∵圆锥的侧面展开图是一个四分之一圆面，∴，∴ ，又∵小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，如下图所示：故最小距离为：，故答案为：．15. 【答案】【解析】分段讨论，当时，解得，即在上有个零点，当时，在同一坐标系中，作出与，根据图象，易知有个交点，即可求出零点的个数．【解答】解：当时，，解得，即在上有个零点，当时，，即，分别画出与的图象，如图所示：由图象可知道函数，与函有个交点，函数的零点有个，综上所述，的零点有个，故答案为：．16. 【答案】①②③【解析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设面，而面，则，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵ 所在的平面，所在的平面∴ ，而，∴ 面，又∵ 面，∴ ，而，∴ 面，而面，∴ ，故③正确；而面，∴ ，而，∴ 面，而面，面∴ ，，故①②正确，∵ 面，假设面∴ ，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．17. 【答案】（本题满分分）解：原式．; 原式．【解析】直接利用对数运算法则化简求解即可．; 利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分分）解：原式．; 原式．18. 【答案】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．【解析】由几何体的三视图能作出几何体的直观图为一个三棱椎．; 先求出，由此能求出该几何体的体积．; 该几何体的表面积，由此能求出结果．【解答】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．19. 【答案】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．【解析】连接交于点，连接，则，，从而平面，是与平面所成的角，由此能求出与平面所成的角．; 连接交于点，连结，则，由此能证明平面．【解答】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．20. 【答案】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．【解析】当时，利用函数奇偶性的对称性求出函数的表达式，解对数方程即可求满足方程的的值．; 讨论的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求在上的值域．【解答】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．21. 【答案】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴【解析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．; 利用函数单调性的定义进行证明即可．; 根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴22. 【答案】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．【解析】先把函数化简为的形式，令，则可看作关于的二次函数，并根据的范围求出的范围，再利用二次函数求最值的方法求出的最小值．; 关于的方程有解，即方程在上有解，而把与分离，得到，则只需求出的范围，即可求出的范围，再借助型的函数的单调性求范围即可．【解答】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．。
河南省实验中学12月高一月考数学试题与答案
河南省实验中学12月高一月考数学试题与答案（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}20B x x x =-=，则()UA B = ð（）A.{}2,1,0-B.{}2-C.{}1 D.{}2,1,1,2--【答案】B【分析】确定{}0,1B =，{}2,1,2U B =--ð，再计算交集得到答案.【详解】{}{}200,1B x x x =-==，{}2,1,0,1,2U =--，故{}2,1,2U B =--ð，{}2,1A =-，故(){}2U A B ∩=-ð.2.设31πlog a =，13πb =，π3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D.b c a>>【答案】D【分析】计算30log π1a =<，131πb =>，π103c -<=<，得到答案.【详解】3310lo 1πg log a ==<，1031ππb =>=，π03103c -=<<=，故01a c b <<<<.3.函数()2log 27f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,2B.()2,3C.()3,4 D.()4,5【答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()20f <，()30f >，得到答案.【详解】函数()2log 27f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，()2log 472202f -=-=+<，()22log 67log 10333f =+-=->，故函数零点所在的区间为()2,3.4.命题p ：α是第二象限角或第三象限角，命题q ：cos 0α<，则p 是q 的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<，举反例得到不必要性，得到答案.【详解】若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<；若cos 0α<，取πα=，cos 10α=-<，此时α不是第二象限角或第三象限角；综上所述：p 是q 的充分不必要条件.5.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为40mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A.5B.6C.7D.8【答案】D【分析】由题意得，经n 层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为124014033n n ⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24023n⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，两边取对数化简求解即可得答案【详解】由题意得，经n 层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为124014033n n⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24023n⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，得22013n⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，所以2lg 20lg 03n⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，lg10lg 2(lg 2lg 3)0n ++-≤，所以10.3(0.30.48)0n ++-≤，1.30.18n ≤，得659n ≥，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8，6.函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）．A. B.C. D.【答案】B首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项.【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12xxf x x -=⋅+，()()()2221sin 1sin 1212x xxf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212x xx x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ，令()0f x =，则21012x-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.若α为第二象限角，且cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则11πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.3-B.53C.23-D.23【答案】C【分析】确定πππ2π2π,Z 632k k k α+<-<+∈，得到sin 03πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，确定11ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.【详解】π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈，故ππ2π2π2π,Z 633k k k α+<-<+∈，故sin 03πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故2sin π33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，11π3πππ2cos cos sin 62333ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.已知())21ln tan 21x f x x x x =++-，则(lg 2f f ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A【分析】计算()()1+-=-f x f x ，(((2lg lg lg lg 2f f f f ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】())21lntan 21xf x x x x =++-，则()()))2211ln tan lntan 2121x x f x f x x x x x x x -+-=+++-+--111212ln112121211221x xx x x xx --++=+==------=.故(((2lg lg lg 12f f f f ⎛⎫+=+-=- ⎪⎪⎝⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.2log y x= B.3y x x=+ C.22xxy -=- D.sin y x=【答案】BC【分析】确定2log y x =为偶函数，A 错误，举反例确定sin y x =不是增函数，D 错误，根据奇函数和增函数的定义确定BC 正确，得到答案.【详解】对选项A ：()12log y f x x ==定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()211log x f x f x ==-，函数为偶函数，排除；对选项B ：()32y f x x x ==+定义域为R ，()()322f x x x f x --=-=-，函数为奇函数，3y x =和y x =单调递增，故()32y f x x x ==+函数单调递增，正确；对选项C ：()322xxy f x -==-定义域为R ，()()3322xx f x f x --=-=-，函数为奇函数，2x y =单调递增，2x y -=-单调递增，故()322xxy f x -==-单调递增，正确；对选项D ：sin y x =，πsin 1sin π02=>=，函数不是增函数，排除.10.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角 B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.11.已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最小值为18B.12a b+的最小值为8C.D.(1)(1)a b ++的最大值为2【答案】BC【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断.【详解】∵0a >，0b >，且21a b +=，∴由基本不等式可得，12a b =+≥，解得18ab ≤，当且仅当122a b ==，即11,42a b ==时等号成立，故A错误；11()422448a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即11,42a b ==时取等号，故B 正确；∵0a >，0b >，且21a b +=，∴12a b =+≥0>，∴22222a b a b a b +=++≤+++=，≤，当且仅当122a b ==，即11,42a b ==时等号成立，+，故C 正确；()()()()()()221122232(34)a b a a b b a b a b a b a ab b ++=++++=++=++2222[(2)2(1)2]a b a a =+-=-<，故D 错误．12.已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()R f x k k =∈有四个不同的实数根，从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.01k <≤ B.1441x x -<<-C.()2301f x x ≤-< D.12345122x x x x <+++≤【答案】ACD【分析】A 选项，画出()f x 与y k =的图象，数形结合得到01k <≤；B 选项，数形结合得到[)12,1x ∈--，(]41,2x ∈，且当12x =-时，42x =，此时144x x =-，B 错误；C 选项，先得到2312,2x x ⎛⎤-∈-- ⎥⎝⎦，从而计算出答案；D 选项，求出12342,1x x x x +=-=，从而4123441222x x x x x x ++=-+++，利用对勾函数性质得到答案.【详解】A 选项，画出()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩与y k =的图象，可以看出01k <≤，A 正确；B 选项，令2211x x ++=得2x =-或0，令2log 1x =得2x =，故[)12,1x ∈--，(]41,2x ∈，且当12x =-时，42x =，此时144x x =-，B 错误；C 选项，由图可得(]21,0x ∈-，令2log 1x -=，解得12x =，故31,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且当20x =时，312x =，故2312,2x x ⎛⎤-∈-- ⎥⎝⎦，()()[)223230,11f x x x x -=∈+-，C 正确；D 选项，由图象可知1223242,log log x x x x +=--=，故341x x =，则4123441222x x x x x x ++=-+++，因为(]41,2x ∈，所以4412y x x =+在(]41,2x ∈上单调递增，故441923,2y x x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以414234152212,2x x x x x x ⎥++⎛⎤=-++ ⎝+∈⎦，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.sin 600︒=_________________．【答案】【分析】利用诱导公式，即可求解.【详解】()()sin 600sin 360240sin 240sin 18060sin 602=+==+=-=- .故答案为：14.已知函数()y f x =的定义域为[]2,5-，则函数()211f x y x -=-的定义域为_________.【答案】1[,1)(1,3]2-⋃【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数()y f x =的定义域为[]2,5-，则221510x x -≤-≤⎧⎨-≠⎩，则112x -≤<或13x <≤则函数()211f x y x -=-的定义域为1[,1)(1,3]2-⋃.故答案为：1[,1)(1,3]2-⋃15.已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个不同的零点，则ω的范围为________.【答案】59,44⎛⎤⎥⎝⎦【分析】确定πππ,π444x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据零点个数得到πππ2π4ω<-≤，解得答案.【详解】()0,πx ∈，则πππ,π444x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，函数有且仅有2个不同的零点，则πππ2π4ω<-≤，解得59,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：59,44⎛⎤⎥⎝⎦16.已知函数()()log 2xa f x a t =+（0a >且1a ≠），若存在实数(,)m n m n <，使函数()y f x =在[],m n 上的值域恰好为[]2,2m n ，则t 的取值范围为________.【答案】()1,0-【分析】确定()()log 2xa f x a t =+单调递增，转化为22x x a t a +=有两个解，设x a k =得到Δ440t t ->⎧⎨=+>⎩，解得答案.【详解】当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，2x y a t =+在R 上单调递增，当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，2x y a t =+在R 上单调递减，故()()log 2xa f x a t =+在[],m n 单调递增，()()log 22m a f a m m t =+=，()()log 22n a f a n n t =+=，即22x x a t a +=有两个解，设x a k =，0k >，即220k k t --=有两个不相等的正根，故0Δ440t t ->⎧⎨=+>⎩，解得()1,0t ∈-.故答案为：()1,0-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算骤.17.化简下列各式：（1）()23lg2lg5lg204log log 2+⋅+.（2）()()()()3ππ5πsin 2πcos cos sin 2227πcos πsin 3πsin πcos 2αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭.【答案】（1）2（2）1【分析】（1）根据对数的运算可得；（2）根据诱导公式化简可得.【小问1详解】()23lg2lg5lg204log log 2+⋅+()()212232lg2lg5lg214log 3log 2=+⋅++⋅()223lg2lg5lg2lg5log 3log 2=+⋅++⋅lg2lg51=++2=【小问2详解】()()()()3ππ5πsin 2πcos cos sin 2227πcos πsin 3πsin πcos 2αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭()()()sin sin sin cos cos sin sin sin αααααααα⋅-⋅⋅=-⋅⋅-⋅-1=18.已知函数()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 单调递增区间；（3）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（11（2）5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）()f x 的最大值为3，最小值为1+.【分析】（1）根据周期确定2ω=，代入计算得到答案.（2）取2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解得答案.（3）确定ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，根据正弦函数性质计算得到答案.【小问1详解】()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则2ππω=，2ω=，()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】取2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解得,125πππ1Z 2πk x k k ≤≤+∈-，故()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，当ππ232x +=，即π12x =时，()max π312f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当π4π233x +=，即π2x =时，()min π12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故()f x 的最大值为3，最小值为1+.19.已知一元二次不等式2320ax x +->的解集是{1}xx b <<∣.（1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20acx b ac x b +--<的解集.【答案】19.1a =-，2b =20.【分析】（1）首先分析题意，1x =是方程2ax 3x 20+-=的一个根，x b =是方程的另外一个根，计算可得（2）首先结合题意，根据c 分情况讨论.【小问1详解】由题知，1x =是方程2ax 3x 20+-=的一个根，将1x =代入方程2320,ax x +-=得1a =-，x b =是方程的另外一个根，由韦达定理得212,b a-⨯==解得2b =.【小问2详解】把1a =-,2b =代入不等式2()0,acx b ac x b +--<整理2(2)20cx c x -++>当0c >时，不等式可化为2(1)(0c x x c-->方程2(2)20cx c x -++=有两个根1和2c1.当02c <<,21c >,解不等式得1x <或2x c >2.当2c =时，21c =不等式2(1)0x ->得1;x ≠3.当2>c 时，21c <解不等式得：2x c <或1x >4.当0c <时，21c <，解不等式得21x c<<，综上所述：当0c =时不等式的解集是{1};xx <∣当02c <<时，不等式的解集是{1x x <∣或2};x c>当2c =时，不等式的解集是{1}x x ≠∣当2>c 时，不等式的解集是2{xx c<∣或1}.x >当0c <时，不等式的解集是2{1}xx c<<∣20.某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x 千部手机，需另投入成本()C x 万元，且()210200,050,100008019450,50.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出全年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（2）当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）()210600280,050,100009170,50. x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.【小问1详解】当050x <<时，()()228001020028010600280W x x x x x x =-+-=-+-，当50x ≥时，()100001000080080194502809170W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()210600280,050,100009170,50. x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】若050x <<，则()()210308720W x x =--+，当30x =时，()max 8720W x =；若50x ≥，则()10000917091708970W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时，等号成立，此时()max 8970W x =．因为89708720>，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．21.已知定义域为R 的函数()1221xxa f x -⋅=+是奇函数.（1）求实数a 的值.（2）试判断()f x 的单调性，并用定义证明.（3）解关于x 的不等式()()42320x xf f +-⨯>.【答案】（1）1a =（2）单调递减，证明见解析（3）()0,1【分析】（1）根据()00f =计算1a =，再验证即可.（2）函数单调递减，设12x x <，计算()()()()()12212122202121x x x x f x f x --=<++得到证明.（3）根据函数的奇偶性和单调性得到4232x x -⨯<+，解得答案.【小问1详解】定义域为R 的函数()1221xxa f x -⋅=+是奇函数，则()10011a f -==+，1a =，()1221x x f x -=+，x ∈R ，()()12122121x xx x f x f x -----==-=-++，函数为奇函数；【小问2详解】函数()f x 在R 上单调递减.设12x x <，则()()()()()1221212121222121221212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，()()2121210x x ++>，12x x <，故12220x x -<，故()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，故函数()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】()f x 是定义在R 上的减函数和奇函数，()()42320x x f f +-⨯>，即()()4232x x f f >-+⨯，即4232x x -⨯<+，()()22210xx --<，即122x <<，解得()0,1x ∈.22.定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数；（3）在（2）的条件下，若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()221f x t at ≤-+对所有11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(]{}[),202,-∞-⋃⋃+∞【分析】（1）计算()00f =，取y x =-计算得到()()0f x f x +-=，得到证明.（2）设1211x x -<<<，计算()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，确定1212101x x x x --<<-，得到证明.（3）根据奇函数和单调性确定()max 1f x =，变换得到220t at -≥，根据222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩解得答案.【小问1详解】取0x y ==，则()()()000f f f +=，即()00f =，取y x =-，则()()()00f x f x f +-==，()1,1x ∈-，故函数为奇函数；【小问2详解】设1211x x -<<<，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-=⎪-⎝⎭，1211x x -<<<，故120x x -<，1210x x ->，且()()12110x x +-<，即121210x x x x -+-<，1212101x x x x --<<-，故121201x x f x x ⎛⎫->⎪-⎝⎭，即()()120f x f x ->，函数()f x 在()1,0-上单调递减，又()f x 在()1,1-上为奇函数，()00f =，故()f x 在()1,1-上是减函数；【小问3详解】11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()max 11122f x f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2121t at ≤-+，即220t at -≥，不等式对[]1,1a ∈-恒成立，故222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩，解得(]{}[),202,t ∈-∞-⋃⋃+∞.。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
2023-2024学年首师大二附中高一数学上学期12月考试卷附答案解析
2023-2024学年首师大二附中高一数学上学期12月考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.12一､选择题（共12小题）1．集合{}0.3122,log 18x A x B x x ⎧⎫=<<=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则,A B 间的关系是（）A ．AB =RB ．B A⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B B⋃=2．下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上是增函数的是（）A．y =B ．ln y x=C ．exy =D ．1y x=3．函数21()log f x x x =-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（）A ．18人B ．36人C ．45人D ．60人5．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．c<a<b7．函数()ln f x x=的图象大致为（）A ．B．C ．D ．8．若1ab >，则下列等式中正确是的是（）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =9．函数()f x 与函数1()()2x g x =的图像关于直线y x =对称，则函数2(4)f x x -的单调递增区间为（）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(2,4)D ．(2,)+∞10．我们处在一个有声世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=⋅（其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度），则70dB 的声音的声波强度1I 是60dB 的声音的声波强度2I 的（）倍A ．76倍B ．110倍C ．10倍D ．7ln6倍二､填空题（共5小题）11．已知点1,273⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()()2a f x t x =-的图象上，则t a +=.12．函数21y x =-在区间[]3,4上的平均变化率为.13．已知函数21(,0()2log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则不等式()1f x >的解集为.14．,m n 是集合122,1,,,223⎧⎫--⎨⎬⎩⎭的元素，且m n >，若函数()m f x x =与()n g x x =的图像恰有两个交点，则,m n的一组值可以是：m =，n =.15．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为123t t t ，，，则2132t t t >+．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）三､解答题（共6小题）16．计算：（1）02163278[(2)]8⎛⎫--- ⎪⎝⎭．（2）341lg 2lg3lg 5log 2log 94-+-⋅．17．已知,,a b c 为正数，346,2a b ca mb ===，(1)求m ；(2)若1112c a b -+=，求3a 的值18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，函数的解析式为()()2log 1f x x =+.(1)求()1f -的值(2)若[]3,3x ∈-求函数()f x 的值域；(3)求函数()f x 的解析式；19．已知函数()2121x xf x -=+.(1)判断函数()f x 的奇偶性并证明.(2)求函数()f x 的值域.(3)求函数()f x 的反函数()1f x -的解析式20．若函数()f x 满足下列条件：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 具有性质M ：反之，若0x 不存在，则称函数()f x 不具有性质M .(1)判断函数()2x f x =是否具有性质M ，若具有性质M ，求出对应的0x 的值；若不具有性质M ，说明理由.(2)已知函数()2lg1ah x x =+具有性质M ，求a 的取值范围.(3)证明函数()22x g x x =+具有性质M .1．B【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系.【详解】311222228x x -<<⇔<<，得31x -<<，则{}31A x x =-<<，0.3log 1x >，得00.3x <<，则{}00.3B x x =<<，所以B A ⊆.故选：B2．A【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数(),0,0x x f x x x >⎧==⎨-≤⎩，则()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且()f x x=在区间()0,∞+上为单调递增函数，符合题意；对于B 中，函数()ln f x x=的定义域为(0,)+∞，所以函数()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()e xf x =，根据指数函数的性质，可得函数()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数()1f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞++∞ ，关于原点对称，且满足()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当,()0x ∈+∞时，可得()1f x x =为单调递减函数，不符合题意.故选：A.3．B【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.【详解】()10110f =-=-<，()1121022f =-=>，且函数()21log f x x x =-的定义域是()0,∞+，定义域内2log y x =是增函数，1y x =-也是增函数，所以()f x 是增函数，且()()120f f <，所以函数21()log f x x x =-的零点所在的区间为()1,2.故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.4．B【解析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.【详解】解： 女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：301=1505，∴抽取的男生人数为：1180365⨯=.故选：B.5．C【解析】由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．D【分析】利用2xy =的单调性，可比较a 和b 的大小，利用中间值1，可比较a 与c 的大小，即可得答案.【详解】因为2xy =在R 上为单调递增函数，所以0.0.2080.8221122b -⎛⎫==>⎪> ⎭=⎝，即1b a >>，又5log y x =在(0,)+∞上为单调递增函数，所以55log 4log 51c =<=，所以c<a<b .故选：D7．B【解析】确定奇偶性，再利用函数值的正负，与变化趋势，排除三个选项，得出正确答案．【详解】首先1()()ln x f x f x x-=，是偶函数，排除A ；01x <<时，()0f x <，排除C ；当0x >且0x →1→，而ln x →-∞0→，排除D ．故选：B ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等，特殊的函数值，函数值的正负及变化趋势等排除错误选项，得出结论．8．D【分析】根据对数的运算法则、换底公式判断．【详解】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．9．C【分析】由互为反函数的解析式的求法可得12()log f x x=，再结合复合函数的单调性的求法可将求2(4)f x x -的单调递增区间问题转化为求24t x x =-在0t >的条件下函数的减区间,运算即可得解.【详解】解:由函数()f x 与函数()g x 互为反函数,则12()log f x x=,令24t x x =-,因为12()log h t t=为减函数,则2(4)f x x -的单调递增区间为24t x x =-在0t >的条件下函数的减区间,又函数24t x x =-在0t >的条件下的减区间为()2,4,故选C.【点睛】本题考查了反函数的求法及复合函数单调性得求法，重点考查了复合函数单调性的判断，属中档题.10．C【分析】由题设中的定义，将音量值代入010lgII η=，计算出声音强度1I 与声音强度2I 的值，即得．【详解】由010lgI I η=⋅，可得107010lg I I =，所以71010I I =⨯，同理得62010I I =⨯，所以1210I I =，所以70dB 的声音的声波强度1I 是60dB 的声音的声波强度2I 的10倍.故选：C.11．0【解析】由幂函数的定义和已知条件即可求出,t a ，从而可求出t a +.【详解】解：由题意知，()f x 为幂函数，则21t -=，即3t =，则127=3a⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以0t a +=，故答案为:0.【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了幂函数解析式的求解，属于基础题.12．7【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即可得解.【详解】依题意，函数21y x =-在区间[]3,4上的平均变化率为()()224131743---=-.故答案为：713．(,0)(2,)-∞+∞ 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性分段解不等式即得.【详解】函数21(,0()2log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则不等式()1f x >化为：01()12xx ≤⎧⎪⎨>⎪⎩或20log 1x x >⎧⎨>⎩，解得0x <或2x >，所以不等式()1f x >的解集为(,0)(2,)-∞+∞ .故答案为：(,0)(2,)-∞+∞ 14．232-【分析】画出2y x -=，1y x -=，12y x =，23y x =和2y x =的函数图象，从而数形结合得到答案.【详解】2y x -=的图象如下：1y x -=的图象如下：12y x =的图象如下：23y x =的图象如下：2y x =的图象如下：可知，若函数()mf x x =与()ng x x =的图像恰有两个交点，可令2,23m n ==-，此时满足要求，可令2,2m n ==-，此时满足要求，可令12,2m n ==，也满足要求，故答案为：2,23m n ==-（2,2m n ==-；12,2m n ==其中一组也正确）15．①②④【解析】直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【详解】解：浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠,函数的图象经过()2,2所以212a=﹣,解得2a =．①当0x =时12y =,故选项A 正确．②当第8个月时,8172212860y ===>﹣,故②正确．③当1t =时,1y =,增加0.5,当2t =时,2y =,增加1,故每月的增加不相等,故③错误．④根据函数的解析式11210t -=,解得12101t log +=,同理22201t log +=,32301t log +=,所以2221222220240023002t log log t t log =+=+=+>+,所以则2132t t t >+．故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．16．（1）π8+；（2）2．【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）()126424378(3π)28⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎣⎦⎝⎭()21363221π32⨯⨯=-+-+2321π2=-++4π48=+-+π8=+．（2）341lg2lg3lg5log 2log 94-+-⋅232lg2lg 3lg5log 2log 3-=-+-⋅lg22lg23lg51=++-()3lg2lg51=+-3lg101=-31=-2=．【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.17．(1)34log 2(2)【分析】（1）设346a b ck ===，根据指数与对数互化，表示出a ，b ，c ，再结合对数运算可得解；（2）根据指对运算可得1112c a b -=，结合条件可求得b ，再由a 与b 关系求得答案.【详解】（1）346a b c== ，,,a b c 均为正数，设346a b ck ===，0k >，3log a k ∴=，4log b k =，6log c k =，334lg log lg 4lg 3log 4lg log lg 3lg 4kk a k b k ∴====，又2a mb =，3322log 44log 2am b ∴===.（2）3log a k = ，4log b k =，6log c k=，1log 3k a ∴=，1log 4k b =，1log 6k c =，1111log 6log 3log 2log 422k k k k c a b ∴-=-===，又1112c a b -+=，解得34b =，由（1）知，3log 4a b =，34333log 4log 44a ∴==，3433log 44334a∴===.18．(1)1-(2)[]22-,(3)()()()22log 1,0log 1,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--+<⎪⎩【分析】（1）根据奇函数的性质()()11f f -=-，结合已知计算得出答案；（2）根据奇函数的性质得出()00f =，再根据已知0x >时的函数解析式得出其在(]0,3x ∈上的值域，即可根据奇函数值域的特点得出其在[)3,0x ∈-上的值域，综合上述得出答案；（3）根据奇函数的性质得出()00f =，当0x <时，0x ->，将x -代入已知函数解析式，在根据奇函数性质即可得出0x <时的函数解析式，综合已知与上述情况得出答案.【详解】（1）()()2log 1f x x =+，则()()221log 11g 12lo f ===+()f x 是定义在R 上的奇函数，()()111f f ∴-=-=-.（2）()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，0x >时，函数的解析式为()()2log 1f x x =+，(]0,3x ∴∈时，()()2log 1f x x =+单调递增，则在(]0,3x ∈上时，()()()222log 01log 1log 31x +<+≤+，即()(]0,2f x ∈，又()f x 是定义在R 上的奇函数，[)3,0x ∴∈-时，()[)2,0f x ∈-，综上所述：[]3,3x ∈-，函数()f x 的值域为[]22-,.（3）当0x =时，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，当0x >时，函数的解析式为()()2log 1f x x =+，当0x <时，0x ->，则当0x <时，()()2log 1f x x =--+，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()2log 1x f x f x ∴--=-=+-，综上所述：()()()22log 1,0log 1,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--+<⎪⎩.19．(1)()f x 为奇函数，理由见解析(2)()1,1-(3)()122log 11f x x -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，()1,1x ∈-【分析】（1）利用函数奇偶性判断出函数为奇函数；（2）分离常数后得到函数的值域；（3）求出212log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，得到反函数，注意定义域.【详解】（1）()2121x x f x -=+为奇函数，理由如下：()2121x x f x -=+的定义域为R ，()()11211221212112xx x x x x f x f x -------===-+++，故()2121x x f x -=+为奇函数；（2）()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，所以211x +>，10121x <<+，211121x -<-<+，故()()1,1f x ∈-；（3）2121x y =-+，故212log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故()122log 11f x x -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，()1,1x ∈-；20．(1)具有性质M ，01x =(2)3a ⎡∈⎣3)证明见详解【分析】（1）将()2x f x =代入()()()0011f x f x f +=+，求出0x 即可判断；（2）由题意，存在0x ，使得()()()0011h x h x h +=+，化简得()20022220a ax a x -++-=有实根，分类讨论即可求出答案；（3）将()22x g x x =+代入条件式()()()0011f x f x f +=+，即判断方程002220x x +-=有实数解，即函数()222x x x ϕ=+-有零点.【详解】（1）将()2x f x =代入()()()0011f x f x f +=+，可得001222x x +=+，解得01x =，所以函数()2x f x =具有性质M ，且01x =.（2）由题意，()h x 的定义域为R ，0a >，因为()h x 具有性质M ，所以存在0x ，使得()()()0011h x h x h +=+，代入得：()2200lg lg lg 1211a a a x x =++++，化简整理得()20022220a ax a x -++-=有实根，若2a =，得012x =-，若2a ≠，由0∆≥，即2640a a -+≤，解得33a ≤≤，)(322,3a ⎡∴∈⋃+⎣，综上可得3a ⎡∈-+⎣.（3）将()22x g x x =+代入条件式()()()0011f x f x f +=+，可得002220x x +-=，令()222x x x ϕ=+-，x ∈R ，由()010ϕ=-<，()120ϕ=>，所以函数()x ϕ在()0,1上存在零点0x 使得()00x ϕ=，即002220x x +-=成立，所以函数()22x g x x =+具有性质M .。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
河南省南阳市淅川县第一高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
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3．B 【解析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的定义判断 可得出结论.
【详解】对于 A 选项，函数 y = 1的定义域为 R ，函数 y = { x0 的定义域为 x x ¹ 0} ，
A 选项中的两个函数不相等；
对于 B 选项，函数 y = x 与 y = max{x, -x} 的定义域均为 R ，
A． y = 1与 y = x0
B． y = x 与 y = max{x, -x}
C． y = x2 +1 与 y = x +1
D．
y
=
x2 -1 与 x +1
y
=
x
-1
4．设函数 f ( x) = x2 - 4x +1 在区间[1, 4] 上的值域为（ ）
A．[-3,1]
B． (-¥, -3) È (1, +¥) C．[-2,1]
A．函数
y
=
x
+
1 x
的最小值是
2；
B．若
a,
b
Î
R
且
ab
>
0
，则
b a
+
a b
³
2
；
试卷第21 页，共33 页
C． y = x2 + 3 + 1 的最小值是 2； x2 + 3
D．函数
y
=
2
+
x
+
1 x
(
x
<
0)
的最大值为
0．
11．已知函数
f
(x)
=
ìx2 - 6x + 6, x íî3x + 4, x < 0
洛阳市第一高级中学2020_2021学年高一数学12月月考试题
河南省洛阳市第一高级中学2020—2021学年高一数学12月月考试题一、选择题(本题共计12 小题,每小题5分，共计60分）1。
下列命题中正确的有①一个棱柱至少有个面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；A。
个 B.个 C.个D。
个2. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则A．B．C．D．3。
如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为，则四棱锥的体积为A.B。
C.D.4。
我国古代数学名著《九章算术》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量为（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)A.寸B。
寸 C.寸D。
寸5。
已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为,则该圆锥的体积为A。
B。
C。
D。
6. 如图,在直三棱柱中，,，若半径为的球与三棱柱的底面和侧面都相切,则三棱柱的体积为A.B。
C。
D.7. 若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为A。
B。
C。
D。
8。
在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为A. B. C. D.9. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥为鳖臑,平面，,，且三棱锥的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为A. B.C。
D。
10.如图，在四面体中,已知,，，则四面体被截面分得的上下两部分的体积之比为A.B。
C。
D。
11. 如图所示，正方体的棱长为，，分别为，的中点，点是正方形内的动点包括边界,若平面,则动点的轨迹长度为A. B.C。
D.12. 如图，在正方体中,点，,分别是棱的中点，给出下列四个推断：①平面;②平面；③平面；④平面平面; ⑤平面平面。
河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。
河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
(1)求函数 f (x) 的解析式； (2)若对 x (1, 2) ，不等式 log3[ f ( x) m] 2 成立，求实数 m 的取值范围．
21．已知函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称，且 f x x2 2x .
(1)求函数 g x 的解析式；
(2)若函数 h x g x f x 1在1,1 上单调递减，求实数 的取值范围.
A．1, 2
B．2, 1, 0
C．0,1, 2
D．2, 1, 0,1, 2
2x, x 0
3．已知函数
f
x
sin
πx 3
,
x
0
则
f
(1)
（
）
A． 3
2
B． 1 2
C．
1 2
4．函数 f (x) ln(x 1) 3 的零点所在区间为（ ） x
A． (2,3)
B． (3, 4)
C． (4,5)
22．两县城 A 和 B 相距 20km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的总 影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和.记 C 点到城 A 的距离为 xkm ，建在 C 处的垃圾 处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y .统计调查表明垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选 地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的 距离的平方成反比，比例系数为 9.
(1)若垃圾处理厂建在圆弧 AB 的中点处，求垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度； (2)求垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度的最小值.
试卷第 3页，共 3页
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河南省高一上学期数学 12 月月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） 若集合 S={a, b, c} (a, b, c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能 是（ ）
A . 锐角三角形
B . 等腰三角形
C . 钝角三角形
D . 直角三角形
2. （2 分） 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（ ）
A . 所有不能被 2 整除的数都是偶数
B . 所有能被 2 整除的数都不是偶数
C . 存在一个不能被 2 整除的数是偶数
D . 存在一个能被 2 整除的数不是偶数
3. （2 分） (2019·天津模拟) 在 的（ ）条件
中，有一个内角为
，“
”是“
”
A . 充分不必要
B . 必要不充分
C . 充要
D . 既不充分也不必要
4. （2 分） (2019 高一上·凌源月考) 方程
的解集为（ ）
A.
第 1 页 共 15 页
B. C. D.
5. （2 分） (2019 高一上·重庆月考) 已知函数
A. B. C. D . -2
6. （2 分） (2018 高三上·定远期中) 设函数 f(x)＝ [f(x)]的值域是 （ ）
A . {0,1} B . {0，－1} C . {－1,1} D . {1,1}
．则
（）
，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 y＝
7. （2 分） 已知： A . －1 B.1 C . －2 D.2
则 f(f(5))等于（ ）
第 2 页 共 15 页
8. （2 分） (2020 高一上·内江期中) 函数 A. B. C. D.
的定义域为（ ）
9. （2 分） (2019 高一上·成都期中) 已知
表示 两数中的最大值，若
，
则
的最小值为（ ）
A.
B.1
C.
D.2
10. （2 分） (2019 高一上·西湖月考) 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A. B.
C.
D.
11. （2 分） (2020 高一上·三明月考) 已知 U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则 （）
A.
4，6
B.
C.
第 3 页 共 15 页
D.
12. （2 分） 若不等式
与不等式
A.
B.
C.
D.
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
的解集相同，则
（）
13. （1 分） (2019 高一上·葫芦岛月考) 用“ ”“ ”“
________
.
”“
”填空：
________Q，
14. （1 分） (2020 高一下·易县期中) 已知函数
在 R 上是奇函数，且当
时，
，
则
时，
的解析式为________.
15. （1 分） (2019 高一上·凌源月考) 已知方程组 值为________.
的解也是方程
的解，则 m 的
16. （1 分） (2019 高二上·兴宁期中) 函数
的定义域为________．（用集合或区间表示）
三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)
17. （10 分） 已知 A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}．
（1） 若 A∩B=∅，求 a 的取值范围；
（2） 若 A∩B={x|3＜x＜4}求 a 的取值范围．
18. （10 分） (2019 高一上·山西月考) 解不等式
．
19. （10 分） (2019 高一上·葫芦岛月考) 已知不等式
的值．
第 4 页 共 15 页
的解集为
，求 、
20. （10 分） (2018·自贡模拟) 已知函数
．
（1） 求
的单调区间；
（2） 若
有极值，对任意的
，当
21. （5 分） (2020 高三上·临高月考)
，存在 使
的内角
的对边分别为
，证明： 已知
（1） 求 ；
（2） 若
求
面积的最大值.
22. （10 分） (2018 高一上·扬州期中) 已知 是满足下列性质的所有函数
（其中 为函数
的定义域），均有
成立.
组成的集合：对任何
（1） 已知函数
，
，判断
与集合 的关系，并说明理由；
（2） 是否存在实数 ，使得
，
不存在，请说明理由；
属于集合 ？若存在，求 的取值范围，若
（3） 对于实数 、
，用
表示集合 中定义域为区间
的函数的集合.
定义：已知
是定义在
上的函数，如果存在常数
，对区间
的任意划分：
数”，其中常数 称为
，和式
恒成立，则称
为
上的“绝对差有界函
的“绝对差上界”， 的最小值称为
的“绝对差上确界”，符号
上确界”.
；求证：集合
中的函数
是“绝对差有界函数”，并求
的“绝对差
第 5 页 共 15 页
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点： 解析：
参考答案
答案：3-1、 考点： 解析：
答案：4-1、 解析：
第 6 页 共 15 页
答案：5-1、 考点：
解析： 答案：6-1、 考点： 解析：
答案：7-1、 考点： 解析： 答案：8-1、 考点：
第 7 页 共 15 页
解析： 答案：9-1、 考点：
解析：
第 8 页 共 15 页
答案：10-1、 考点：
解析： 答案：11-1、 考点：
解析： 答案：12-1、 考点： 解析：
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
第 9 页 共 15 页
答案：13-1、 考点：
解析： 答案：14-1、 考点：
解析： 答案：15-1、
解析： 答案：16-1、
第 10 页 共 15 页
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共55分)
答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。