大学微积分l知识点总结(一)
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大学微积分l 知识点总结
【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：
ab 2b
a ≥+
ab
2b a 22≥+
3abc 3c b a ≥++ ()n n
21n 21...a a a n a ...a a ≥+++
abc 3c b a 333≥++
2b a 2b a ab b
1a 12
2
2+≤+≤≤+
b a b a b -a +≤±≤
()
n
n 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ⎪
⎭
⎫
⎝⎛+++=+++•••=的最大值为：则为常数，且扩展：若有
柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有：
()()()()()()()()()
22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++
()时取等号
为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ
2、函数周期性和对称性的常用结论
1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），
则f （x ）具有对称性。
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性
（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a
（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性
（1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2
（2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称
引申双向不等式： 两侧均在ab ≥0或ab ≤0时取等号
4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（1）若f （x ）的图像有两条对称轴x=a 和x=b ，则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。
（2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。
（3）若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。
3、三角函数
l n sin =
∂正弦 l m cos =∂余弦 m n
tan =
∂正切
n m cot =∂余切 m l sec =∂正割 n l
csc =
∂余割 倒数关系：
∂=∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=
∂sec 1
cos
商的关系： ∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂
=∂=∂∂sec csc cot sin cos 平方关系：
1
cot 11tan 11cos sin 2222=∂+=∂+=∂+∂
平常针对不同条件的两个常用公式：
1cot tan 1cos sin 22=∂•∂=∂+∂
一个特殊公式：
()()()()
θθθθ-sin sin sin -sin sin sin ∂+∂=∂+∂
二倍角公式：
A
A
A A A A A A
A A 2222tan -1tan 22tan sin 2-1sin -cos 2cos cos sin 22sin =
==•=
L m
n
α
半角公式：
()()sina cosa 1cosa
-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 12
1
2a cos cosa -12
1
2a sin 22+=
=⎪⎭⎫
⎝⎛=
+=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 三倍角公式：
⎪
⎭
⎫
⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪
⎭⎫
⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪
⎭⎫
⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪
⎭⎫
⎝⎛=
2a tan -12a tan 2tana 2a tan 12a tan -1cosa 2a tan 12a tan 2sina 2222
两角和公式：
()()()()()()β
β
βββββ
βββββββββββtan tan 1tan -tan -tan tan tan -1tan tan tan sin sin cos cos -cos sin sin -cos cos cos sin cos -cos sin -sin sin cos cos sin sin •∂+∂=
∂•∂+∂=
+∂•∂+•∂=∂•∂•∂=+∂•∂•∂=∂•∂+•∂=+∂ 和差化积公式：