机械振动学习题解答(二)教程文件

t
sin

n
2
t

dt


a
n
1
所以
x0 (t)

a 2
a

n1
1 n
sin
n0t
0.5 0
奇函数的Fourier级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。
0
0.5
1
1.5
2
系统的微分方程为 m&x& cx& kx k(x x0 )
即
m&x& cx& 2kx
《机械振动学》习题解答（二）
2013-04-19
4－1 如图所示，质量为 m 的油缸与刚度为k的弹簧相连，通 过阻尼系数为 c 的黏性阻尼器以运动规律 y = A sin ωt的活塞 给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。
解：设油缸位移为 x，活塞位移
x m
为 y，对油缸建立方程
k
c
y
sin 2 nt n
7000 80 2n2 2 (400 n)2
0

2
其中
n
arctan
2k
cn0 mn202

arctan
400 n 7000 80 2n2
4－9 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。求 弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。
所以x相对于y的相位差
arctan c
2
k m2
4－2 如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转
动，弹簧一端有简谐位移扰动 A cos ωt 。试导出系统的振动
微分方程，并求系统的稳态响应。
A cos ωt
m
xB k
解：设刚性杆向顺时针方向转动θ角，
a
则图中B点的位移和速度分别为
2
k W
4－8 图示系统中，集中质量 m = 20 kg，弹簧刚度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c = 0.2 kN·s/m，凸轮的转速 为60r/min，行程为0.01m。试求系统的稳态响应。
解：设凸轮的行程为a，则凸轮的位移可表示为
x0
(t)

a

t，并由题意知：a
=
0.01m，周期τ
m&x& c x& y& kx
即
m&x& cx& kx cy& cAcost
方程的解为 x X cos(t )
x的振幅 X
c A
(k m2 )2 (c)2
相位


arctan
k
c m2
而活塞的运动为 y Asin(t) Acos(t / 2)
1
cost
(1 r2 )2 (2 r)2
r /
(ka2 mgL) / mL2 /
ka2 mL2

g L

ca2
2L m(ka2 mgL)
tan1 2 r
1 r2
4－3 求弹簧-质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F0 sin ωt 作 用下的振幅。在什么条件下运动能继续？
m 2 X k0ei2 X F0
k0 cos 2 m2 ik0 sin 2 X F0
解得
X X ei
所以 x Xeit X ei(t)
其中 X
F0
k0 cos 2 m2 2 k0 sin 2 2
解：库仑阻尼的等效阻尼系数
4 N ce X
振幅
X
F0
k m2
2


4 N X
2

上式可化简为
k m2
2
X
2


4 N
2

F02

X
F02 4 N / 2
k m2 2
要使运动能继续，X不能为虚数，所以
B
xB a sin a , x&B a cos & a&
c
对刚性杆用动量矩定理
mL2&& mg Lsin cx&B k xB Acost a cos
由sin ,cos 1化简得微分方程
mL2&& ca2& ka2 mgL akAcost
F02 4N / 2 0
N
F0 4
4－5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用 复数形式 k k0ei2表示，系统的等效质量为 m，求系统在简谐 激励下的响应。
解：系统的微分方程为 m&x& k0ei2 x F0eit 设系统的稳态响应 x Xeit，代入上式得

kx0

ka


1 2
1

n1
1 n
sin
n0t

于是稳态响应
静载荷
多个简谐激励
ka / 2 ka 1
x(t)

2k n1 n
sin n0t n
2k mn202 2 (cn0 )2
0.0025 35 1
n1 n
L
系统方程为 W&x& k(x y) 0 W&x& kx kY sin 2 v t
L
稳态响应
x

k

W
kY
2
v
/
L2
sin

2 v
L
t



振幅
kY
X k W 2 v / L2
系统发生共振时为最不利的情况
n
2 v k
LW
v L
mg θ
L
微分方程
mL2&& ca2& ka2 mgL akAcost
稳态响应

akA
cost
ka2 mgL mL22
2

ca2
2
其中


arctan
ka2

ca2
mgL
mL2 2
或 其中
akA
ka2 mgL
arctan k0 sin 2 k0 cos 2 m2
4－7 弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由 度系统模拟。若每经过距离为 L 的路程，路面的高低按简谐 规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度 v 之间的关系，并 确定最不利的运行速度。
解：将路面看成简谐激励，其周期 T L / v ，则角频率 2 v
=
1s。
将x0(t)展开为Fourier级数
x0 (t) a0 an cos n0t bn sin n0t ,
n1
0

2
其中
1 a
a
a0
tdΒιβλιοθήκη Baidu ,
0
2
2
an
0
a

t
cos

n
2
t

dt

0,
bn

2

0
a