第三章基底压力计算

建造建筑物之前： p1 =σcz
前
建造建筑物之后： p2 p
后
新增的应力： p0 p2 p1 p cz
14
p0 p cz p 0d
式中：p0为基础底面的平均附加应力，kpa；p为基础底面的平均接触
应力，kpa； cz 为基底处的自重应力，kpa；d为基础埋深，m； 0 为
基础底面以上土的加权平均重度，kpa，

0

ihi
d
。
15
有了基底附加应力，即可把它作为施加在弹性半空间 表面上的局部荷载，计算地基中的附加应力。
16
一、假定
§3.5 地基中的附加应力
目前附加应力的计算方法是根据弹性理论推导出来的 ，即符合以下几点假定。
1、地基是半无限弹性体； 2、地基土是均匀、连续、各向同性的；
xyz R5
1 2
3
2R z R z2
xy R3

xz
zx
3F
2
xz 2 R5
yz
zy
3F
2
yz 2 R5
19
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
z

3F
2 R2
cos3

3F
2
z3 R5
R r2 z2
F
z
（1）
b
c
Ⅱ
oⅠ
a
d
σz = ( CⅠ+ CⅡ) p0
b
ⅢⅣ （2） o
ⅠⅡ a
c σz=(CⅠ+CⅡ+CⅢ+CⅣ)p0
当o点位于荷载面中心时，
d CⅠ= CⅡ= CⅢ= CⅣ，σz=4 CⅠp0
28
b cf
（3） e a
ⅡⅣ ho
ⅠⅢ
dg
σz=(CⅠ+ CⅡ- CⅢ- CⅣ)p0

3F
1
2oz
2

x
1

r r z
2

5 2

y
F z2
x
其中 = (r/z)称为竖向R集中荷载作z 用下的附加应力系数，
具体y的 值见教材p88表3.5.1
M
z
20
(2)集中力作用下弹性半空间中σz的分布
z

3
2
1


r
5
2 2
二、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力 在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力
，而后用角点法计算任意点处的应力。
1、角点下的应力
以矩形荷载面任一角点为坐标 原点O，如右图所示。
矩形均布荷载角点下的附加应力
24
z

3F
2 R2
cos3

3F
2
z3 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 R5
b
ce
（4）
a h
ⅠⅡ Ⅲd Ⅳf
go
σz=(CⅠ- CⅡ-CⅢ+CⅣ)p0
29
z c p0
基底附加应力
p0 p cz p 0d
30
例题
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
均布荷载P0=100kPa，荷 载面积为2m×1m，如图 所示，求荷载面积上角 点A，边点E，中心点O ，以及荷载面积以外F 、G各点下Z=1m处的附 加应力。
ey
B
ex
y
12
三、基底附加压力p0
土中附加应力是指土体受外荷载（如建筑物荷载、 交通荷载、地震等）作用，在土体中产生的应力增量。
它是引起土体变形和地基变形的主要原因（土中的 自重应力一般不引起地基变形），也是导致土体强度破 坏和失稳的重要原因。
13
基底压力中减去基底标高处原有土的自重应力，剩余 部分才是建造建筑物后新增的应力，即基底附加应力。
基底接触应力及简化计算
2、矩形面积单向偏心荷载下的基底接触应力
pmax
m in

F
G A

M W
Fv＝F＋G
d
yc
M y =(F +G ) •e
w
y
=bl 6
2
pm ax
m in

F
G（1 A
6e ) l
x
e
xb
a Ly
d
b c
a
pmin b
pmax
pmin
pmax
当e＜L/6时，基底接触应力成梯形分布；
c p0
c = f(m, n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系 数。c可从教材P91表3.5.2查得。
ml b nz b
L为长边 ，b为短边
25
表3.5.2
26
非角点处地基附加应力的计算
27
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
2. 矩形均布荷载任意点的应力 — 角点法
角点法：利用角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中 任意点的附加应力的方法。

z R3

y

3F
2

y2z R5
1 2
3
1

R

R

z

2R z y2 R z R5

z R3

z

3F
2 R2
cos3
3F
2
z3 R5
使地基土产生压缩
xy
yx

3F
2

σzA= cp0=0.1999×100=20（kPa）
32
D
I
CH
0.5m 0.5m
（2）求E点下1m深处竖向附加应力σzE。 J
O
A
E
1.0m
1.0m
E点将矩形荷载面积分为2个相等矩形EIDA和EBCI，求EIDA
的角点应力系数。根据l，b，z的值可得
K
Байду номын сангаас
B
0.5m
G
l／b=1／1=1
z／b=1／1=1
d:基础埋深，必须从设 计地面或室内外平均设 计地面算起。
注意d的选取
内墙、内柱
外墙、外柱
d=(1.0+1.3)/2=1.15m 6
若基础为长条形，则在长度方向截取1m进行计算， 此时基底平均压力为：
p Q FG F G A b1 b
注：此时上式中的F、G代表每延米内的相应值。
7
力系数。
求c : l／b=2.5／1=2.5 z／b=1/1=1
查表2-2（线性插值法），得c =0.202
求cⅢ l／b=1／0.5=2
z／b=1/0.5=2
查表2-2，得 cⅢ =0.1202
σzG=（c cⅢ）p0=(0.202-0.1202)×100=8.2（kPa） 36

F z2

F z2
z
1.集中力作用线上，附加应力随深度增加而递减； 2.离集中力作用线某一距离r时，在地表处得附加应力σz =0；随深度 增加，σz逐渐递增，到一定深度后， σz又随深度增加而减少；
3.当z一定时，即在同一水平面上，附加应力随着r的增大而减小。
21
（3）应力泡
8
基底接触应力及简化计算
pm ax
m in

F
G（1 A
6e ) l
Fv＝F＋G
d
yc
x
e
xb
a Ly
b
当e=L/6时，基底压力为三角形分布； d
c
Pmin=0
a Pmin=0
b pmax
pmax
9
pm ax
m in

F
G（1 A
6e ) l
当e＞l/6时， 基底压力pmin＜0
土不能承受拉应力
压力调整
基底压 力合力 与总荷 载相等
pmax

2(F G) 3ba
x
Pmin<0x a
Fv＝F＋G
y
e a xb ly
Fv＝F＋G
d Pmin<0 y
c
x pmax
b y
pmax
pmax pmax 10
对于条形基础，沿长度方向取1m作为计算单元，即
pm ax
m in

F
G（1 b
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
将半空间内σz相同的点连接起来就得到σz的等值线 ，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。
离集中力作用点越远， 附加应力越小。
集中力作用下σz的等值线
22
（4）叠加原理
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
P1
P2
σ z1
σ z1+ σ z2
σ z2
23
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
6e ) b
11
基底接触应力及简化计算
3、矩形面积双向偏心荷载
p
max min
(x
,
y
)
=
Fv A
±M x y Ix
M ±
y
x
Iy
Fv
L
p
max min
(x
,
y
)
=
Fv A
±M x Wx
M ±
y
Wy
x
M x Fv ey M y Fv ex
Wx、Wy分别为基础底面对x轴 和y轴的弯曲截面系数。
0.5m 0.5m
D
I
P0=100KPa
CH
J
O
KF
A
1.0m
E
1.0m
B
0.5m
G
31
0.5m 0.5m
【解】
D
I
CH
J
O
KF
（1）求A点下1m深处地基附加应力σzA
A
1.0m
E
1.0m
A点是矩形面积ABCD的角点。根据l，b，z的值可得
B
0.5m
E
l／b=2／1=2 z／b=1／1=1
查表2-2得 c =0.1999，所以
17
一、集中力作用下地基附加应力计算（布西内斯克解）
F
o
x
r

y
x
z
R
z
zx
y
z
M
xy
x
y yz
18
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
M(x、y、z)点的应力：
x

3F
2
x2 z

R5
1 2
3
1

R

R

z

2R z x2 R z R5
砂性土地基
小荷载 极限荷载
粘性土地基
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为 直线分布。
4
1、竖向中心荷载矩形基础: Q
B
Q F G
x
L
p Q FG
y
AA
F为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KN
G为基础及上回填土的总重 G G Ad G 20kN/m3
5
地下水位以下部分取有效重度
在OACD上积分，即得矩形均布荷载p0在M点引起的附加 应力σz：
z
l 0
b 3 p0 0 2
z3
5 dxdy
x2 y2 z2 2

p0 2
arctg
n
m 1 m2 n2

mn 1 m2 n2

1 m2 n2
1
1 n2

l/b=1.1，z/b=0.2
c
0.2489 0.2486
0
1.0 1.1 1.2
m
37
结论：
P=100KPa
D
I
CH
J
O
KF
0.5m 0.5m
A
1.0m
E
1.0m
B
0.5m
G
在矩形面积受均布荷载作用时，不仅在受荷面垂直下 方的范围内产生附加应力，在荷载面积外的土中也产生 附加应力；
在地基中同一深度处，离矩形面积中线越远的点，其 附加应力越小，矩形面积中点处附加应力最大。
矩形面积上作用三角形分布
时角点下的附加应力
39
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
B
0.5m
G
对于AEOJ，
l／b=1／0.5=2
z／b=1/0.5=2
查表2-2，得 c =0.1202
σzO=4 c p0=4×0.1202×100=48（kPa）
34
D
J
（4）求F点下1m深度处竖向应力σzH。
A
1.0m
通过F点作矩形FGAJ，FHDJ，FKCH，FGBK。
0.5m 0.5m
查表得 c =0.1752，所以 σzE=2 c p0=2×0.1752×100=35（kPa）
33
D
I
CH
0.5m 0.5m
J
O
（3）求O点下1m深度处竖向应力σzH。
A
E
1.0m
1.0m
O点是AEOJ，EBKO，OKCI，JOID的公共角点。σzO是由四
块面积各自引起的附加应力的叠加。
K
σzF=2（c cⅢ）p0=2(0.1363-0.084)×100=10.4（kPa 35 ）
P=100KP
0.5m 0.5m
D
（5）求G点下1m深度处竖向应力σzH。 J
通过G点作矩形GHDA,GHCB。
A
1.0m
I
O c
E
1.0m
CH
K cⅢ
F
B
0.5m
G
设 c 为矩形GHDA角点应力系数， cⅢ 为矩形GHCB的角点应
基础条件
地基条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
•土类
•密度
•土层结构
2
等
基底接触应力及简化计算
一、基底接触应力实际分布
柔性基础：刚度较小，基底接触应力与其上的荷载大小 及分布相同；
3
基底接触应力及简化计算
刚性基础：刚度较大，基底接触应力分布随上部荷载的大 小、基础的埋深及土的性质而异。
小荷载 极限荷载
§ 3.4 基 底 压 力 计 算
建筑物设计
上部结构 基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础底面传递给地基表面的压力称为基底压力(P,单位：kPa) ； 地基支撑基础的反力称为地基反力。
1
基底接触应力及简化计算
影响基底接触应力分布图形的因素
•大小 •方向 •分布
荷载条 件
I

O
c
E
1.0m
CH

K
cⅢ
F
B
0.5m
G
设 c 为矩形FHDJ和FGAJ的角点应力系数， cⅢ 为矩形FKBG
和FHCK的角点应力系数。
求c : l／b=2.5／0.5=5 z／b=1/0.5=2
查表2-2，得 c =0.1363
求cⅢ l／b=0.5／0.5=1 z／b=1/0.5=2 查表2-2，得 cⅢ =0.084
38
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
三、矩形面积上作用竖直三角形荷载
将上式沿矩形面积积分后， 可得出竖直三角形荷载作用在 矩形面上时，在零角点（1） 下任意深度z处所引起的竖直 附加应力σz为
σz=t1p0
在荷载最大值边的角点（2） 下任意深度z处所引起的竖直附 加应力σz为
σz=t2p0