初二数学上册培优辅导讲义人教版

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/ 83 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线、、相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线、、相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线上一点，、分别平分∠、 ∠．
⑴求∠的度数；
⑵写出∠的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵、平分∠、∠ ∴∠＝
21∠，∠＝21∠ ∴∠＝∠＋∠＝2
1
∠＋21∠＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠＋∠＝180° ∴∠＝21
×180°＝90° ⑵∠的余角是：∠、∠；∠的补角是：∠.
【变式题组】 01．如图，已知直线、相交于点O ，平分∠，且∠＝100°，则∠的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°
2．（杭
州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交
于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，
垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且＝4，＝
5，＝6，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4 B ． 5 C ．不大于4 D ．不小于6
02 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N
A
B
C D E
F A
B C D E F P
Q R C
E
F E A B
C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2
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为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线、相交于点O ，⊥，⊥，∠＝65°，求∠和∠的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠＝90°，⊥． 【变式题组】 01．如图，若⊥于O ，直线过点O ，∠︰∠＝1︰3，求∠、∠的度数. 02．如图，O 为直线上一点，∠＝3∠，平分∠． ⑴求∠的度数； ⑵试说明与的位置关系.
03．如图，已知⊥于B ，⊥于B ，并且∠︰∠＝1︰2，请作出∠的对顶角，并求
其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确
定它们的名称.
F B A O C
D E C D B
A E
O B
A
C
D
O
A B
A E D
C F E
B
A
D 1 4 2 3 6 5
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83
【变式题组】 01．如图，平行直线、与相交直线，相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
⑴∠＝∠； ⑵∠＋∠＝180°
⑶∠＝∠
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠＝∠，可推得∥；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠＋∠＝180°，可推得∥；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠＝∠可推得∥；根据内错角相等，两直线平行.
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴∥（ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴∥（ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴∥（ ） 02．如图，平分∠，平分∠，且∠1＝∠2，试说明与的位置关系.
解：∵是∠的平分线（已知） ∴∠＝2∠1（角平分线定义） 又∵平分∠（已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴∥（ ） 03．如图，已知平分∠，平分∠．∠＋∠＝90°，求证：∥． 04．如图，已知∠＝∠，平分∠，平分∠，∠＝∠，求证：∥. A B
D C H
Ｇ E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5 6 1 2
3 4
甲 1 A B C 2 3 4 5
6 7 A B C D O
A B D E F
A B C D E A B C D E F
1 2 A
B
C
D
E F
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个
角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°. 02．在同一平面内有2010条直线a12,…，a2010,如果a1⊥a22∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……
那么a1与a2010的位置关系是 .
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3….在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则＝ .
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠＝∠＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠
C．∠是α的余角D．α与∠互补
02．如图，已知直线、被直线所截，则∠的同位角为（）
A．∠B．∠C．∠D．∠
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠＝90°，⊥于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①⊥②与互相垂直③点C到的垂线段是线段④线段的长度是点B到的距
离⑤垂线段是点B到的距离⑥＞
A．0 B． 2 C．4 D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且＝4，＝5，＝6，
l1l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
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则点P到直线l的距离是（）
A．4 B．5 C．小于4 D．不大于4
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠＋∠＝ .
07．如图，矩形沿对折，且∠＝72°，则∠＝ .
08．在同一平面内，若直线a1∥a22⊥a33∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的
序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知平分∠，平分∠，且∠E＝∠＋∠．试说明∥？
12．如图，已知平分∠，平分∠，∠1＝∠2，那么直线
与的位置关系如何？
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴∥（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴∥（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴∥．
14．如图，请你填上一个适当的条件使∥．
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图第7题图第9题图
1
2
3 4
5
6
7 8
1
A
C D
E
B
A B
C D
E
F
1
2
A
B C
D
E
F
第14题图
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6 / 83
培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线、，那么两条对角线的夹角等于（ ）
A ．60°
B ． 75°
C ．90°
D ．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直
线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形中，∥， ∥，∠A ＝38【解法指导】
两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵∥ ∥ ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°
a b A
B C
7 / 83 【变式题组】
01．如图，已知∥，点E 在的延长线上，若∠＝155°，则∠的度数为（ ）
A ．155°
B ．50°
C ．45°
D ．25°
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50°
B ． 55°
C ． 60°
D ．65° 03．如图，已知∥∥，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知∥∥，⊥，∠B ＝60°，∠＝45°，求∠的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵∥∥ ∴∠B ＝∠ ∠F ＝∠(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠＝45° ∴∠＝60° ∠＝45° 又∵⊥ ∴∠＝90°（垂直定理） ∴∠＝90°－45°＝45° ∴∠＝60°－45°＝15° 【变式题组】 01．如图，已知∥, 且平分∠，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝ 02.如图,已知∠＋∠＝120°，、分别∠、∠，过点O 与平行，则∠＝ 03．如图，已知∥ ∥, 平分∠，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F .
【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明∥． 要证明∥, 即要证明∠D ＋∠＝180°，
即：∠C ＋∠＝180°；要证明∠C ＋∠ ＝180°即要证明∥． 要证明∥即要
证明∠1＝∠3. 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴∥（同位角相等•两直线平行）∴∠＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠C ＝∠D ∴∠＋∠D ＝180° ∴∥（同旁内角，互补两直线平
行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）
【变式题组】 01．如图，已知∥，∠1＝∠2，求证：∥
A
B
C
D
O
E F
A
E
B
C （第1题图） （第2题图） E A F G
D C B B
A M
C
D N P （第3题图） C D
A B
E F
1
3
2
G 3 C A 1
D 2
E （第1题图）
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D A 2
E
1
B
C
B F E A
C
D 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠＝∠
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于. 【例４】如图，已知⊥，⊥，∠1＝∠3. 求证：平分∠． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：
∠1＝∠3） 证明：∵⊥，⊥ ∴∠＝∠＝90° （垂直定义）∴∥（同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠（两条直线平行，内错角相等） ∴平分∠（角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若⊥于E ，∠1＝∠2，求证：⊥．
02．如图，在△中，⊥于⊥于F , ∥，平分∠． 求证：∠＝∠.
B ＝40°，是∠的平分线. ⊥，求：.
【例５】已知，如图，∥，求证：∠＋∠＋∠＝360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C 作∥即把已知条件∥联系起来，这是关键. A D M C
N E B A
2 C F
3 E D
1
B
（第2题图）
3 1 A B G D
C E F
E
D
2
1 A B C
9 / 83
α β P B C D A
∠P ＝α＋β
F γ D
α β E B C
A
F
D E B
C A B C A
A ′ l
B ′
C ′
【证明】：过点C 作∥ ∵∥ ∴∠1＋∠＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵∥，∴∥（平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠＋∠1＋∠2＋∠＝180°＋180°＝360° 即∠＋∠＋∠＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，∥，分别探究下面四个图形中∠和∠、∠的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例６】如图，已知，∥，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作∥． 过点F 作∥． ∵∥ ∴∠错角相等）又∵∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3ψ＝180° 【变式题组】 01．如图， ∥，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，∥，∠和∠的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠的度数.
【例７】如图，平移三角形，设点A 移动到点，画出平移后的三角形. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离.
⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.
⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接 ②过点B 作的平行线l ③在l 截取对应点，用同样的方法作出点C 的对应21，作出平移后的图形.
知三角形中，∠C ＝90°, ＝4，＝4，现将△沿方向平移到△的位置，若平移距离为3, 求△与△的重叠部分的面积.
B A
P C A C C D A A P C B D P
B
P
D B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
10 / 83
西 B 30°
A 北
东 南
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移的距离，就
得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ）
A ．南偏东30°
B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线
平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相
同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是
通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南
偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）
A ．北偏东52°
B ．南偏东52°
C ．西偏北52°
D ．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它
正好位于左上角的位置（不能出格）
B
A
C
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150°
120°
D
B
C
E
湖
4
3
2
1
A
B
E
F
C D
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）
10．如图，∥，∥，⊥，现将△进行平移. 平移方向为射线的方向. 平移距离为线段的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.
11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路恰好和道路平行，问∠C是多少度？
并说明理由.
14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线、恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠的度数吗？
D
E
A
B C
E D
B C
E D A
B C
E
D A
B C
E
D
A B C
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4
P 2
3
1
A
B
E
F
C
D
15．如图，∥，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.
培优升级·奥赛检测
01能与△完成重合的小三角形共有25△内由△平移得到的三角形共有（
02．如图，一足球运动员在球场上点A B 点沿着方向匀速滚来，速直线奔跑前去拦截足球.方向及最快能截住足球的位置.03．如图，长方体的长＝4，宽＝3，高1平移到A 1C 1移的方向是.
04的边长均为a ，竖直方向的边长为b 段A 1
A 2
向右平移1个单位得到B 1
B 封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝, S 2＝, S 3＝.
⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点， ） B ．108°或144° C ．144° D ．720°或⑶
⑷
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F
E B A C G D
06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．2006 07．如图，已知∥，∠B ＝100°，平分∠，⊥. 求∠和∠. 08．如图，∥，∠＝30°，∠＝60°，、三等分∠． 问：与中有没有与平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线∥，∠C ＝∠＝100°，E 、F 在上，且满足∠＝∠，平分∠. ⑴求∠的度数； ⑵若平行移动，那么∠：∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使∠＝∠？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所
成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.
11．如图，正方形的边长为5,把它的对角线分成n 段，以每一小段为对角线作小
正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？
12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：
若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a
F
E
B A
C G
D 100° F
E B C A B C
D
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的平方根为x ＝
a 的平方根为x
叫做a 的算术平方根．
若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x
．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数
p
q
（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）
0(a ≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是． 02．已知m
的最大整数，则m 的平方根是． 03
y 是．
【例2】（全国竞赛）已知非零实数
a 、
b 满足
24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．2 有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0
a ≥3
∵24242a b a -++=
∴24242a b a -+++
=，∴20b +=．
∴(
)2
2030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．
【变式题组】
0l 3b +＝0成立，则＝． 02()2
30b -=，则
a
b
的平方根是． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2 04．已知x 1
x π
-的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方
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根． 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，
但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵
123a b b -+=+，
∴ 123a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩即112
a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1312a b =⎧⎨=⎩，
a ＋
b ＝12 ＋13＝25．
∴a ＋b 的平方根为：255a b ±+=±=±． 【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0
求m 、n ．
02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（
123
π+）
x ＋（132π
+）y −4−π＝0，则x −y ＝．
【例4】若a 为17−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a ＝2，b −1
＝±3 ，∴b ＝－2或4
∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．
【变式题组】
01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为．
02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝． 演练巩固 反馈提高
0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，5
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．－9与81的平方根
B ．4与
3
64- C ．4与364 D ．3与9
04．在实数1.414，2-，0.1•5•
，5−16，π，3.1•4•
，8
3
125
中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个
05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A ．b >a
B ．a b >
C ． －a ＜b
D ．－b >a
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06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有
( )
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝
()
2
3．则m ，n 的关系是( )
A . m ＝±n ＝n C ＝－n D .m n ≠
08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A
的对称点C ，则点C 所表示的数为( )
A ．－23-
B ．－13-
C ．－2 ＋3
D ．l ＋3
09．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，
且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
2，3…，19
，20
．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝
a b
+，如3※2＝
32
32
+-＝5．那么12.※4＝． 12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝．
13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()
()
2
2
a b
a b ab
a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，
则实数m ＝．
14．设a 是大于1的实数．若a ，
23a +，21
3
a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果
该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是．
16．已知整数x 、y 满足x ＋2
y ＝50，求x 、y ．
17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方
根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个
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单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．
19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的
立方根为n ，求（−2）(3 ＋4)的平方根与立方根．
20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．
培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，
则a 值为( )
A ． 2
B ．－1
C ． 1
D ． 0
02．x 1x -2x -( )
A ．0
B ． 12
C ．1
D ． 2 0353x +−2的最小值为．
04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋3＝3a ＋b ＝． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为．
06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝．
m 满足关系式
3523199199x y m x y m x y x +--+-=-+--，
试确定m 的值．
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08．（全国联赛）若a 、b
满足5b ＝7，S
＝3b ，求S 的取值范围．
09．（北京市初二年级竞赛试题）已知
0<a <1，并且
123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣
⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．
10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y
＋
21a =-，
231x y b -=--，求22x y a b +++的值．
第14讲平面直角坐标系（一）
考点．方法．破译
1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．
2．了解点与坐标的对应关系．
3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．
经典．考题．赏析
【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．
A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)
【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】
01．第三象限的点P(x，y)，满足＝5,2x＋＝1，则点P得坐标是．
02．在平面直角坐标系中，如果＞０，那么（m, ）一定在象限.
03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．
A(－3，0)，B(－2，－1
3
)，C(2，
1
2
)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)
【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．
【变式题组】
01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞2
02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是．
03．若点P(x，y)满足＞0，则点P在第象限．
04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为．
【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．
【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】
01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为．
02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为．
03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为．
04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是．05．如果点Ｍ(a＋b，)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第象限．
【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是．
【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| ，到y轴的距离是．则P到轴的距离是|－4|＝4
【变式题组】
01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是，．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的倍．
02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是．
03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．
05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
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【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．
(1)它们的坐标分别是，；
(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为；
(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．
【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若∥x轴，则＝1－x2|；若∥y，则＝1－y2|
，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．
【变式题组】
01．如图，四边形是平行四边形，且∥x轴，说明，A、
D两点的坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、
D四点的坐标分别是、、、．
02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四
边形，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个
顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？
03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△的面积为5，请写出点C的坐标规律．
【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△的面积．
【解法指导】(1)三角形的面积＝1
2
×底×高．
(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则
图形，然后计算其面积．则Ｓ△＝Ｓ△＝Ｓ△＝
1
2
·3·5
－
1
2
·3·1＝6．
【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△的面积．
02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形的面积．
03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，
2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面
积为15，求D点的坐标．
【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个．
【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，
所以S10＝8×10＝80个．
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【变式题组】
01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△变换成△1B1，第二次将△1B1变换成△2B2，第三次将△2B2变成△3B3．已知：
A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，
0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出
规律，按此规律再将三角形△3B3变换成△4B4，则A4
的坐标是，B4的坐标是；
(2)若按(1)题找到的规律将△进行n次变换，得到三角形△，推测的坐标是，的坐标是．
【解法指导】由1A2A3、1B2B3的坐标可知，每变换一次，
顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，
纵坐标不变．
如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－
1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为．
演练巩固反馈提高
01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )
A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)
03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
04．下列数据不能确定物体位置的是( )
A．六楼6号B．北偏西400C．文昌大道10号D．北纬260，东经1350
05．在坐标平面内有一点P(a，b)，若＝0，则P点的位置是( )
A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上
06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且－b |＝b－a，则点P的坐标是．
07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线∥
x轴，则a＝，b＝；②若直线∥y轴，则a＝，b＝．
08．如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2010次，
点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标
x2010＝•
09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，
则第七个数对中的两个数之和是•
10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，
－3)
11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是．
12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示
第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是．
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