2018年12月02日杨海鹏老师的高中数学组卷

2018年12月02日杨海鹏老师的高中数学组卷

一．选择题（共12小题）

1．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=2，∠ACB=90°，CC1=1，则该三棱柱外接球的体积（）

A．πB．4πC．πD．8π

2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A．36πB．64πC．144πD．256π

3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

A．B．C．D．

4．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）

A．πB．4πC．4πD．6π

5．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．

6．某三棱锥的三视图如图所示，已知该三棱锥的外接球的表面积为12π，则此三棱锥的体积为（）

A．4B．C．D．

7．某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A．5πB．πC．D．

8．在三棱锥P﹣ABC中，AP=2，AB=，PA⊥面ABC，且在△ABC中，C=60°，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．8πC．10πD．12π

9．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（）

A．B．1C．D．

10．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），且该三棱锥的外接球的表面积为50πcm2，则该三棱锥的体积为（）

A．5B．10C．15D．30

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积分别是（）

A．π，B．π，C．29π，2D．25，

12．三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（）

A．B．C．2D．

二．填空题（共7小题）

13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．

14．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．

15．若球O1、O2表面积之比，则它们的半径之比=．

16．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=

，则球O的体积等于．

17．已知正三棱锥A﹣BCD中，BC=3，AB=2，则三棱锥外接球的表面积为．

18．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是．19．已知在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=3，AB=AC=2，求此三棱锥外接球的表面积为．

三．解答题（共1小题）

20．数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所

示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒．

（1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；

（2）试证：平面ABD⊥平面CBD；

（3）求新三棱锥的外接球的表面积．

2018年12月02日杨海鹏老师的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=2，∠ACB=90°，CC1=1，则该三棱柱外接球的体积（）

A．πB．4πC．πD．8π

【分析】把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补形为长方体，利用长方体的对角线长公式算出球的半径，即可求出三棱柱外接球的体积．

【解答】解：如图，

把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补形为长方体，则其外接球的半径r=，∴该三棱柱外接球的体积为V=．

故选：C．

【点评】本题考查多面体外接球半径的求法，训练了分割补形法，考查长方体的对角线长公式，属于中档题．

2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A．36πB．64πC．144πD．256π

【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB==

=36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，

故选：C．

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．

3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

A．B．C．D．

【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．

【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，

则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，

而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，

解出R=5，

∴根据球的体积公式，该球的体积V===．

故选：A．