高中数学必修II--线面垂直证明专题

线面垂直证明专题

1.直线与平面垂直的定义：

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.

2.直线与平面垂直的判定:

线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。

性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

专题一线面垂直的判定应用

1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（）

A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α

B m⊥b,b∥α

C m b=A,b⊥α

D m∥b

1 如图，在平面α内有ABCD，O是它的对角线的

交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD，

求证：PO⊥α。

2 在正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，P为DD

1

的中点，O为ABCD中心，求证：B

1

O

⊥面PAC

3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD，

E为垂足，作AH⊥BE于H，

求证：AH⊥面BCD

4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中

点，求证：MN⊥面PCD

5 如图，在正方体AC

1

中，M,N,E,F分别是中点。

（1）求证A

1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A

1

E与MF所成角的大小。

专题二线面垂直性质的应用

1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作

AE⊥PC，垂足为E，如图，求证：AE⊥面PBC

2 已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC

交SC于F。（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG ⊥SD

3 如图，在正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，M，N分别是AB,A

1

C的中点，求证：MN

⊥面A

1

DC

4 如图，底面ABCD为正方形，SA⊥面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB,SC,SD分别于

点E,F,G求证：AE⊥SB

专题三直线与平面所成的角

1 已知直线a是平面α的斜线，b⊂α，当a与b成60°角，且b与a在α内的射影

成45°角时，求a与α所成角

2 如图，在直三棱柱AB0-A

1B

1

O

1

中OO

1

=4，OA=4，OB=3,AOB

∠=90°，D是

限度A

1B

1

的中

点，P是侧棱BB

1

上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成的角

3 在正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，E,F分别是AA

1

，A

1

D

1

的

中点

（1）求D

1

B与平面AC所成的角的余弦值

（2）求EF与平面A

1C

1

所成的角的大小

4 如图，l1,l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A,B 在L1上，C在l2

上，AM=MB=MN。（1）求证：AC⊥NB;（2）若ACB

∠=60°，求NB与平面ABC所成的角

题型四点到平面的距离

1 如图，已知P为∆ABC所在平面外的一点PA,PB,PC两两

垂直，PA=PB=PC=a，求点P到

底面的距离

2 如图，在棱长为1的正方体中，E,F分别是棱AA

1，BB

1

的中点，

G为棱A

1B

1

上的一点

求点G到平面D

1

EF的距离

题型五折叠问题

1 如图，E,F分别是正方形ABCD变BC

和CD的中点，沿AE,AF,EF折起，使B,C,D重合于

P，试问AP与平面PEF,平面AEF，平面PAE，平面PAF那个面垂直

2 如图,AD是边长为2的正三角形ABC的BC边上的高，沿AD将ABC折起，使BCD

=60°

求AD与平面ABC所成角的正切值。

（三）面、面垂直的判定

（四）面、面垂直的性质

（五）二面角及二面角的平面角定义

题型一面面垂直判定及性质的应用

∠=60°，所在平面为α，

1 已知菱形ABCD的边长为2a，A

AE⊥α,CF⊥α,如图，且AE=3a，

CF=a，求证：平面BDE⊥面BDF

2 如图，ABC

∆为正三角形，CE⊥面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE 的中点，求证：

（1）面BDM⊥面ECA；（2）面DEA⊥面ECA；