2018年成都市2015级高三年级三诊数学(理科)答案

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【高三数学试题精选】2018成都市高三数学第三次诊断考试题(理含答案)

2018成都市高三数学第三次诊断考试题(理含答案)
c 成都市F的余弦值
18（本小题满分12分）
某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其均值
19（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项式；
(2)设数列满足，求 ,求使成立的的最小值
20（本小题满分13分）
已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线c
（1）求曲线c的方程；
（2）过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线c于不同的两点A,B和不同的两点D,E设线段AB,DE的中点分别为P,Q
①求证直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求的最小值；
21（本小题满分14分）
已知函数，其中为自然对数的底数
(1)设函数试讨论函数的单调性；
(2)设函数，若对任意，且都有成立，求实数的取值范围。

成都市2018年(高2015级)三诊数学文理含答案解析理科试卷及参考答案及试卷解析

第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９０分)
１５１５－３ ; ; ㊀㊀１５．㊀㊀１６．６３０．５８ ( 三㊁解答题 : 共７０分) ( 解: 即 a３＋a４＝－a４．１７． Ⅰ) ȵS２ , S４ , S３成等差数列 , ʑS４－S２＝S３－S４ , ʑ２ a４＝－a３． ��２分是等比数列 , 设公比为q． ȵ{ a ʑ a３ ʂ０． n} a４１ ʑ q ＝＝－． a３２３２３ ��４分 ȵ a２＋a３＋a４＝a１( ʑ a１＝１．＝－ , q ＋q ＋q ) ８１ n－１ n－１ ��６分 ʑ a a１－ ) ． n ＝ q ＝( ２１ n－１ ( Ⅱ) b n��( ) ．＝２１０１１１２１ n－１ �� ① ʑTn ＝１ˑ ( ) ＋２ˑ ( ) ＋３ˑ ( ) ＋ �� ＋n ˑ ( ) , ２２２２１１１１２１３１ n－１n １ ) �� T ２３ n－１ nˑ ( ) ．㊀��② ９分 ˑ ( )＋ ˑ ( )＋ ˑ ( )＋ �� ＋ ( ˑ( ) ＋ n ＝１２２２２２２１１０１１１２１ n－１１ n 由 ① － ②, 得 Tn ＝ ( ) ０分＋ ( ) ＋ ( ) ＋ �� ＋ ( ) －n ˑ ( ) ． ��１２２２２２２ n ＋２ ��１ ʑTn ＝４－ n－１．２分２ ( １８．解 : Ⅰ )先求产品研发费的自然对数值z 和销售额y 的回归直线方程．

四川省成都市2018届高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)试题

cos
2
4 sin
cos
16 9
，又
2
,
，所以 sin
cos
0 所以
sin cos 4 .故选 C. 3
考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.
7．已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球,乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球.现随机地从甲袋中出 1 个球放入乙
袋中,再从乙袋中随机取出 1 个球,则从乙袋中取出红球的概率为（）
1i
2
2
考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.
3．命题“ x 1, ， x 1 ln x ”的否定是（）
A． x 1, ， x 1 ln x
B． x 1, ， x 1 ln x
C． x0 1, ， x0 1 ln x0
D． x0 1, ， x0 1 ln x0
【答案】 D
【解析】“ x 1, ， x 1 ln x ”的否定是“ x0 1, ， x0 1 ln x0 ”，故选 D.
投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，场地 100 平方米.若该企业现可使用资金 1400 万元，
场地 900 平方米投资生产 A, B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（）
A． 467 吨
【答案】C
B． 450 吨
C． 575 吨
D． 600 吨
【解析】设生产 A, B 产品的产量分别为 x, y （单位：100 吨），由题意得约束条件
D．
3
【解析】设正三棱柱 ABC A1B1C1 底面边长为 x ，侧棱为 y ，则 6x 3y a ，三棱柱 ABC A1B1C1 侧
面积
S
3xy
.所以

四川省成都2018届高三数学三诊试卷(理科)Word版含解析

四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣18．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士12．设集合，C={（x，y）|2|x ﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有种．（用数字作答）16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣1【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x）=x2﹣8x+6，由等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，利用韦达定理得a2+a4032=8，a2•a4032=6，从而=4，由此能求出log2（a2•a2017•a4032）的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，∴a2+a4032=8，a2•a4032=6，∴=4，∴log2（a2•a2017•a4032）=log2（4×6）==3+log23．故选：C．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c＞a，③a＞b④d≥2得出：c＞a＞b＞d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b﹣1符合，即女医生．假设：d＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选：C12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为；故答案为：．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有150 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，若分成2、2、1的三组，有=15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有=10种分组方法，则共有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，有A33=6种情况，则不同的选择方案有25×6=150种；故答案为：150．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C1和C2的方程；（2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF1F2的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号，当m=1时，a=2，b=，∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为．（2）因为，则，∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1），由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．∴抛物线方程为y2=﹣12x，，∴直线PQ的方程为．联立，得或x1=﹣2（舍去），于是．∴，设到直线PQ的距离为d，则，∴当时，，∴△MPQ的面积最大值为．此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣e x，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，g′（x）=x+1﹣e x，g″（x）=1﹣e x＜0，故g′（x）在22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。

成都市2015届高中毕业班第三次诊断性检测理科数学试卷、答题卡

5.抉行如園所示的程序框團,榆出的^果力
成都市2015屆高中舉^班第三次珍靳性栓測 IS[孝（理工矣）
本K卷分迭捍題和非逸捍題酉部分。第I卷（迭揮題）i至2M,第n卷（非迭捍題）3 至4死共4艮滴分150分，考^吋同120分神。注意事瑣： 1.答題前,夯必將自己的姓名、考籍兮填等在答題卡規定的位置上。 2.答迭捧題吋,必須使用2B招第將答題卡上射座題目的答案糖兮涂黑,如需改功，用橡皮擦擦干淨后，再迭涂其它答案#兮。 3.答非迭擇題吋,必須使用0. 5毫米黑色筌字等，將答案^等在答題卡規定的位置上。 4.所有題目必須在答題卡上作答，在拭題卷上答題元效。 5.考拭結束后，只梅答題卡交回。第I卷（迭擇題，共50分）
(C)苧
(D)-孕
正視困
i
i —2 —
側視困
[ - 2 . 1 ] = -3).則函致/(幻的零,存今數是 (A)l (C)3 (B)2 (D)4
3.如固是一今旋K体的三祝團，其中正視囝，側視囝都是由半圓和矩形組成,則迭今旋特体的体枳是 (A) Btt
T
(B)
7tt
T
10.如圉，一隧道截面由一今長方形和拋物幾构成.現欲在隧道拋物幾拱頂上安裝交通信息采集裝置.若位置C射隧道底的^角e
(A)7 (C)ll
(B)9 (D)13
6.在某市華行“市民輿垣金”期同，組委金將甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到三今場倌抉勤.若每今笏倌至少分配一人,到不同分配方案的种致是 (A)96 (C)36 (B)72 (D)24
Z愉出
/ = I + 2
1 ^ 束 1
1
S= S*i
7.某投各的TO年限V卑位：年)与所支付的維修費用y (革位：千元)的一組數据如下表：使用年限X 維修費用y 2 2 3 3.4 4 5 5 6.6 ^中的

四川省成都市2015届高三第三次诊断考试数学试题（理）及答案

四川省成都市2015届⾼三第三次诊断考试数学试题（理）及答案成都市2015届⾼三第三次诊断考试数学理试题⼀、选择题1.设集合A＝｛1,2,3,4｝，B＝｛0，1,2｝，则A U B＝（A）｛0，1,2,3,4｝（B）｛0，1,2)（C）｛1,2｝（D)｛3,4｝2. sin5700＝（A）12（B）－12（C）32（D）－323.如图是⼀个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（A）83π（B）73π（C）2π（D）53π4.设正项等⽐数列的前n项和为，且满⾜，则S4的值为（A）15（B）14（C）12（D)85.执⾏如图所⽰的程序框图，输出的结果为（A)7（B)9（C) 11（D) 136.在某市举⾏“市民奥运会”期间．组委会将甲，⼄，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C 三个场馆执勤．若每个场馆⾄少分配⼀⼈，则不同分配⽅案的种数是（A)96（B）72（C)36（D) 247. 某设备的使⽤年限x（单位：年）与所⽀付的维修费⽤y（单位：千元）的⼀组数据如下表：从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归⽅程中的＝1.54.由此预测该设备的使⽤年限为6年时需⽀付的维修费⽤约是（A）7.2千元（B)7.8千元（C）9.1千元（D)9.5千元8.已知m，n是平⾯外的两条不同的直线．若m，n在平⾯内的射影分别是两条直线的（A)充分但不必要条件（B)必要但不充分条件（C)充要条件（D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x) ＝Inx －2[x] ＋3,其中[x]表⽰不⼤于x的最⼤整数（如[1.6] =1,[-2.1]＝⼀3).则函数f(x)的零点个数是（A)l（B)2（C)3（D)410.如图，⼀隧道截⾯由⼀个长⽅形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张⾓θ最⼤时采集效果最好，则采集效果最好时位置C 到AB的距离是（A)22m（B)23m（C)4 m（D)6 m⼆、填空题11、计算：log62⼗21og63＋(0.1）⼀1＝＿12.已知关于x的不等式x2－ax－4 >0在时⽆解，则实数a的取值范围是13.若⼆项式的展开式中含有的项，则正整n的最⼩值为·14.已知直线l:x＋y＋m＝0(m R)与圆C:(x＋2)2＋(y－1)2＝4相交于A,B两点，。

高考专题成都市高三第三次诊断考试.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作成都市2015届高三第三次诊断考试数学理试题一、选择题1.设集合A＝｛1,2,3,4｝，B＝｛0，1,2｝，则A U B＝（A）｛0，1,2,3,4｝（B）｛0，1,2)（C）｛1,2｝（D)｛3,4｝2. sin5700＝（A）12（B）－12（C）32（D）－323.如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（A）83π（B）73π（C）2π（D）53π4.设正项等比数列的前n项和为，且满足，则S4的值为（A）15（B）14（C）12（D)85.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A)7（B)9（C) 11（D) 136.在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C 三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（A)96（B）72（C)36（D) 247. 某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如下表：从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程中的＝1.54.由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（A）7.2千元（B)7.8千元（C）9.1千元（D)9.5千元8.已知m，n是平面外的两条不同的直线．若m，n在平面内的射影分别是两条直线的（A)充分但不必要条件（B)必要但不充分条件（C)充要条件（D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x) ＝Inx －2[x] ＋3,其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6] =1,[-2.1]＝一3).则函数f(x)的零点个数是（A)l（B)2（C)3（D)410.如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C 到AB的距离是（A)22m（B)23m（C)4 m（D)6 m二、填空题11、计算：log62十21og63＋(0.1）一1＝＿12.已知关于x的不等式x2－ax－4 >0在时无解，则实数a的取值范围是13.若二项式的展开式中含有的项，则正整n的最小值为·14.已知直线l:x＋y＋m＝0(m R)与圆C:(x＋2)2＋(y－1)2＝4相交于A,B两点，则的最大值为．I5.已知集合．对于中的任意两个元素，定义A与B之间的距离为现有下列命题：①若；②若；③若＝p（p是常数），则d(A，B）不大于2p；④若，则有2015个不同的实数a满足．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题16.（满分12分）如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB＝3, CE =2EC1.（I）若F是AB的中点，求证;C1F//平面BDE;（II）求二面角D一BE一C的余弦值17.（本小题满分12分）已知函数，其中a,b∈R．且ab≠0.（I）求函数f(x)的图象的对称轴方程；（II）当时．函数f(x）的值域为［1,2］，求a，b的值．18.（本小题满分12分〕某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是7 15（I）求某人抽奖一次就中奖的概率；（Q）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望19.（本小题满分12分）设数列的前n项和是Sn，且满足·（I）求数列的通项公式.；(II)，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围·20.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：22221(0) x ya ba b+=>>和C2：22221(0)mx ym nn+=>>上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且＝0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线的渐近线上．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且．证明｜OT｜为定值。

四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测数学(理)试卷(含答案)

成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集{}=0123U ，，，，集合()(){}130A x x x =∈--≤N ，则集合U A ð中元素的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 A【解析】由题意得{}1,2,3A =，所以{}0U A =ð，故选A. 考点：集合的基本运算. 2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】 C 【解析】因为()()()i 1i 11ii 1i 22a a a a z ++-+++===-是纯虚数，所以10a -=，即1a =，故选C.考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.3．命题“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是（）A ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≤B ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -<C ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -≥D ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -< 【答案】 D【解析】“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是“()01,x ∃∈+∞，001ln x x -<”，故选D. 考点：含一个量词的命题否定.4．定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数()sin sgn f x x x =⋅的图象大致是（）【答案】 B【解析】用排除法，易知()f x 是偶函数，故排除A 选项；当0x <<π时，()0f x >，故排除D 选项；当2x π<<π时，()0f x <，故排除C 选项.故选B. 考点：函数的图象. 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】A 【解析】易知ln 2122<<，22ln 22+>，()20ln 21<<，所以c a b <<.故选A.考点：指数与对数运算及单调性.6．当,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭时，若()()sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为（）A ．3B ．3-C ．43D ．43-【答案】C【解析】由诱导公式得()()sin cos sin cos ααααπ--π+=+，所以72sin cos 9αα=-，()()2216sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=，又,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα->所以4sin cos 3αα-=.故选C. 考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】B【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为112510C C =，取出红球的总数为111113125C C C C +=，所以乙袋中取出红球的概率为51102P ==.故选B. 考点：古典概型.8．某企业可生产,A B 两种产品.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产,A B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（） A ．467吨 B ．450吨 C ．575吨 D ．600吨【答案】C【解析】设生产,A B 产品的产量分别为,x y （单位：100吨），由题意得约束条件2003001400,200100900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩求目标函数z x y =+的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中()4.5,0A ，()3.25,2.5B ，140,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由可行区域可得目标函数z x y =+经过()3.25,2.5B 时，z 取最大值，故max 5.75z =（100吨）. 故选C.考点：线性规划问题.9．在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（）A ．B ．323πC ．12πD ．643π【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.所以2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A 的=643π.故选D.考点：1、简单几何体；2、基本不等式.10．已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（）A B ． C ． D ．【答案】A【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =，因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==.又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积112S =⨯=故选A.考点：平面向量线性运算.11.已知,A B 是椭圆C ：221259x y +=上关于坐标原点O 对称的两个点，,,P M N 是椭圆C 异于,A B 的点,且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则MON △的面积为（）A B ．32 C ．152 D ．252【答案】C【解析】方法一：特殊值法，取,A B 为短轴的端点，即()0,3A ,()0,3B -，点P 为左顶点()5,0P -，则直线OM ，ON 的方程分别为35y x =，35y x =-，所以M，N ，所以152MON S =△.故选A. 方法二：若,PA PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点,M N 为椭圆C 长轴和短轴的一个端点，所以1155322MON S =⨯⨯=△；若,PA PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则925PA PB k k ⋅=-，设直线OM ，ON 的方程分别为1y k x =，2y k x =，则12925k k ⋅=-.联立2211,259,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得M ⎛⎫，同理可得N ⎛⎫，所以MON S =△()121222515.2152k k k k ==-==- 故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.12．在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++> (其中e 2.71828=为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数,则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D【解析】易得()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>⇔()()22e21e x x a x ->-.设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式等价与()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <，所以原不等式的解集中有无数个大于2的整数，所以0a >.因为()20f =，()22e 0g a =>，所以()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--.设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()()21e 2e 302exx x ϕϕ+''=-≤=，所以()x ϕ在[)4,+∞上为减函数，所以()()()242e2e 0x ϕϕ≤=-<，所以当4x ≥时，()0h x '<，所以()h x 在[)4,+∞上为减函数，所以()()324223e 3e 44e 3e 4e e 4022h x h a ⎛⎫≤=-≤-=-< ⎪⎝⎭，所以当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立，所以原不等式的解集中没有大于2的整数.所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()33,44,55,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩所以232425e 2e ,4e 3e ,9e 4e ,a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩解得32944e 3ea ≤<.故选D.考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为 .【答案】0【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为()5110-=. 考点：二项式定理.14．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1DD 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 .【答案】5【解析】以点D 原点，1,,DA DB DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则()2,0,0A ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,0,1AE =-，()12,2,2BD =--，所以11115cos ,5AE BD AE BD AE BD⋅==AE 与1BD 所成角的余弦值为5. 考点：空间角.15．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，已知a c -=，sin B C =.则cos 26A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【答案】8【解析】因为sin sin B C =，所以b =，又6a c-=，所以2a c =，由余弦定理得2222cos24b c a A bc +-===，所以sin 4A =，所以sin 24A =，1cos 24A =-. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 考点：1、正余弦定理；2、三角恒等变换.16.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =的所有3个元素的子集记为123,,,,k A A A A ，*k ∈N .记ia 为集合i A （1,2,3,,i k =）中的最大元素，则12k a a a +++= .【答案】630【解析】集合M 含有3个元素的子集共有3984C =，所以84k =.在集合i A （1,2,3,,i k =）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；最大元素为7的集合有2615C =；最大元素为8的集合有2721C =；最大元素为9的集合有2828C =.所以12314356610715821928630k a a a +++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：1、集合间的基本关系；2、组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，243,,S S S 成等差数列，且23438a a a ++=-. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(I)112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1242n n n T -+=-. 【解析】考点：1、等比数列；2、错位相减法. 18．（本小题满分12分）某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x 和销售额y 的数据如下表:根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y 具有线性相关关系.（I ）求销售额y 关于产品研发费x 的回归方程ˆˆˆln yb x a =+ (ˆˆ,a b 的计算结果精确到小数点后第二位)；（Ⅱ）根据（I ）的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？【答案】(I)ˆ11.99ln 21.86y x =+；（Ⅱ）55.5.【解析】考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.19．（本小题满分12分）如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.（I ）求证：PD EC ⊥；（Ⅱ）求平面PEC 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(I)见解析；. 【解析】考点：1、点线面间的垂直关系；2、向量方法求面面的夹角.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是1:2.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线l :()0y kx m m =+≠与曲线C 相交于不同的两点,P Q .（I ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求OPQ △面积的最大值.【答案】(I)22143x y +=；【解析】考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1f x k x k x k =--+-，其中,0k k ∈≠R .（I ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()g x .若函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明:12203x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】(I)22143x y +=；【解析】考点：导数在研究函数的单调性中的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4c o s ρθ=，直线l 的极坐标方程是s i n 14θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.【答案】(I)()2224x y -+=，10x y +-=；（Ⅱ）【解析】考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =++-，a ∈R .（I ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若不等式()1f x <的解集为非空集合，求a 的取值范围.【答案】(I)[]1,1-；（Ⅱ）31,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】考点：解含绝对值的不等式.。

2015年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)

2015年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2015•成都模拟）设集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2）C．{1，2} D．{3，4}2．（5分）（2015•成都模拟）sin570°的值是（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）（2015•成都模拟）如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（）A．πB．πC．2πD．π4．（5分）（2015•成都模拟）设正项等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a4a6=，a7=，则S4的值为（）A．15 B．14 C．12 D．85．（5分）（2015•成都模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．7 B．9 C．11 D．136．（5分）（2015•成都模拟）在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（）A．96 B．72 C．36 D．247．（5分）（2015•成都模拟）某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如表：使用年限x 2 3 4 5维修费用y 2 3.4 5 6.6从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程：=x+中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（）A．7.2千元B．7.8千元C．8.1千元D．9.5千元8．（5分）（2015•成都模拟）已知m，n是平面α外的两条不同的直线．若m，n在平面α内的射影分别是两条直线m′和n′，则“m⊥n”是“m′⊥n′”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=lnx﹣2[x]+3，其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6]=1，[﹣2.1]=一3）．则函数f（x）的零点个数是（）A．l B．2 C．3 D．410．（5分）（2015•成都模拟）如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）A．2m B．2m C．4 m D．6 m二、填空题11．（5分）（2015•成都模拟）计算：log62十21og6+（0.1）﹣1=．12．（5分）（2015•成都模拟）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣4＞0在x∈[﹣2，1]时无解，则实数a的取值范围是．13．（5分）（2015•成都模拟）若二项式（x3+）n的展开式中含有x8的项，则正整n的最小值为•14．（5分）（2015•成都模拟）已知直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=4相交于A、B两点，则•的最大值为．15．（5分）（2015•成都模拟）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…x n），x i∈Z，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于S n中的任意两个元素A=（a1，a2，…，a n）和B=（b1，b2，…，b n），定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a i﹣b i|，﹣A=（﹣a1，﹣a2，…，﹣a n），记I=（1，2，3，…，n），I∈S n．现有下列命题：①若A=（2，2），I∈S2，则d（A，I）=1；②若A，B，I∈S3，则d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B）；③若A，B，I∈S n，则d（I，A）=d（I，B）=p（p是常数），则d（A，B）不大于2p；④若I∈S2015，B=（x，x，…，x）∈S2015，记f（x）=d（I，B）+d（I，﹣B），则有2015个不同的实数a满足f（a2﹣2a）=f（a﹣1）．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题16．（12分）（2015•成都模拟）如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=3，CE=2EC1．（Ⅰ）若F是AB的中点，求证；C1F∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．17．（12分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=2asinxcosx+2acos2x+b，其中a，b∈R．且ab≠0．（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时．函数f（x）的值域为[1，2]，求a，b的值．18．（12分）（2015•成都模拟）某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是．（Ⅰ）求某人抽奖一次就中奖的概率；（Ⅱ）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望．19．（12分）（2015•成都模拟）设数列{a n}的前n项和是Sn，且满足a1=，S n=n2a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式2n k+7≥恒成立，求实数k的取值范围．20．（13分）（2015•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．21．（14分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）当t=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅲ）若函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，求实数t的取值范围．2015年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2015•成都模拟）设集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2）C．{1，2} D．{3，4}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，∴A∪B={0，1，2，3，4}，故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•成都模拟）sin570°的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】原式角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（5分）（2015•成都模拟）如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（）A．πB．πC．2πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】可判断得出：下半部分为圆柱，上半部分为半球，利用圆柱的体积，球的体积公式求解即可．【解答】解：∵正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，∴可判断得出：下半部分为圆柱，上半部分为半球，底面半径为1，高为1的圆柱，球半径为1，即这个旋转体的休积：π×12×1×π×13=，故选：D【点评】本题考查了旋转体的三视图，考查了学生的空间想象能力，计算能力，关键是恢复判断几何体的直观图．4．（5分）（2015•成都模拟）设正项等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a4a6=，a7=，则S4的值为（）A．15 B．14 C．12 D．8【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的首项和公比，由题意列式求得首项和公比，代入等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由a4a6=，a7=，得，解得．∴．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）（2015•成都模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=315时满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=3不满足条件S≥100，i=5，S=5不满足条件S≥100，i=7，S=35不满足条件S≥100，i=9，S=315满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）（2015•成都模拟）在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（）A．96 B．72 C．36 D．24【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种对应方法，则一共有6×6=36种同分配方案；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求．7．（5分）（2015•成都模拟）某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如表：使用年限x 2 3 4 5维修费用y 2 3.4 5 6.6从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程：=x+中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（）A．7.2千元B．7.8千元C．8.1千元D．9.5千元【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程，代入x的值，预报出结果．【解答】解：∵由表格可知=3.5，==4.25，∴这组数据的样本中心点是（3.5，4.25），根据样本中心点在线性回归直线上，∴4.25=+1.54×3.5，∴=﹣1.14，∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.54x﹣1.14，∵x=6，∴y=1.54×6﹣1.14=8.1，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．8．（5分）（2015•成都模拟）已知m，n是平面α外的两条不同的直线．若m，n在平面α内的射影分别是两条直线m′和n′，则“m⊥n”是“m′⊥n′”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据射影的概念，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①如图将正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，有m′⊥n′，但折后∠BAC 为锐角，m，n不垂直．②如图直角三角形ACB所在平面与α垂直，CD为斜边AB上的高线．有m⊥n，但m′⊥n′不成立．故“m⊥n”是“m′⊥n′”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断．，根据射影的概念，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=lnx﹣2[x]+3，其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6]=1，[﹣2.1]=一3）．则函数f（x）的零点个数是（）A．l B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造g（x）=lnx+3，k（x）=2[x]，利用图象判断就看得出交点个数求解得出f（x）的零点个数．【解答】解：设g（x）=lnx+3，k（x）=2[x]，g（x）与k（x）的交点的个数即可得出f（x）=lnx﹣2[x]+3的零点个数．根据图形可判有2个交点，故选：B【点评】本题考查了函数零点个数的判断，函数的图象直观地显示了函数的性质，函数零点问题，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．属于中档题．10．（5分）（2015•成都模拟）如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）A．2m B．2m C．4 m D．6 m【考点】抛物线的应用；两点间的距离公式．【专题】应用题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，设C（x，y）（y＞﹣6），由A（﹣3，﹣6），B（3，﹣6），可得k CA=，k CB=，求出tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），将点（4，﹣4）代入，可得p=2，所以抛物线方程为x2=﹣4y，设C（x，y）（y＞﹣6），则由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，∴tan∠BCA===，令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥∴t=2时，位置C对隧道底AB的张角最大，故选：A．【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．二、填空题11．（5分）（2015•成都模拟）计算：log62十21og6+（0.1）﹣1=11．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log62十21og6+（0.1）﹣1=log62十1og63+（0.1）﹣1=1+10=11．故答案为：11．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．12．（5分）（2015•成都模拟）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣4＞0在x∈[﹣2，1]时无解，则实数a的取值范围是[﹣3，0]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用．【分析】【解法一】讨论x=0、﹣2≤x＜0以及0＜x≤1时，不等式不成立对应a的取值范围，求出它们的公共部分即可．【解法二】根据题意，设f（x）=x2﹣ax﹣4，对应不等式在x∈[﹣2，1]时无解时满足，求出不等式组a的解集即可．【解答】解：【解法一】根据题意，得；当x=0时，不等式为﹣4＞0不成立，此时a∈R；当﹣2≤x＜0时，不等式化为ax＜x2﹣4，即a＞x﹣，设f（x）=x﹣，（﹣2≤x＜0）；∴f′（x）=1+＞0，f（x）是单调增函数，f（x）min=f（﹣2）=0，不等式不成立时应满足a≤0；当0＜x≤1时，不等式化为ax＜x2﹣4，a＜x﹣，设g（x）=x﹣，（0＜x≤1），∴g′（x）=1+＞0，g（x）是单调增函数，g（x）max=g（1）=﹣3，不等式不成立时应满足a≥0；综上，实数a的取值范围是[﹣3，0]．【解法二】根据题意，设f（x）=x2﹣ax﹣4，对应不等式在x∈[﹣2，1]时无解时，应满足，即，解得﹣3≤a≤0；∴a的取值范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查了不等式恒成立的问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•成都模拟）若二项式（x3+）n的展开式中含有x8的项，则正整n的最小值为4•【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为8不等式有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C n r x3n﹣3r•x﹣r=C n r x3n﹣4r，二项式（x3+）n的展开式中含有x8的项，令3n﹣4r≥8可得n≥．r=0，1，2，3，…n．当r=1时，n最小为4．故答案为：4．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．14．（5分）（2015•成都模拟）已知直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=4相交于A、B两点，则•的最大值为8．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】直线与圆．【分析】取线段AB的中点为D，则由题意可得CD⊥AB，则•=AB2．故当弦长AB最大（为圆的直径）时，•最大，由此求得•的最大值．【解答】解：取线段AB的中点为D，则由题意可得CD⊥AB，则•=||•||=•=AB2．故当弦长AB最大时，•最大，即当圆心C（﹣2，1）在直线l：x+y+m=0上时，•最大．把圆心C（﹣2，1）代入直线l：x+y+m=0，求得m=1，故•的最大值为AB2=（2r）2=2r2=2×4=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，两个向量的数量积的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．（5分）（2015•成都模拟）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…x n），x i∈Z，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于S n中的任意两个元素A=（a1，a2，…，a n）和B=（b1，b2，…，b n），定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a i﹣b i|，﹣A=（﹣a1，﹣a2，…，﹣a n），记I=（1，2，3，…，n），I∈S n．现有下列命题：①若A=（2，2），I∈S2，则d（A，I）=1；②若A，B，I∈S3，则d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B）；③若A，B，I∈S n，则d（I，A）=d（I，B）=p（p是常数），则d（A，B）不大于2p；④若I∈S2015，B=（x，x，…，x）∈S2015，记f（x）=d（I，B）+d（I，﹣B），则有2015个不同的实数a满足f（a2﹣2a）=f（a﹣1）．其中的真命题有①③（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】集合；简易逻辑．【分析】对于①直接根据新定义计算即可判断①，对于②取A=B=I，则d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0故判断②，对于③利用绝对值几何意义即可判断，对于④先求出f（x），再代入求解即可判断．【解答】解：①∵I∈S2，∴I=（1，2），又A=（2，2），∴d（A，I）=|2﹣1|+|2﹣2|=1，故①正确；②取A=B=I，则d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0，∴d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B），故②不正确；③d（A，B）=|a i﹣b i|≤=2p，故③正确；④f（x）=d（I，B）+d（I，﹣B）==x﹣1+x﹣2+...+1+0+1+2+ (2015)x+x+1+x+2+…x+2015=++2015x+=x2﹣x+2015×2016，∵f（a2﹣2a）=f（a﹣1），∴（a2﹣2a）2﹣（a2﹣2a）+2015×2016=（a﹣1）2﹣（a﹣1）+2015×2016，即a4﹣4a3+2a2+3a﹣2=0∴a的值最多有4个，故④不正确故答案为：①③【点评】本题是新定义题，考查了两点间的距离公式，训练了绝对值不等式的应用，解答的关键是对题意的理解，属于难题．三、解答题16．（12分）（2015•成都模拟）如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=3，CE=2EC1．（Ⅰ）若F是AB的中点，求证；C1F∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连结CF交BD于点M，连结ME，通过△BMF∽△DMC，计算可得EM∥C1F，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以D为坐标原点建系D﹣xyz，所求值即为平面BDE的法向量与平面BCE的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结CF交BD于点M，连结ME，根据题意易得：△BMF∽△DMC．∵F是AB的中点，∴==，∵CE=2EC1，∴，于是在△CFC1中，有=，∴EM∥C1F，又∵EM⊂平面BDE，C1F⊄平面BDE，∴C1F∥平面BDE；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建系D﹣xyz如图，则D（0，0，0），B（3，3，0），E（0，3，2），∴=（3，3，0），=（0，3，2），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=﹣2，得=（2，﹣2，3），又平面BCE的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜，＞===﹣，∵二面角D一BE一C是锐二面角，∴二面角D一BE一C的余弦值为．【点评】本题考查空间中线面平行的判定，考查二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（12分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=2asinxcosx+2acos2x+b，其中a，b∈R．且ab≠0．（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时．函数f（x）的值域为[1，2]，求a，b的值．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简可得，f（x）=2asin（2x+）+a+b，结合正弦函数的性质即可求解；（II）由x的范围先求2x，然后求解sin（2x）的范围，分a＞0，当a＜0两种情况求解函数的值域，即可求a，b．【解答】解：（I）∵f（x）=2asinxcosx+2acos2x+b，=asin2x+a（1+cos2x）+b，=asin2x+acos2x+a+b，=2asin（2x+）+a+b（3分），由2x+可得函数f（x）的对称轴方程是x=（5分）．（II）∵x∈[0，]，∴2x∈[]，∴sin（2x）∈[]（6分），①当a＞0时，f（x）∈{2a+b，3a+2b]，根据题意知，解可得（9分），②当a＜0时，f（x）∈{3a+2b，2a+b]，根据题意知，解可得（11分），综上，所求的a，b的值为（12分）．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象及性质、辅助角公式、二倍角公式的应用，解题中要注意分类讨论思想的应用．18．（12分）（2015•成都模拟）某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是．（Ⅰ）求某人抽奖一次就中奖的概率；（Ⅱ）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】根据得出天府卡”有7张，（I）P（A）=运用排列组合知识求解．（II）根据题意X～B（3，）X的分布列为P（X=i）=（）i（）3﹣i，i=0，1，2，3，求解得出分布列，数学期望．【解答】解：设10张卡片中，“天府卡”有n张，则“熊猫卡”有10﹣n张，n＞10﹣n，即n＞5，n∈N由已知得出=，解得n=7（I）记“某人参与一次抽奖活动获奖”为事件A，∴P（A）==，∴某人参与一次抽奖活动获奖的概率为（II）根据题意X～B（3，）∴X的分布列为P（X=i）=（）i（）3﹣i，i=0，1，2，3或X 0 1 2 3P数学期望E（X）=np=3×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19．（12分）（2015•成都模拟）设数列{a n}的前n项和是Sn，且满足a1=，S n=n2a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式2n k+7≥恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，将n换成n﹣1，两式相减，化简整理，再由累乘法，即可得到所求数列的通项公式；（Ⅱ）不等式2n k+7≥恒成立，即为k≥对任意的n∈N*恒成立，令b n=，作差判断数列的单调性，求得最大值，由恒成立思想即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，S n=n2a n，①S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1，②①﹣②可得，a n=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即=，则有a n=a1••…=••…=（n∈N*）；（Ⅱ）S n=n2a n=，不等式2n k+7≥恒成立，即为k≥对任意的n∈N*恒成立，令b n=，b n﹣b n﹣1=﹣=，n≥2，即有b1＜b2＜b3＜…＜b7=b8＞b9＞b10＞…，则b7或b8最大，且为，即有k≥．则k的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系式和累乘法，同时考查数列的单调性和恒成立问题，注意运用参数分离，属于中档题．20．（13分）（2015•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=﹣x 代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（﹣1，﹣），即有=，a2﹣b2=1，解得a=，b=1，即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2：+=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=﹣x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3﹣，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+﹣=4﹣=4﹣＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4﹣=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于﹣=﹣，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，解方程，求交点，同时考查双曲线的渐近线方程和向量垂直的条件，以及基本不等式的运用，考查运算化简能力，属于难题．21．（14分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）当t=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅲ）若函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，求实数t的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当t=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）先确定原方程无负实数根，令g（x）=，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，即可证明结论；（Ⅲ）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当t=0时，f（x）=x﹣e x+1，∴f′（x）=1﹣e x，∴x＜0，f′（x）＞0；x＞0，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的最大值为f（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=1，可得x=e x（1﹣t）＞0，∴原方程无负实数根，故有=1﹣t．令g（x）=，则g′（x）=，∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴函数g（x）的最大值为g（e）=，∴函数g（x）的值域为（﹣∞，]；方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，∴1﹣t＞，∴t＜1﹣，∴当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅲ）解：f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]由题设，x＞0，f′（x）≤0，不妨取x=1，则f′（1）=e t（1+t﹣e1﹣t）≤0，t≥1时，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．①t≤，x＞0时，f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤（1+﹣），由（Ⅰ）知，x﹣e x+1＜0，∴1+﹣＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；②＜t＜1，＞1，∴ln＞0，令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[﹣e（1﹣t）x]0＜x＜ln，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，综上，当且仅当t≤时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sdpyqzh；sxs123；w3239003；danbo7801；qiss；maths；刘长柏；742048；caoqz；whgcn；cst；吕静；双曲线（排名不分先后）菁优网2016年1月23日。

2018年成都市2015级高三年级三诊数学(文科)答案

��５分 ��６分
( Ⅱ) ȵ 二面角 P －E C －A 是直二面角 ,
( 解: 知动点 M 的轨迹C 是以 A , ２０． Ⅰ )由已知及椭圆的定义 , B 为焦点的椭圆．
１１１ ʑ VP－AECD ＝ S四边形AECD ��P Q ＝ ˑ ˑ２ˑ２３ ˑ ３＝２３３２
成都市２０１５级高中毕业班第三次诊断性检测
数学 ( 文科 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分)
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分)
; ; ; ; ; ; １． A; ㊀２． C ㊀３． D; ㊀４． B ㊀５． A; ㊀６． C ㊀７． B ㊀８． C ㊀９． D; ㊀１０． A; ㊀１１． C ㊀１２． D．
数学 ( 文科 ) 三诊参考答案第㊀共４页) １页(
需要的产品研发费大约为５ ʑ 若２０１８年的销售额要达到７０万元 , ５．５万元． ��１２分 ( 解: 连接 B 并连接 D １９． Ⅰ )如图 , D 交E C 于点 Q , E． ȵA B ＝４, E 为A B 中点 , ʑB E ＝A E ＝２． ʑB E ��C D ��A E．四边形 B ʑ 四边形 A E C D, E D C 是平行四边形． ʑAD ＝C E．又 AD ＝B C, ʑC E ＝B C． ʑ 四边形 E B C D 为菱形．
又 øA B C ＝６０ ʎ, ʑC B ＝B E．即B ʑB D ʅE C, Q ʅE C 且 DQ ʅ E C． ʑE C ʅ 平面 PDQ ．

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成都市２０１５级高中毕业班第三次诊断性检测
数学 ( 理科 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分)
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分) ; ; ; ; ; ; １． A; ㊀２． C ㊀３． D; ㊀４． B ㊀５． A; ㊀６． C ㊀７． B ㊀８． C ㊀９． D; ㊀１０． A; ㊀１１． C ㊀１２． D． ( 二．填空题 : 每小题５分 , 共２０分) １３．０; ㊀㊀１４．
第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９０分)
１５１５－３ ; ; ㊀㊀１５．㊀㊀１６．６３０．５８ ( 三㊁解答题 : 共７０分) ( 解: 即 a３＋a４＝－a４．１７． Ⅰ) ȵS２ , S４ , S３成等差数列 , ʑS４－S２＝S３－S４ , ʑ２ a４＝－a３． ��２分是等比数列 , 设公比为q． ȵ{ a ʑ a３ ʂ０． n} a４１ ʑ q ＝＝－． a３２３２３ ��４分 ȵ a２＋a３＋a４＝a１( ʑ a１＝１．＝－ , q ＋q ＋q ) ８１ n－１ n－１ ��６分 ʑ a a１－ ) ． n ＝ q ＝( ２１ n－１ ( Ⅱ) b n��( ) ． n ＝２１０１１１２１ n－１ �� ① ʑTn ＝１ˑ ( ) ＋２ˑ ( ) ＋３ˑ ( ) ＋ �� ＋n ˑ ( ) , ２２２２１１１１２１３１ n－１n １ ) �� T ２３ n－１ nˑ ( ) ．㊀��② ９分 ˑ ( )＋ ˑ ( )＋ ˑ ( )＋ �� ＋ ( ˑ( ) ＋ n ＝１２２２２２２１１０１１１２１ n－１１ n 由 ① － ②, 得 Tn ＝ ( ) ０分＋ ( ) ＋ ( ) ＋ �� ＋ ( ) －n ˑ ( ) ． ��１２２２２２２ n ＋２ ��１ ʑTn ＝４－ n－１．２分２ ( １８．解 : Ⅰ )先求产品研发费的自然对数值z 和销售额y 的回归直线方程．
数学 ( 理科 ) 三诊参考答案第㊀共４页) １页(
i＝１
２ ��) z z i－ ð(
７
８１．４１１．９９, ＝ ʈ１６．７９
Байду номын сангаас
��２分
四边形 B ʑ 四边形 A E C D, E D C 是平行四边形． ʑAD ＝C E．又 AD ＝B C, ʑC E ＝B C．又 øA B C ＝６０ ʎ, ʑC B ＝B E． ��２分 ʑ 四边形 E B C D 为菱形． ��４分即B ʑB D ʅE C, Q ʅE C 且 DQ ʅ E C． ʑ 在四棱锥P －A E C D 中, ȵ P Q ʅE C 且D Q ʅE C, D Q ɘP Q＝ Q, ��５分 ʑE C ʅ 平面 PDQ ． ��６分又 PD ⊂ 平面 PDQ , ʑPD ʅ E C． ( ) , , 在直二面角中且平面 Ⅱ P －E C －A ȵP Q ʅE C P E Cʅ 平面 A 平面 P E C D, E C ɘ 平面 A E C D ＝E C, 又 DQ ʅ E ʑP Q ʅ 平面 A E C． C, 故以点 Q 为坐标原点 , Q C, Q D, Q P 所在直线分别为x 轴 , z 轴建立如图所示的 y 轴, ��７分空间直角坐标系 Q x z． y ) , ) , ) , , ) ʑC( １, ０, ０ E( ０, ０ D( ０,３, ０ P( ０, ０,３) A( ０．－１, －２,３, ң ( , ,) ң (, , , ) �� 分 ʑ AD ＝２００ DP ＝０－３３．８设平面 ADP 的法向量为 m ＝ ( x, z) ． y, ң m ��AD ＝０㊀㊀㊀２ x ＝０ , 由得． ң m ��DP ＝０３ z ＝０－ y＋３ ) 取z ＝１, ʑm ＝ ( ０, １, １． ) , ��１又平面 P E C 的一个法向量为n ＝ ( ０, １, ００分 �� m n ２ ��１ ʑ c o s＜ m , n ＞＝１分＝． m n ２２ ��１ ʑ 平面 P E C 与平面 P AD 所成的锐二面角的余弦值是．２分２２２ ( ) x －１１＋y ( ��２分由已知 , 得２０．解 : Ⅰ )设动点 M ( x, ．＝． y) ２ |x －４| ２２ y x 化简 , 得＋＝１．４３ x２ y２ ��４分 ʑ 曲线 C 的方程为＋＝１．４３ ( , Ⅱ )设 P ( x１ , Q( x２ , ． y１) y２) k x m ＝＋ y , ) ��５分联立消去 y, 得( ４ k２＋３ x２＋８ k mx ＋４ m２－１２＝０．２３ x２＋４２ y ＝１２２２２ ( )＞０, ��６分 ȵΔ ＝１６１２ k －３ m ＋９ ʑ４ k ＋３＞ m
^ ȵ b＝
i＝１
z ð(
７
i
��) �� ( y －z i －y)
^ �� － ^ �� ＝４ ��４分 ʑ a ＝y b�� z ２－１１．９９ˑ１．６８ʈ２１．８６． ^ ʑ １．９９ z ＋２１．８６． y ＝１ ^ ��６分 ʑ １．９９ l n x ＋２１．８６． y ＝１ ^ ( ) , ��８分由已知 Ⅱ １．９９ l n x ＋２１．８６＝７０． y ＝１ ʑ l n x ʈ４．０２． ��１ ʑx ʈ５５．５．０分需要的产品研发费大约为５ ʑ 若２０１８年的销售额要达到７０万元 , ５．５万元． ��１２分 : ( ) , , 解如图连接连接与相交于１９． Ⅰ D E D B E C Q． ȵA B ＝４, E 为A B 中点 , ʑB E ＝A E ＝２． ʑB E ��C D ��A E．