竖直上抛和竖直下抛运动1

例题3： 气球下挂一重物，以v0=10m／s匀速上升， 当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断 裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多 大？空气阻力不计，取g=10m／s2．
分析
这里的研究对象是重物，原来它随气球以 速度v0匀速上升．绳子突然断裂后，重物不会立 即下降，将保持原来的速度做竖直上抛运动，直 至最高点后再自由下落．
解法二──“位移法”
将υ0、t、g的值直接代入“竖直上抛运动”的位移 矢量式中可以解出： S=υ0t－ gt2 =20×3－ ×10×32
=60－45=15（m）
解后思考：
在3秒钟内小铁球通过的路程是多少？
（提示：25米）
应用时，不论质点处于上升阶段还是处于下落阶段，运动 学的公式都适用，只需注意各物理量符号（意义）即可．例如， 物体从某一高度开始竖直上抛，取竖直向上为正，则初速度为 正值，而加速度g则应取负值．当物体在抛出点以上时，位移为 正值；当物体在抛出点以下时，位移则为负值．应用上述公式 处理竖直上抛运动较分步计算（上升阶段按匀减速直线运动计 算；下降阶段按自由落体运动计算）简单．
方法2：从统一的匀减速运动考虑．
从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点 下方，规定初速方向为正方向，则物体在时间t内的 位移h=-175m．由位移公式
合理解，得t=7s．
所以重物的落地速度为vt=v0-gt=10m／s-10×7m ／s=-60m／s．
其负号表示方向向下，与初速方向相反．
说明 从统一的匀减速运动考虑，比分段计算方便
能力· 思维· 方法
【例8】在竖直的井底，将一物块以11m/s 的速度竖直地向上抛出，物体冲出井口再 落到井口时被人接住，在被人接住前1s内 物体的位移是4m，位移方向向上，不计空 气阻力，g取10m/s2，求： (1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)竖直井的深度.
能力· 思维· 方法
【解析】(1)设人接住物块前1s时刻速度为v，
(2)相遇时vA=gt1=10×0.6m/s=6m/s vB=v -gt1=(20-10×0.6)m/s=14m/s ∵hA=1/2gt2A ∴tA= 2hA 2 12 =±1.55s g 10
OB
故tA=1.55s
t′A=-1.55s(舍去)
OB上抛，它在空中飞行的时间为tB=2v′OB
竖直上抛运动的处理方法
①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运 动和自由落体运动两个过程研究 ②整体法：从整个过程看，利用匀减速运动规 律来处理.
③对称法：在竖直上抛运动中，速度、时间都 具有对称性，分析问题时，请注意利用对称性. 如上升、下落经过同一位置时的速度大小相等、 方向相反.从该位置到最高点的上升时间与从最 高点落回的时间相等.
例题7、 在一架电梯内，用绳子将一只小球悬挂在 顶板上，小球离底板高为h=2.5m，使电梯从静止开 始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动 过程中，悬挂小球的绳突然断掉．求（g=10m/s2）
1）小球落到底板所需要的时间是多少？ 2）若是在电梯运动1s后断开的，那么在小球落向底 板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动 的？位移是多少？
得多，只是在应用时，需注意位移、速度等物理量 的方向．这个物体从绳子断裂到落地过程中的v-t图 如图所示．
例题6、（1999年高考题）一跳水运动员从离水面10m 高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其 重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程 中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到 手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 ______s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中 在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留二位数字．）
υ0t－1/2 gt2=υ0t－2υ0－ gt2+2gt－2g 化简整理后可得： t= =6(s) 答：经6秒钟两石子在空中相遇
问题：对于不可忽略空气阻力和空气浮力的 “竖直上抛”运动的问题应如何处理？
总的来说，不能直接套用“竖直上抛”的运动公 式．应当根据牛顿第二定律F=ma先求出a，再代入一般的 匀变速直线运动公式求解．处理“竖直上抛”问题时应当 注意，空气阻力向下与重力同向、空气浮力向上与重力反 向．
图像法
例题1．将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率υ随时间t变化 关系的图线是如图2中所示的A、B、C、D中的哪种？
思维基础：“竖直上抛运动”是一种匀减速直线运动，在上升过程中速率υ逐 渐减小，当减到υ=0时，物体也就达到了最大高度．接下来，物体就开始作 自由落体运动，速率υ逐渐增大．（注：物体上升时，速度 的方向是向上的； 物体下落时，速度 是向下的．但是本题写明是“速率”υ，所以看图线时， 只需看υ大小的变化，而不必考虑方向的变化．） 解题思路：根据前面的分析，物体先上升后下落，速率的变化应是υ0 →υ→ υ0，只有图线（D）反映出了这种现象，而其它三种图线都是不对 的．（注：在图线D中，图线与纵轴υ的交点，就表示物体上抛的初速度υ0的 大小．）
解：设第一个石子运动的时间为t，则第二个石子运 动的时间为(t－2)；两个石子在空中相遇时的高度为 h． 根据匀速直线运动的位移公式可写出下列二式： h=υ0t－1/2 gt2 ① h=υ0(t－2)－1/2 g(t－2)2 ②
①、②两式的右端相等．
υ0t－1/2 gt2=υ0(t－2)－1/2 g(t－2)2
则有h′=vt′-(1/2)gt′2即4=v×1-(1/2)×10×12
解得v=9m/s
则物块从抛出到接住所用总时间为
t=（v-v0）/（-g）+t′=（9-11）/（-10）+1=1.2s (2)竖直井的深度即抛出到接住物块的位移. h=v0t-(1/2)gt2=11×1.2-1/2×10×1.22=6m
解 方法1 分成上升阶段和下落阶段两过程考 绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度 虑． 分别为
知 识 点 应 用
故重物离地面的最大高度为 H=h+h1=175m+5m=180m．
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分 别为
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间 t=t1+t2=1s+6s=7s
“准备活动”（解题所需的知识与技能） 这是一个二体对遇问题，首先需要分析两个石 子的运动状态，然后再找出两个石子间的相互联系， 才能顺利求解． 第一个石子竖直减速向上运动到最大高度，然后 以自由落体状态下落；第二个石子尚未达到最大高度， 在上升过程中就与返回的第一个石子相遇了．
两个石子在空间相遇时距地面的高度h是相等的； 它们运动的时间也是有关系的，如果设第一个石子运 动的时间为t，则第二个石子运动的时间就应是（t－2） 了．通过h和t就可把两个石子的关系式结合成联立方 程，也就可以解出答案了．
练习:1 在离地面30米高处,将一小球竖直上抛,当 它达到最大高度的3/4时速度是10米/秒,则小 球抛出后5秒末的速度大小为多少?在前5秒内 的饿位移大小是多少? 2 一火箭从地面竖直向上发射,加速度为8米/秒 2,10秒末从火箭上掉下一物体,求:1)物体着地 时的速度为多少? 2) 假设火箭掉下物体后加速度不变,则物体着 地时火箭上升多少?
vt v0 gt
2 t 2 0
1 2 s v0t gt 2
v v 2gh
由上述公式可知： 1）最高点的瞬时速度υ t=0，加速度仍为g，从抛出到 最大高度的时间和上升高度为 t=υ 0/g hm=υ 02/2g 2)从抛出点到落回抛出点的时间和落回抛出点的瞬时
速度为 t′=2υ 0/g υ t=-υ 0
例题2．以υ0=20m/s的初速度从地面竖直向上抛出一个实 心小铁球，问：经过3秒钟小铁球距地面的高度是多少 米？（g取10m/s2，可以忽略空气阻力和浮力的影响．）
启发性问题：
1．题目中说“实心小铁球”的目的是什么？
2．你能说出这个小铁球在3秒钟的运动状态吗？
3．你会用几种方法解答这个问题？
4．竖直上抛运动的位移和路程的数值是否永远 相等？
分析：首先，要将跳水这一实际问题转化为理想化 的物理模型，将运动员看成一个质点，则运动员的 跳水过程就抽象为质点的竖直上抛运动．
（t1+t2=0.3+1.45=1.75s）
竖直下抛运动——可以把它看成是一种初速 不为零的匀加速直线运动。
特点：v=vo+gt S=vot+1/2gt2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 相遇问题
例4：球A从高H处自由下落，与此同时，在球A下方 的地面上，B球以初速度v0竖直上抛，不计阻力，设 v0=40m/s，g=10m/s2．试问： （1）若要在B球上升时两球相遇，或要在B球下落时 两球相遇，则H的取值范围各是多少？
4.从12m高的平台边缘有一小球A自由落下， 此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以 20m/s的初速度竖直上抛，求：
(1)经过多长时间两球在空中相遇； (2)相遇时两球的速度vA、vB；
(3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的 初速度v′OB最小必须为多少?(取g=10m/s2)
延伸· 拓展
【解析】A、B相遇可能有两个时刻，即B球在上升过 程中与A相遇，或B上升到最高点后在下落过程中A从 后面追上B而相遇.若要使A、B两球能在空中相遇，则 B球在空中飞行的时间至少应比A球下落12m的时间长. (1)B球上升到最高点的高度为 H=v2OB/2g=202/（2×10）m=20m， 此高度大于平台的高度hA=12m，故A、B两球一定是在 B球上升的过程中相遇，相遇时 vOBt1-1/2gt12=hA-1/2gt2 t1=hA/vOB=12/20s=0.6s
解题过程：
解法一──“分段法”
设：小铁球上升时间为t上，自由落下的时间为t下； 上升的最大高度为h上，自由下落的距离为S下；经3秒钟 小铁球距地面的高度为h． 则：据前面导出的各“竖直上抛运动”的公式可以 写出以下关系式 t上= t = =2（s）