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优化试验设计与数据分析
本章主要内容
· 单因素优选法：黄金分割法、平分法、分数法。 · 多因素降维法：等高线法、纵横对折法、平行线法。 · 各种优选法的应用范围和适用条件。
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第四章 优选法基础
为什么要采用优选法 国庆来临，某商场为吸引顾客，打出了降价促销 的招牌。商品的折扣越低，单件商品的利润就越 低，但是销量会越大。假如说某件商品价格低至 2折时，无利润可赚，不打折出售的话，顾客消 费不会比平时多。
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第四章 优选法基础
由于在检查前无法预知检查结果，因此也就无 法知道要排除的是检查点左边还是右边的线路.为了 克服盲目性，我们把每次检查点安排在线路的中间， 这样就可以去掉一般的长度.第一个检查点C安排在 线路中间，如果有电，说明故障不在AC而在CB段， 接着在CB中点D检查，如果没有电，说明在CD部 分，再在CD中点E处检查，以此类推，很快就能找 出故障的位置。
2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数
^
y f (x1, x2......xN )
^
y ----试验指标 xi ----第i个试验条件 3）优化计算
• 优化（选）试验方法一般分为两类：
分析法：同步试验法 黑箱法：循序试验法
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第四章 优选法基础
§2-2 单因素优选法
一、平分法
如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选用此法
截掉不含好点的一段，留下存优范围
[a1, b1]，显然有[a1, b1][a, b]；
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第四章 优选法基础
例如，假设因素区间为[0, 1]，取两个试点 2/10、1/10，那么对峰值在(0, 1/10)中的单峰函 数，两次试验便去掉了长度为4/5的区间(图1)； 但对于峰值在(2/10, 1)的函数，只能去掉长度为 1/10的区间(图2)，试验效率就不理想了。
根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此 试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处 （取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划 去，重复上面的试验，直到找到一个满意的试验点。
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第四章 优选法基础
例5－1 乳化油加碱量的优选（循序试验法）
高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需 加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时， 但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量 优选范围为1－4.4％
f(x)
f(x)
a
b
连续单调
a
b
间断单调
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第四章 优选法基础
有一条10km长的输电线路出现 了故障，在线路的一端A处有电， 在另一端B处没有电，要迅速查出 故障所在位置.
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第四章 优选法基础
我们用平分法来进行解答输电线路故障：
分析：现在找输电线路故障所在位置，我们只 需在AB之间的任意点C做检验，就能根据点C是 否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障 范围，而不需要做两个实验进行比较.那么，如 何选取检查点才能迅速找出故障位置呢？
x2 a + b - x1
(5 - 2)
也可
x2 a + 0.382(b - a)
(5 - 3)
称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
式可以表示为：
第一点＝小＋0.618（大－小） (5-1)'
第二点＝大＋小－第一点
(5-2)'
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第四章 优选法基础
a
x2 x1
b
如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果 ，如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范 围（a， x2）划去剩下（ x2，b），如果f(x1)比 f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内 寻找好点
第四章 优选法基础
式(2)两边分别是两次舍弃后的存优
范围占舍弃前全区间的比例数.设每次舍
弃后的存优范围占舍弃 前全区间的比例
数为t ,即
x1 - a b-a

t,
(3)
则由b - x2 x1 - a可得
x2 - a b-a

1-
t
(4)
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第四章 优选法基础
x2 -a
由式(2)得
x1 - a b-a
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第四章 优选法基础
同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的 区间不能太短，但是也不能很长。因为为了一 次截得足够长，就要使两个试点x1和x2与 (a+b)/2足够近，这样，第一次可以截去[a, b]的 将近一半。但是按照对称原则，做第三次试验 后就会发现，以后每次只能截去很小的一段， 结果反而不利于很快接近最佳点。
在钢铁生产的过程中，需要加入一定量的碳 元素，碳元素含量高的话产出的钢硬度就大，但 是可塑性低，相反，含量少的话钢的硬度就无法 达到指定的标准，每吨钢中碳元素的含量应该是 多少就正好符合产品要求了呢？
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第四章 优选法基础
§2-1 概述
• 优选法基本步骤：
1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是 用来判断优选程度的依据。
[a,b]的中心对称 ,即x 2 - a = b - x1 .
a x2 x1 b
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第四章 优选法基础
显然,不论点x2(或点x2)是好点还是差点， 由对称性，舍去的区间长度等于b-x1，不妨 设行x2是好点，x1是差点，于是舍去（x1,b]. 再在存优范围[a,x1]内安排第三次试验，设 试点为x3,x3与x2关于[a,x1]的中心对称（如 图）。
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第四章 优选法基础
对于一般的单峰函数，如何 安排试点才能迅速找到最佳点？
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第四章 优选法基础
对于单峰函数，在同侧，离最佳点 越近的点越是好点，且最佳点与好点必 在差点的同侧．由此，可按如下想法安
排试点:先在因素范围[a, b]内任选两
点各做一次试验，根据试验结果确定差
点与好点，在差点处把[a, b]分成两段，
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第四章 优选法基础
为了使每次去掉的区间有一定的 规律性，我们这样来考虑：每次舍去 的区间占舍去前的区间的比例数相同。
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第四章 优选法基础
下面进一步分析如何按上述两个原 则确定合适的试点. 如图 , 设第 1试点 , 第 2试点分别为 x 1和x 2 , x 2 < x 1且 x1 , x 2关于
5 - 1 是无理数,具体应用时,我们往往 2 取其近似值0.618, 相应地,也把黄金分 割法叫做0.618法。
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第四章 优选法基础
0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围（a，b）的 0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，即
x1 a + 0.618(b - a)
(5 -1)
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第四章 优选法基础
下面我们通过例子来说明它的 具体操作方法.
案例：炼钢时通过加入含有特定化学 元素的材料，使炼出的钢满足一定的 指标要求.假设为了炼出某种特定用途 的钢，每吨需要加入某种元素的量在 1000g到2000g之间，问如何通过实验 的方法找到它的最优加入量？
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第四章 优选法基础
最朴素的想法就是以1g为间隔， 从1001开始一直到1999，把 1000~2000g间所有的可能性都做一遍 试验，就一定能找到最优值.这种方法 称为均分法.但这样要做1000次试验， 在时间、人力和物力上都是一种浪费. 用0.618法，可以更快、更有效地找出 最佳点.具体操作方法如下：
a
x3 x2
x1
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第四章 优选法基础
点x3应在点x2左侧.因为如果点x3在点
x2的右侧,那么当x3是好点,x2是差点时,要
舍去区间[a,x2 ],而它的长度与上次舍去的
区间(x1,b]的长度相同,违背成比例舍去的
原则.于是,不论点x3 (或点x2 )是好点还是 差点,被舍去的区间长度都等于x1 - x2.按
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第四章 优选法基础
用一张纸表示1000~2000g，以1000为 起点标出刻度.找出它的黄金分割点x1的对 称点x2作为第2试点
1000
1382 1618
x2
x1
2000
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第四章 优选法基础
这两点的材料加入量是:
X1＝1000＋0.618×（2000－1000）＝1618(g), X2＝1000＋2000－x1＝1382(g) 如果称因素范围的两端分别为大头和小头，
那么上述两式可表示为
X1＝小＋0.618×（大－小); （1）
X2＝小＋大－x1
（2）
对于式（2），相当于是“加两头，减中间”.
类似的在确定第n个试点x n时，如果存优范围内相 应的好点是xm，那么有公式
X n ＝小＋大－x m
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第四章 优选法基础
比较两次试验结果，如果第2试点比第1 试点好，则沿1 618处将纸条剪断去掉1 618 以上的部分，保留1 618以下的部分.将保留 的纸条对折，找出第2试点x2的对称点x3作为 第3试点。按公式，有ຫໍສະໝຸດ b-a x1 - a,
(5)
b-a
把(3)与(4)代入(5), 得
t 1-t , t
即
t2 + t -1 0.
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第四章 优选法基础
解得 t 1

-1+ 2
5
, t2

-12
5 .其
中t1为对本问题有意义的根, 这就是黄金
分割常数 , 用 w 表示 .
试验方法中, 利用黄金分割常数w
确定试点的方法叫做黄金分割法.由于
A
C ED
B
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第四章 优选法基础