张波点评2020海淀初三上期末压轴题(1)

张波点评2020海淀初三上期末压轴题

2020/1/15

题目:在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b) 和实数k(k>0),给出如下定义:当ka+b>0时,以点P为圆心,ka+b为半径的圆,称为点P的k倍相关圆.

例如,在图1中,点P(1,1) 的1倍相关圆是以点P为圆心,2为半径的圆.

(1)在点(2,1),(1,-3)中,存在1倍相关圆的点是_____, 该点的1倍相关圆

的半径为_____.

(2)如图2,若M是x轴正半轴上的动点,点N在第一象限内,且满足MON=30°,判断直线ON与点M的倍相关圆的位置关系,并证明.

(3)如图3,已知点A(0,3),B(1,m),反比例函数的图象经过点B,直线与直线

AB关于y轴对称.

点C 在直线上，则点C的3倍相关圆的半径为_____.

点D在直线AB上,且点D的倍相关圆的半径为R.若点D在运动过程中,以点D

为圆心，hR为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点,直接写出h

的最大值.

[解析](1),3;(2)相切;(3)3;

这几小问是送分题,只要娃有时间做到这里,就可以拿分.前面的题难度不大,娃们普遍遇到的第一个障碍应该是27题最后一问,这类基于比例进行计算的题目外地中考很常见,尤其是著名的哈题（哈尔滨的中考题）,比这题难度大不少.由于近几年北京中考这类型的题很少出现,导致娃们平时训练的少,因此觉得难.

(3)是一路高歌猛进中突然遇到的一堵墙,考场上肯定着实吓了娃们一跳.

无论这堵墙能不能突破,一个训练有素的学生第一反应应该是对圆心D位置进行一下评估,这需要如下的分类讨论：

1)若点D(a,b)在第三象限,则,因此不可能;

2)若点D(a,b)在第二象限,则,即便点D的倍相关圆存在,由

于其半径小于点D 的纵坐标,因此该相关圆位于轴的上方;在保证与反比例函数

的图像最多有两个公共点的前提下,圆的半径还有扩大的空间.

3)若点D(a,b)在第一象限，相关圆肯定存在,其半径为

.

分析到这里真正的障碍出现了,往下如何进行? 有的老

师会有将D 的相关圆方程列出来,与反比例函数方程联立的

冲动(事实将证明会得到一个含参的四次方程),而初中的娃

们肯定不会这么想,因为圆的方程没有学过.既然没有代数

手段,那只好依托于几何方法了.那么,如何在数形结合的大

背景下,构造出

对应的几何量呢?

当a>0时,线段OE 的长度为a,线段DE 的长度为b,延长DE

至F,使得EF OE,则DF 的长度即为,而点F 在直线

上.直线OF 和直线AB 相互垂直.

此时,我们应该隐约意识到出题人设计的数据之间的关系了:为什么设定为

倍相关圆,而不是或者? 恰为直线AB 斜率的倒数,这是巧合吗?大概率不是.

回到原始问题上来,当点D 在第一象限时,其相关圆与的右半支有两个

交点是必然的,如何调整相关圆的半径,以求在任何位置都能够避免与左半支相交呢?这里,一个需要记住的经验是:在考虑动态问题时需要具备动态观点,让点D 逐渐走向无穷远处:

设半径为

的圆D 与直线AB 交于G,则.

若,则随着DF 越来越大,BG 也越来越长,可以是任意大,与

的左半支

必有交点,而当时, 半径为的圆D 在直线OF 的上方,与

的左半支

必然没有交点.综上的最大值为

.

本题综合运用了分类讨论,数形结合,构造方法,动态观点等数学思想和方法,出题人构思新颖巧妙,是一道好题.但是我估计事实将证明能作出此题的初中娃太少,以至于从区分度上来说,该题几乎起不到什么作用,也是一种遗憾.无论如何应该向出题人的处心积虑致以革命的敬礼.