线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵

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正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义,若要判别一个对称矩阵A是否正定,按照前 面的讨论,可以利用一个非退化的线性替换X=PY,将二次型XTAX化成 标准型(与其具有同样正定性)
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而,利用正定二次型的判别定c 理,判别XTAX的正定性,也就得 到了A的正定性.但是,更希望从矩阵的本身,直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性: 显然,对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T, 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此,原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
(2)如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式,那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
(7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性,从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式(7-16)中大于0的di的个数, 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数,因此,得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件(5),A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0, 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法,引入如下定义.

线性代数 二次型与正定矩阵

线性代数  二次型与正定矩阵

0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项,不含交叉项,
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型,称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地,二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量,称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ,则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵,则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

f

x2 1

x2 2

5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?

二次型的矩阵为
A


1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1>0
(1) xTAx >0 ,则称 f 为正定二次型,
相应地矩阵A称为正定矩阵;
(2) xTAx <0 ,则称 f 为负定二次型,相应
地矩阵A称为负定矩阵;
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(3)xTAx≥ 0 ,则称 f 为半正定二次型,相应
地矩阵A称为半正定矩阵;
(4)xTAx ≤0 ,则称 f 为半负定二次型,相应
0 1 2
2

5 2

2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2>0,
2 2
1 2
5>0,
2 1 0
1 2 1 4>0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5>0, 5 2 26 >0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2>0,
1t t1
1
2 5t 2 4t >0,
1 2 5
1 t 2>0
因此

5t
2

4t <0
解之得 4<t<0 5
故当 4 <t<0 时,该二次型为正定二次型. 5

线性代数 正定二次型

线性代数 正定二次型
证明:设n元实二次型f经过非退化线性变换X=PY化为
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆,X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1

O









1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义:设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ,若对任意的
X0 XR n,均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0

A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵,且均为实对称矩阵.
定理(Sylvester定理):实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例:t
取何值?
A


t2Biblioteka 1 0提示:由Sylvester定理,
1
0

是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形,但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同,即:二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知,标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理(惯性定理) 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时,其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的,二者的和等于矩阵A的秩. 定义:实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数,负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数,二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.

线性代数 6-3二次型的正定性

线性代数 6-3二次型的正定性

结束
4. 定理:An×n实对称,则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p=n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理(4)的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形: 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即,f 的正惯性指数p=n=秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵

5 2
2 5
21 0 ,D3
2
5 1 88 0 ,
2 1 5
故 A 是正定矩阵.
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 , 2
11 2
33

3
11 2
33
, 因为 i
0
(i 1,2,3) ,所以 A 是正定矩阵.
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ,x2 ,x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ,b R) ,判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数. 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数. 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0,即
a11 0 ,
a11 a21
a12 0 , a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ,判断 f 的正定性.
5 2 2
解:二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
,各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ,D2
5 2
2 6
26 0 ,D3
2 6
0 80 0 ,
2 0 4
由定理 2 知, f 是负定二次型.
解:二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
,A
的顺序主子式
D1
3
0 ,D2
5

线性代数第六章

线性代数第六章

1 2 1
1 2 1

A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
,所以二次型的秩为
3.
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2

A
1 2 0
3
4
,写出矩阵
A
所对应的二次型.
4
2
解: f (x1 ,x2 ,x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 .
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ,y2 ,L ,yn 到 x1 ,x2 ,L ,xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn

1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn

2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ,
(6-3)
c11 c12 L
解:由于
f
中没有平方项,但有
x1
x2
项,由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
, ,即
x3
y3 ,
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2

x3 0 0 1 y3

f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ,j 1

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵二次型是矩阵与向量的一种重要的数学结构。

它在数学分析、线性代数、凸优化等领域中有广泛的应用。

本文将介绍二次型的基本概念、性质以及与正定矩阵的关系。

首先,让我们来定义什么是二次型。

给定一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)和一个n*n的实对称矩阵A=(aij),则二次型定义为:Q(x) = x^T * A * x = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + ... + 2an-1,nxn-1在二次型的定义中,对角线上的元素表示各个变量的平方系数,非对角线上的元素表示各个变量的二次交叉项系数。

观察定义可以发现,二次型是关于向量x的一个二次多项式函数。

接下来,我们将讨论二次型的一些重要性质。

首先,由于实对称矩阵的性质,二次型矩阵A一定是一个对称矩阵。

其次,二次型的零空间是通过矩阵A的特征向量所确定的。

若向量x是特征值λ对应的特征向量,则有A*x = λx,代入二次型的定义中得到Q(x) = λx^T * x = λ||x||^2,其中||x||表示向量x的范数。

由此可知,当特征值λ>0时,二次型的取值结果总是大于0,当特征值λ<0时,二次型的取值结果总是小于0。

因此,我们可以得出结论:若二次型的所有特征值均大于0,则该二次型为正定二次型;若所有特征值均小于0,则该二次型为负定二次型;若特征值中既有正数又有负数,则该二次型为不定二次型。

正定矩阵是与正定二次型联系密切的概念。

正定矩阵是指所有主子矩阵的行列式都大于0的矩阵。

而正定二次型则是指对于任意非零向量x,都有Q(x)>0成立的二次型。

可以证明,正定二次型与正定矩阵是一一对应的关系。

也就是说,如果一个二次型的矩阵A是正定矩阵,那么这个二次型就是正定二次型;反之亦然。

正定矩阵具有一系列重要的性质。

首先,正定矩阵的特征值都是正数。

这是因为正定矩阵的二次型取值结果都大于0,由前述性质可知特征值必为正数。

线性代数§6.4

线性代数§6.4

小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x=Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定,所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面,由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x=Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性,若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意:正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为:| A | 由|A|>0,所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA(k为正数),A*

北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt

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北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间:星期二晚上18:00-20:30 星期四晚上18:00-20:30
答疑地点:J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX>0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为

A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为

Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n> 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.

解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵在线性代数中,二次型是一种重要的数学工具,它与正定矩阵有着密切的联系。

本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。

一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式,其中每一项的次数都是2。

一个一般的二次型可以表示为:Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中,x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量,a_ij 是实数系数,对于所有的 i 和 j 都成立。

简单来说,二次型就是一个多项式,其每一项的次数都是 2。

二次型可以用矩阵的形式表示:Q(x) = x^TAx其中,A 是一个 n×n 的实对称矩阵,其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。

二、二次型的性质1. 对称性:二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵,即 a_ij = a_ji。

这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。

2. 齐次性:对任意非零实数 k,有 Q(kx) = k^2Q(x)。

这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。

3. 加法性:对任意两个 n 维向量 x 和 y,有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。

这意味着二次型具有线性特性。

4. 正定性与负定性:一个二次型 Q(x) 是正定的(positive definite),如果对于任意非零的实向量 x,都有 Q(x) > 0。

类似地,如果对于任意非零的实向量 x,有 Q(x) < 0,那么二次型就是负定的(negative definite)。

如果既存在正值又存在负值的向量 x,那么二次型就是不定的(indefinite)。

5. 非负定性与非正定性:如果对于任意非零的实向量 x,都有 Q(x) ≥ 0,则二次型是非负定的(nonnegative definite)。

类似地,如果对于任意非零的实向量 x,有Q(x) ≤ 0,那么二次型是非正定的(nonpositive definite)。

第6.3节_正定矩阵

第6.3节_正定矩阵

第6.3节_正定矩阵微积分线性代数一、基本概念定义设A 为实对称矩阵,相应实二次型f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵,对任意非零向量x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有f ( x) 0,正定二次型,称为正定矩阵正定矩阵. 则称f (x) 是正定二次型,A 称为正定矩阵.负定二次型,注:(1)若恒有f ( x ) 0 ,则称f (x) 是负定二次型,(1)若恒有A 称为负定矩阵;称为负定矩阵负定矩阵;半正定二次型,(2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型,A称为半正定矩阵;称为半正定矩阵;半正定矩阵半负定二次型,(3)若恒有f ( x ) ≤ 0 ,则称f (x) 是半负定二次型,A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负,就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负,就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负不定二次型2微积分线性代数二、正定矩阵、正定二次型的判别正定矩阵、由定义,可得以下两个结论:由定义,可得以下两个结论:( 1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 + L+ dn yn2 2 2正定的充分必要条件是d i 0 .充分性是显然的;下面用反证法证必要性:充分性是显然的;下面用反证法证必要性:假设某个d k ≤ 0 , yk = 1 ,其余y j = 0 ( j ≠ k ) , 取代入二次型,代入二次型,得 f ( 0, L ,1, L ,0) = d k ≤ 0 ,与二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) 正定矛盾. 正定矛盾.3微积分线性代数(1)二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn 正定2 2 2的充分必要条件是d i 0 .若正定,(2) 二次型x Ax 若正定,经过可逆线性替换x = Cy ,T其正定性保持不变. 化为y ( C AC ) y ,其正定性保持不变.TT是可逆矩阵,这是因为C 是可逆矩阵,只要y ≠ o ,就有x ≠ o ,于是xT Ax 0 , 即y ( C AC ) y 0 .T T由替换的可逆性,正定,由替换的可逆性,若y ( C AC ) y 正定,也可推出正定. x Ax 正定.TTT由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要通过非退化线性替将其化为标准形,要通过非退化线性替换,将其化为标准形,就容易由以下定理判别其正定性. 以下定理判别其正定性.4微积分线性代数定理n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它元实二次型系数全都大于零, 的标准形的n 个系数全都大于零,即 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn ,且di 0 . 推论1 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于它的正惯性指数等于n..推论2 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是 2 2 2 它的规范为它的规范为 f = z1 + z2 + L+ zn . 准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特准则实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正全为正. 征值全为正.5微积分线性代数例1 判别二次型2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 x 2 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为1 1 0 A = 12 1 , 0 1 3λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3微积分线性代数λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3λ 2 1 0 c1 c2 c3 2 λ λ 2 1 = (λ 2)(λ2 4λ + 1) , 2 λ 1 λ 3求得A 的特征值为2, 2 ± 3 ,全为正,因此二次型正定. 全为正,因此二次型正定.7 微积分线性代数定义设A = (aij ) nn , A的k 阶顺序主子式的是指行列式a11 a 21 | Ak | = L ak 1 a12 a 22 L ak 2 L a1 k L a2k , k = 1,2, L , n. L L L a kk准则2 准则n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的顺序主子式全大于零. 的顺序主子式全大于零.证略. 证略.8微积分线性代数例2 判别二次型2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 4 x1 x 2 4 x 1 x 3 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为它的顺序主子式为:它的顺序主子式为:2 2 5 A= 2 5 1 , 2 1 5| A1 | = 5 0 ,5 2 | A2 | = = 21 0 , 2 52是正定的,因此A是正定的,是正定的正定. 即二次型 f 正定.92 | A3 | = 2 5 1 = 88 0 , 2 1 5 5微积分线性代数例3 设有实二次型2 2 f = x12 + 4 x 2 + 4 x 3 + tx1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3取何值时,该二次型为正定二次型?问t 取何值时,该二次型为正定二次型?t 1 1 2 解t 4 2 , f 的矩阵为A = 2 1 2 4 1 顺序主子式为:顺序主子式为:| A1 | = 1 0 , | A | = 2 t | A3 | = | A | = ( t 2)( t + 4) 0 , 2 解得 4 t 2 .t 2 = 4 1 t2 0 , 4 410微积分线性代数三、正定矩阵的性质正定矩阵矩阵,的行列式为正因而可逆. 为正, 1.若 A 为正定矩阵,则 A 的行列式为正,因而可逆.因| A | = λ1λ 2 L λ n 0.都是正定阵, 正定矩阵矩阵, 2.若A 为正定矩阵,则AT , A 1 , A , A k 都是正定阵, 其中k 为正整数. 为正整数. 这是因为:这是因为:有相同的特征值;矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值;1 | A| k k ; λ(A ) = λ(A ) = ; λ ( A ) = [λ ( A)] . λ ( A) λ ( A) 111微积分线性代数正定矩阵矩阵,的主对角元全为正. 3.若A 为正定矩阵,则A 的主对角元全为正.T 因为 f ( x ) = x Ax = 证∑∑ai =1 j = 1nnij正定,x i x j 正定,取x ( i ) = ( 0 ,L ,1 ,L ,0 ) ,则有Tf ( x( i ) ) = aii 0, (i = 0,1,L.n ) .正定矩阵矩阵,也为正定4.若A 和B 为正定矩阵,则A+B ,hA(h0)也为正定也为矩阵. 矩阵. 对任意非零向量x 证对任意非零向量,有T x ( A + B ) x = x T Ax + x T Bx xT ( hA ) x = hx T Ax 0.12微积分线性代数5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P, 逆矩阵,使得 A = P T P . 实际上,实际上,正定二次型的规范形为2 2 2 z1 + z 2 + L + z n , 即A正定的充分必要条件是合同于单位矩阵,正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵E 即存在可逆矩阵P 即存在可逆矩阵,使A = P T EP = P T P .微积分线性代数6.设矩阵,6.设A 为m × n 矩阵,A 的秩r ( A) = n , A A 为且则正定矩阵. 正定矩阵.T证因为( A A) = A A , 故A A 是n 阶对称矩阵. 阶对称矩阵.T TTT仅有零解,又r ( A) = n ,可知齐次线性方程组Ax = o 仅有零解,所以对任意x ≠ o ,必有Ax ≠ o , 于是x T ( AT A ) x = ( Ax )T ( Ax ) 0 ,为正定二次型,即二次型x ( A A ) x 为正定二次型,即矩阵TTAT A 为正定矩阵. 为正定矩阵.14微积分线性代数类似结论有:类似结论有:阶可逆矩阵, 为正定矩阵. 设A 为n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.T T阶正定矩阵, 设A 为n 阶正定矩阵,P 为n× m 矩阵,且r(P) = mn , × 矩阵, 为正定矩阵. 则P AP为正定矩阵.T显然,是负定是负定( 的当且仅当- 是正显然,A是负定(半负定)的当且仅当-A是正半正定) 由此,容易得出以下结论:定(半正定)的.由此,容易得出以下结论:半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负;半正定的充分必要条件是A的特征值微积分线性代数显然,是负定是负定( 的当且仅当- 是正定显然,A是负定(半负定)的当且仅当-A是正定半正定) 由此,容易得出以下结论:(半正定)的.由此,容易得出以下结论:半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负;半正定的充分必要条件是A的特征值负定的充分必要条件是A的特征值全负(2)A负定的充分必要条件是的特征值全负;负定的充分必要条件是的特征值全负;半负定的充分必要条件是A的特征值非正(3)A半负定的充分必要条件是的特征值非正;半负定的充分必要条件是的特征值非正;(4)A负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是式全为负而偶数阶顺序主子式全为正;式全为负而偶数阶顺序主子式全为正;负定,的对角元全为负. (5)若A负定,则A的对角元全为负. 负定的对角元全为负注意: .最后一条只是必要条件. 注意: 1.最后一条只是必要条件. 2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的. . 的顺序主子式全非负也未必是半正定的顺序主子式全非也未必是半正定的16微积分线性代数* 例4设矩阵1 1 0 A = 1 1 0 , 0 0 1 显然A的显然的顺序主子式| A1 | = 1 0 , | A2 | =1 11 1= 0 , | A3 | = 1 1 0 = 0 , 1 1 0 0 1但对角元有正有负,显然是不定的是不定的. 但对角元有正有负,显然A是不定的.17微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(1) f 的矩阵为1 2 1 A= 1 6 0 , 1 0 4 顺序主子式2 1 = 11 0 , | A | = 38 0 , 20, 1 6 是负定的. 所以f 是负定的.18微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(2) f 的矩阵为1 2 0 A = 2 2 2 , 0 2 3 顺序主子式1 2 1 0, = 2 0 , 2 2 定的. 所以f 是不定的.19。

线性代数第25讲 正定二次型

线性代数第25讲 正定二次型

C T AC
2
其中1 , 2 ,, n是矩阵 A 的全部特征值.从而得到:
定理 3 对称矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是它 的特征值全大于零.
A与E合同,故有 定理 4 n阶矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n. 定理 5 矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是: 存在 非奇异矩阵 C , 使 A C T C . 推论 若 A为正定矩阵, 则 | A | 0.
2 1 2 2 2 3
将其改写成 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 2 x3 )2 0, 当 x1 x2 2 x3 0 时, f ( x1 , x2 , x3 ) 0, 故 f ( x1 , x2 , x3 ) 是半负定的, 其对应的矩阵
2 1 1 2 1 1 2 2 4
正定二次型
一、二次型有定性的概念 二、正定矩阵的判别法
一、二次型有定性的概念
定义 具有对称矩阵 A 之二次型 f x Ax , 如果对 于任何非零向量 x , 都有 T x Ax 0 (或 0) T 则称 成立, f x Ax 为正定(负定)二次型,矩阵 A
T
称为正定矩阵(负定矩阵). 如果对于任何非零向量 x , 都有 x T Ax 0 (或 0) 则称 成立, 且有非零向量 x 0 , 使 x T 0 Ax0 0,
2 d k 0, x k 0, 故 d k xk 0, 而当 i k 时,
di x 0
2 i
x Dx d i x 0,
T i 1 2 i
n
D 为正定矩阵.
1 n
证毕.
由于对任一对称矩阵 A, 存在正交矩阵 C , 使得

6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)

6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)

解法二 特征值法。二次型 f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
6 2 2
A
2 2
5 0
0 7
6 2 2
E A 2 5 0 3 6 9
2 0 7
因此A的特征值分别为3、6、9都是正数,故该二次型正定。
ห้องสมุดไป่ตู้
例6.3.4 判别二次型是否正定。
f x1 , x2 , x3 6x12 4x1 x2 4x1 x3 5x22 7 x32
定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵 C,使得A=CTC,即A合同于单位矩阵。
推论6.3.2 如果A为正定矩阵,则|A|>0。
定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特 征值都是正数。
定义6.3.2 设n阶矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1n
是正定的,并讨论λ≤2的情况。
解 二次型的矩阵为
1 1 0
A
1 1
1
1
0
0
0 0 0 1
由f正定的充要条件是A正定,而A正定的充要条件是A的各阶顺
序主子式全大于零。A的各阶顺序主子式为
A1 0 ,
A2 1
1
2 1 0,
1 1
A3 A4 1 1 12 2 0
1 1
解法三 顺序主子式法。
A1 6 0 ,
A2
6 2
2 26 0 , 5
6 2 2 A3 2 5 0 162 0
2 07
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型 f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz

线性代数第6章二次型及其标准形

线性代数第6章二次型及其标准形

f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6

x2


xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3

x2 x3

注:二次型
对称矩阵
定义2: 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示,并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1

an1 x1 an2 x2
a1n xn

a2n xn


ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)

a21
a22

an1
an2
a1n x1
a2
n


x2


ann


xn

a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1

2

5, 解5E

AX

0, 得基础解系为:1

1

解(1)写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
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下面求 A 5E .
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,

所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5(矩阵正定的必要条件)
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵,
证明: 因为A正定,所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性:设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性: f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.

A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P

1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0

A i I PX 0
PX i
X P 1 i
例3 设A是n阶方阵, 其特征多项式为 f A ( ) E A n a n 1 n 1 a 1 a 0 , 求 : (1)求 AT 的特征多项式; ( 2)当A非奇异时, 求 A1 的特征多项式.
T T . 于是可将 A QQT 写成
2
A QQT QTTQT (TQT )T (TQT )
若记P TQT 则定理得证.
说明 定理3的换个说法是:“实对称矩阵A正定
的充要条件是A合同于单位矩阵 I .”
定理4 对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的各阶主子式为正,即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 an1 ann 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主 子式为负,而偶数阶主子式为正,即
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式 5 2 4 5 2 2 1 2 1 0, 5 0, 1 0, 2 1 4 2 5 故上述二次型是正定的.
是否正定.
第三节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
一个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩.
下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 二次型的标准形所具有的性质.
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 及 x Pz 使 及
解 (1) f AT ( ) E AT (E A)T
E A f A ( ),
A与 AT 有相同的特征多项式 .
f A ( ) E A n an1 n1 a1 a0 ,
(2)设 1 , 2 ,, n 是A的全部特征值, 则
习题课
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵, 证明 A E [2 /(aT a )]a aT 为正交矩阵.
证明
先 求 A , 然后根据正交矩阵的定 义验证
T
A AT E . T T T T A [ E ( 2 / a a ) a a ] E ( 2 / aT a )a aT A, AT A AA
即知A是正定矩阵,故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 2 f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
2 5 2 解 f 的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4
a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
T T T T 2
故得 f 或矩阵 A 正定. 必要性
因为A是实对称矩阵,故必存 在正交阵Q, 使 QT AQ 即 A QQT
其中 diag[1 ,, n ].又因A正定,故i 0,即有
i i , i 1,, n. 若记矩阵T diag[ 1 ,, n ], 则显然成立
f AX f X .
因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值,
所以f ( i )(1 i 3)是 f ( A) A3 5 A2 B的全 部特征值.故
B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 )
( 4)( 6)( 12) 288.
故a(a a) a (a a)(a a ),
T T T T
AT A E [4 /(aT a )]a aT [4 /(aT a )]a aT E ,
故A是正交矩阵.
特别当a a 1时, A E 2a a 是正交矩阵.
T T
例2 设n阶方阵A的全部特征值为 1 , 2 , , n , 属 于 i 的特征向量为 i ,问 P 1 AP的特征值与特征向 量为何?
同理,有“A负定的必要条件是 aii 0.”
四、小结
1. 正定二次型的概念,正定二次型与正定 矩阵的区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法:
(1)定义法; (2)顺次主子式判别法; (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法,可以得到 负定二次型(负定矩阵)相应的判别方法,请大 家自己推导.
1 1 1 , , , 是 2 n A 的全部特征值, 故 A1的特征多项式为 1 1
f A1 ( ) E A1
(
n
1
1
)(
1
2
)(
1
n
)
1 a1 n1 a n1 . a0 a0 a0
1 用特征根计算方阵 A的行列式 A
即A的特征值必然都是正数 ,故A正定.
可逆 定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是存在 矩阵P , 使A P T P . 证明 充分性 因为A P T P , 且P可逆,故对任意 x 0, 必有
Px 0,于是有
f x Ax x P Px ( Px ) Px Px 0
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r yr2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
ki 0, i 0,
则k 1 , , k r 中正数的个数与 1 , , r 中正数的个数 相等. 且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数,
负系数个数称为负惯性指数,
规范形:f y1 y p y p1 yr
2
2
2
2
化标准型
2 2 f 1 z1 2 z 2 r zr2
i 0
为规范型。
f Z T Z,令 Z DY f Y T DT D Y 其中
1 r
2


1 1 D 0 0
2 2
1 r
1 1
f y1 y p y p1 yr
2
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) xT Ax , 如果对任何 x 0,
例1 已知A为n阶实对称矩阵,且满足
A3 6 A2 11A 6I O, 试证明A是正定矩阵.
证明: 设是A的任一特征值,且有 Ax x,
那么由

A3 6 A2 11A 6I O, 可得
3 62 11 6 0 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1 或 2 或 3
1
r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例2 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
[ E ( 2 / aT a ) a aT ] [ E ( 2 / aT a ) a aT ]
E [2 / (a a )] a a [2 / (a a )] a aT
T T
T
[4 / (a a ) ]a (aT a ) aT .
T
2
a 0, aT a为一非零数,
(1) f ( x ) 0, 则称 f 是正定二次型,对应的
实对称矩阵A为 正定矩阵. ( 2) f ( x ) 0, 则称 f 是负定二次型,对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵. 显然 f 0 0
例如 f x, y, z x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
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