2009年江苏省高考数学真题(解析版)

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

参考公式:

样本数据

1

x,

2

x,,

n

x的标准差

(n

s x x

=++-

其中x为样本平均数

柱体体积公式

V Sh

=

其中S为底面积，h为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．

【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．

【说明】考查复数的四则运算．

2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．

【答案】3．

【解析】cos23

θ

===

a b a b．

【说明】考查向量的数量积（代数）运算．

锥体体积公式

1

3

V Sh

=

其中S S为底面积，h为高

球的表面积、体积公式

2

4

S R

π

=，3

4

3

V R

π

=

3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 【答案】(1,11)-．

【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x =--=-+'，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-．

【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．

4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π

3

-在闭

区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ． 【答案】3．

【解析】如图，2π3

T =，所以3ω=．

【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．

5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽

取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ． 【答案】0.2 【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m 的取法有2种，所以概率为0.2． 【说明】考查古典概型．

6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，

投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ．

【答案】25

．

【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．

【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差

为2，众数为

7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22． 【解析】追踪表：

故出循环时，S =17，T =5，故W

=22．

【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．

8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积

比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8

【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方． 【说明】本题考查合情推理之类比推理．

9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C

在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．

【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．

【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．

10． 已

知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲

．

【答案】m n <

【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．

【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．

11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =

▲ ． 【答案】4

【解析】由log 2x ≤2得0，所以c =4．

【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；

（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）

【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．

【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆

2

222

1(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．

【答案】5