2009年江苏省高考数学真题(解析版)

绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
参考公式:
样本数据
1
x,
2
x,,
n
x的标准差
(n
s x x
=++-
其中x为样本平均数
柱体体积公式
V Sh
=
其中S为底面积，h为高
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．
【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．
【说明】考查复数的四则运算．
2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．
【答案】3．
【解析】cos23
θ
===
a b a b．
【说明】考查向量的数量积（代数）运算．
锥体体积公式
1
3
V Sh
=
其中S S为底面积，h为高
球的表面积、体积公式
2
4
S R
π
=，3
4
3
V R
π
=
3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 【答案】(1,11)-．
【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x =--=-+'，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-．
【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．
4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π
3
-在闭
区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ． 【答案】3．
【解析】如图，2π3
T =，所以3ω=．
【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．
5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽
取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ． 【答案】0.2 【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m 的取法有2种，所以概率为0.2． 【说明】考查古典概型．
6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，
投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ．
【答案】25
．
【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．
【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差
为2，众数为
7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22． 【解析】追踪表：
故出循环时，S =17，T =5，故W
=22．
【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．
8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积
比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8
【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方． 【说明】本题考查合情推理之类比推理．
9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C
在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．
【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．
【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．
10． 已
知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲
．
【答案】m n <
【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．
【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．
11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =
▲ ． 【答案】4
【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4．
【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；
（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）
【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．
【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆
2
222
1(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
【答案】5
【解析】直线12A B 的方程为1y x a b +=-，直线1B F 的方程为1y
x c b
+
=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c
+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >
，所以离心率为5．
【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．
14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集
合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ． 【答案】9-
【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32
q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；
其它情形都不符合．
【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15． （本小题满分14分）
设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；
（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ． 【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．
即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=． （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，
()()2
2
2
sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，
∴当sin2β=−1时，2
+b c 最大值为32，所以+b c
的最大值为
（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=， 所以a ∥b ．
16． （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．
【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又
EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； （2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，
A
B C
A 1
B 1
C 1 E
F D
第16题图
∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11
BB AD ⊥． 又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ． 又11
AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．
17． （本小题满分14分）
设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足2222
5234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得
1
2
m m m a a a ++为数列{S n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则2222
5243
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =
所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-． （2）12
(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=
-，令23m t -=，12(4)(2)
m m m t t a a a t
++--=86t t =+-，
因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}
n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．
所以满足条件的正整数2m =． 18． （本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．
（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长
为l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．
【解析】(1) 0y =或7(4)24
y x =--，
（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k -=--
由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2
l 的距离相等，即
第18题图
11
|4()5()|
a b
k k
----+
=，即|31||45|
k ka b k a kb
---+=--++，整理得：222222
(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)
a k a
b k b b k a b k a
+++-+-=-+--+-
因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：3
2
a=-，13
2
b=；或5
2
a=，1
2
b=-．
所以满足条件的点P坐标为313
(,)
22
-或51
(,)
22
-．
法二）依题意点P在线段
1
C2C的中垂线上，且与1C、2C构成等腰直角三角形，设点P(,)
a b，则71
3()
42
b a
-=--，又120
PC PC
⋅=，即22670
a b a b
+---=，
解得：3
2
a=-，13
2
b=；或5
2
a=，1
2
b=-．
满足条件的点P坐标为313
(,)
22
-或51
(,)
22
-．
19．（本小题满分16分）
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m
元，则他的满意度为m
m a
+
；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为n
n a
+
．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合
满意度为h
甲
，乙卖出A与买进B的综合满意度为h
乙
．
（1）求h
甲
和h
乙
关于m A，m B的表达式；当3
5
A B
m m
=时，求证：h甲=h乙；
（2）设3
5
A B
m m
=，当m A，m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A，m B的值，使得0
h h
甲
≥和
h h
乙
≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
【解析】h=
甲
h=
乙
当3
5
A B
m m
=
时，h=
甲
h=
乙
h
甲
=h乙．
当3
5
A B
m m
=
时，h==
甲
，而520
B
m
≤≤，
所以当20
B
m=时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12
A
m=
．
（3
≥
即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②， 由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥
-，又
24120
2008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--， 只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立． 由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥
-，又
4012040
200[20,80]36336
A A A m m m +=+∈--， 只有当20
B m =，12A m =时，不等式②成立．
综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．
20． （本小题满分16分）
设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；
（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集． 【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{
2
1
a a <≥，所以1a ≤-． （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+2
2min
(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩
当x a ≤时，2
2
()2,f x x ax a =+-{{
2min
2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<
综上2
2min
2,0()2,03
a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩． （3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，
①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；
②当a <<0,∆>
得(0x x x a
⎧⎪≥⎨>⎪⎩， i
a <<时，不等式的解集为(,)a +∞； ii
）a ≤≤
)+∞；
iii
）a <<
时，不等式的解集为3([)3
a a +-+∞.
数学Ⅱ（附加题）
参考公式：222
2(1)(21)
123.6
n n n n +++++
+=
21. [选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．.． A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD .求证：AB ∥CD .
证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB =∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA =∠CDB .再由
△ABC ≌△B AD 得∠CAB =∠DBA .因此∠DBA =∠CDB ，所以AB ∥CD . B. 选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的逆矩阵. 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥
++⎣⎦⎣⎦故321,320,
20,21,
x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为1,13()
x t t
y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程.
解：因为2
12,x t t
=+-所以2
12,3
y x t t +=+= 故曲线C 的普通方程为：2
360x y -+=. D. 选修4 - 5：不等式选讲
设a ≥b ＞0，求证：3332a b +≥22
32a b ab +.
证明：3
3
2
2
2
2
2
2
32(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--
因为a ≥b ＞0，所以a b -≥0，22
32a b -＞0，从而2
2
(32)()a b a b --≥0，
即3332a b +≥22
32a b ab +.
22. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x
轴上（如图）.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.
23. 对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的有序数组
(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）
；对于随机选取的{}
,1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的概率。

（1）求2n T 和2n P ；
（2）求证：对任意正整数n ≥2，有1
1n P n
>-
.。