第3讲 平面向量

第3讲 平面向量
一．基础知识回顾
1．向量的有关概念:(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．(2）表示方法：
用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________
或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)
单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝
____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫
____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)
相等向量：长度______且方向______的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，
BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的 ，记作 ，即 =AB →+BC
→
= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .
（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA
→就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .
(3)加法运算律:a ＋b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义:(1)相反向量与a _______、______的向量，叫做a 的相反向量，
记作______．(2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向
量的____________．②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ ，DB →＝____________.
4．向量数乘运算及其几何意义:(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它
的长度与方向规定如下：①|λa |＝______；
②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______.
(2)运算律:设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝________.(结合律)
②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律)③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实
数λ，使b ＝λa .
5．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那
么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝
______________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量
的一组________．
6．向量数量积(1)定义：_____________________其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上
的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________；
②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________；③a·a ＝________________
或|a |＝________________；④cos 〈a ，b 〉＝________；⑤|a·b |____|a||b |.
(3)运算律:①交换律：a·b ＝________；②分配律：(a ＋b )·c ＝
________________；③数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________.
(4)．夹角:①已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫
做向量a 与b 的________．②向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向
时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.③如果向量a 与b 的夹角是________，我
们说a 与b 垂直，记作________．
7．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对
于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝xi ＋yj ，我们把有序数对______叫做
向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________
上的坐标．
8．平面向量的坐标运算:(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝__________，
a －
b ＝______________，λa ＝________________.
9．向量数量积的坐标运算:(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，
a 2)，
b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝______________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔__________；
(3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________，cos 〈a ，b 〉＝_________________.
(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB →＝________________，所以|AB →|＝_____________________.
二．典例精析
探究点一:平面向量的有关概念辨析
例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方
向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，
那么a ∥c .以上命题中正确的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线
的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．
探究点二 向量的线性运算
例2:已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12
(AB →＋DC →)．
变式迁移2:如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB
的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN
→
＋CN →.
探究点三：共线向量问题
例3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，
求证：A 、C 、D 三点共线；
变式迁移3:设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－ke 2，
且A 、C 、D 三点共线，求k 的值
探究点四：在向量平行下求参数问题
例4：已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m 、n ；
(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
变式迁移4：已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
探究点五：平面向量数量积
例5：已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；
（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．
变式迁移5：已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且ka ＋b 的长度是a －kb 的长度的3
倍(k >0)．
(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直；
(2)用k 表示a ·b 并求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.
三．方法规律总结
1.若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝1
2
(OA →＋OB →)．如图所示．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别
与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.（2）若平面上三
点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.
4.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的
坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，
即向量(x ，y )一一对应向量OA →一一对应点A (x ，y )．要把点的坐标与向量的坐标区分开，
相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的
坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．
5．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，
则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，
则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．
6．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是向量a 与b 的夹角.
向量表示 坐标表示
向量a 的模 |a |＝a·a ＝a 2 |a |＝x 21＋y 21
a 与
b 的数量积 a·b ＝|a||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2
a 与
b 共线的充要条件 A ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0
非零向量a ，b 垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝0 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0
向量a 与b 的夹角 cos θ＝a·b |a||b| cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 7.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2
＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数 ≠0，使等式AB →＝λCD
→成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.
四．课后作业练习
1．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ；②对于实数m 和
向量a ，b (m ∈R)，若ma ＝mb ，则a ＝b ；③若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ；④若a
＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )
A ．－14a ＋14b
B ．－12a ＋12b
C ．a ＋12b
D ．－34a ＋34
b 3．若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 4．设)sin ,2
3(α=→a ，，且a ∥b ，则锐角α为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
5.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12
x 的图象上，则实数λ等于 ( )
A.52
B.32 C ．－52 D ．－32
6.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）
A ．
322 B ．3152 C ．322- D ．3152- 7.已知,3=a ,4=b ,33)3()(=+⋅+b a b a 则a 与b 的夹角为 ( )
)(A 6π
3)(π
B )(
C 32π )(
D 6
5π
8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
9.设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25
，则sin α＝________. 10.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．
11.OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数k =____________
12.已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ,)2,(ππθ∈,且528||=
+b a , 求θsin 的值.
13.已知向量a =)2,1(，b =)2,3(- .⑴求||b a +与||b a -；⑵ 当k 为何值时，向量b a k +与b a 3+垂直？⑶ 当k 为何值时，向量b a k +与b a 3+平行？并确定此时它们是同向还是反向？
．
14．((1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，tb ，13
(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －tb |的值最小？。