第3讲 平面向量

第3讲 平面向量

一．基础知识回顾

1．向量的有关概念:(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．(2）表示方法：

用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________

或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)

单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝

____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫

____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)

相等向量：长度______且方向______的向量．

2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，

BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的 ，记作 ，即 =AB →+BC

→

= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .

（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA

→就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .

(3)加法运算律:a ＋b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)．

3．向量的减法及其几何意义:(1)相反向量与a _______、______的向量，叫做a 的相反向量，

记作______．(2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向

量的____________．②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ ，DB →＝____________.

4．向量数乘运算及其几何意义:(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它

的长度与方向规定如下：①|λa |＝______；

②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______.

(2)运算律:设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝________.(结合律)

②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律)③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)

(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实

数λ，使b ＝λa .

5．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那

么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝

______________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量

的一组________．

6．向量数量积(1)定义：_____________________其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上

的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________；

②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________；③a·a ＝________________

或|a |＝________________；④cos 〈a ，b 〉＝________；⑤|a·b |____|a||b |.

(3)运算律:①交换律：a·b ＝________；②分配律：(a ＋b )·c ＝

________________；③数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________.

(4)．夹角:①已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫

做向量a 与b 的________．②向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向

时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.③如果向量a 与b 的夹角是________，我

们说a 与b 垂直，记作________．

7．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对

于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝xi ＋yj ，我们把有序数对______叫做

向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________

上的坐标．

8．平面向量的坐标运算:(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝__________，

a －

b ＝______________，λa ＝________________.

9．向量数量积的坐标运算:(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，

a 2)，

b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝______________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔__________；

(3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________，cos 〈a ，b 〉＝_________________.

(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB →＝________________，所以|AB →|＝_____________________.

二．典例精析

探究点一:平面向量的有关概念辨析

例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方

向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，

那么a ∥c .以上命题中正确的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线

的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．

探究点二 向量的线性运算

例2:已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12

(AB →＋DC →)．

变式迁移2:如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB

的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN

→

＋CN →.

探究点三：共线向量问题

例3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，

求证：A 、C 、D 三点共线；

变式迁移3:设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－ke 2，

且A 、C 、D 三点共线，求k 的值

探究点四：在向量平行下求参数问题

例4：已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．

(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m 、n ；

(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .

变式迁移4：已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.

探究点五：平面向量数量积

例5：已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.

(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；