数学建模——网 络 优 化.
数学建模简介及数学建模常用方法
数学建模简介及数学建模常用方法数学建模，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述和解决实际问题的过程。
它就像是一座桥梁，将现实世界中的复杂问题与数学的抽象世界连接起来，让我们能够借助数学的强大工具找到解决问题的有效途径。
在我们的日常生活中，数学建模无处不在。
比如，当我们规划一次旅行，考虑路线、时间和费用的最优组合时；当企业要决定生产多少产品才能实现利润最大化时；当交通部门设计道路规划以减少拥堵时，这些背后都有着数学建模的身影。
那么，数学建模具体是怎么一回事呢？数学建模首先要对实际问题进行观察和分析，明确问题的关键所在，确定需要考虑的因素和变量。
然后，根据这些因素和变量，运用数学知识建立相应的数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个函数、一个图表，或者是一组数学关系。
接下来，通过对模型进行求解和分析，得到理论上的结果。
最后，将这些结果与实际情况进行对比和验证，如果结果不符合实际，就需要对模型进行修正和改进，直到得到满意的结果。
数学建模的过程并不是一帆风顺的，往往需要不断地尝试和调整。
但正是这种挑战，让数学建模充满了魅力和乐趣。
接下来，让我们了解一下数学建模中常用的一些方法。
第一种常用方法是线性规划。
线性规划是研究在一组线性约束条件下，如何使一个线性目标函数达到最优的数学方法。
比如说，一个工厂要生产两种产品，每种产品需要不同的资源和时间，而工厂的资源和时间是有限的，那么如何安排生产才能使利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决。
第二种方法是微分方程模型。
微分方程可以用来描述一些随时间变化的过程，比如人口的增长、传染病的传播、物体的运动等。
通过建立微分方程，并求解方程，我们可以预测未来的发展趋势，从而为决策提供依据。
第三种是概率统计方法。
在很多情况下，我们面临的问题具有不确定性，比如市场需求的波动、天气的变化等。
概率统计方法可以帮助我们处理这些不确定性，通过收集和分析数据，估计概率分布，进行假设检验等，为决策提供风险评估和可靠性分析。
数学建模-网 络 优 化
交通调度
公共交通线路规划
利用数学模型优化公共交通线路，提高线路覆盖率和服务 水平，减少乘客等待时间和出行成本。
01
出租车调度
通过数学模型实现出租车资源的合理调 度，提高车辆利用率和乘客满意度。
02
03
智能交通信号控制
利用数学模型和算法优化交通信号灯 的控制策略，缓解城市交通拥堵现象 。
电力分配
电网优化调度
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于解决具有线性约束和线性目标函数的 最大化或最小化问题。
线性规划的解法包括单纯形法、对偶理论和分解算法等，这些方法可以应 用于各种实际问题，如资源分配、生产计划和物流优化等。
线性规划的应用广泛，在金融、经济、工程和物流等领域都有重要的应用 价值。
非线性规划
01
06
CATALOGUE
网络优化实际应用
物流配送
物流配送路径规划
利用数学建模和优化算法，为物流配送车辆规划最佳 行驶路径，降低运输成本，提高运输效率。
配送中心选址
通过数学模型分析，确定最优的配送中心选址方案， 以降低运营成本、提高配送效率。
库存管理
通过数学模型预测需求，合理安排库存，避免缺货或 积压现象，提高库存周转率。
车辆路径问题(VRP)
总结词
车辆路径问题旨在为一系列客户分配一组车辆，使得每个客户的需求都能被满足，同时总成本最低。
详细描述
VRP问题需要考虑车辆的装载量限制、客户需求量、车辆行驶成本等因素，可以采用遗传算法、粒子 群优化算法等智能优化算法进行求解。
最小生成树问题(MST)
总结词
最小生成树问题旨在在给定的连通图中找到一棵包含所有顶点的树，使得所有边的权值 之和最小。
网络拓扑优化算法与策略
网络拓扑优化算法与策略简介：网络拓扑优化算法与策略是指利用数学建模和优化算法来设计和改善计算机网络的结构和性能，以提高网络的可靠性、可用性和性能。
随着互联网的不断发展，网络拓扑优化成为了提升网络效能的重要手段。
本文将介绍一些常见的网络拓扑优化算法和策略。
一、最小生成树算法最小生成树算法是一种常见的网络拓扑优化算法。
它通过在现有网络拓扑中选择一些特定的边来构建最优的网络连接结构。
其中，Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
1.1 Prim算法Prim算法以一个顶点开始，逐渐加入其他顶点，直到将所有顶点都加入到生成树中。
在每一步中，Prim算法选择一个与已有生成树相邻且权重最小的顶点，将该顶点加入生成树，直到生成树包含所有顶点。
Prim算法通过构建最优路径来实现网络拓扑优化。
1.2 Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
它按照边的权重递增的顺序遍历所有边，并将权重最小且不与已有边构成回路的边加入生成树。
Kruskal算法通过剔除不必要的边来优化网络拓扑。
二、负载均衡算法负载均衡算法是一种用于优化网络流量分配的算法。
它通过将流量均匀分布到不同节点上，提高网络性能和可靠性。
常见的负载均衡算法包括轮询算法、加权轮询算法和哈希算法。
2.1 轮询算法轮询算法是最简单的负载均衡算法之一。
它按照请求的顺序将流量分配给各个节点，依次循环。
轮询算法适用于节点性能相近的情况。
2.2 加权轮询算法加权轮询算法在轮询算法的基础上引入了权重概念。
不同节点可以设置不同的权重值，使得性能更好的节点获得更多的流量。
加权轮询算法适用于节点性能差异较大的情况。
2.3 哈希算法哈希算法基于请求的某个特征，如源IP地址或URL，将请求映射到固定的节点。
哈希算法可以确保同一个请求始终被发送到相同的节点，适用于需要保持会话一致性的场景。
三、虚拟化技术虚拟化技术是一种有效的网络拓扑优化策略。
它通过将物理资源划分为多个虚拟资源，灵活地配置和管理网络拓扑，提高资源利用率和性能。
数学建模问题类型
数学建模问题类型
数学建模问题可以根据问题的性质和要求进行分类。
主要的数学建模问题类型有以下几种：
1.优化问题：通过最大化或最小化目标函数的值来求解最优解，包括线性规划、整数规划、非线性规划等问题。
2.约束条件的问题：通过一系列条件对未知数进行约束，包括
线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等问题。
3.统计分析问题：通过数据分析和统计模型来研究和预测现象，包括回归分析、假设检验、时间序列分析等问题。
4.图论问题：通过图模型来描述和解决问题，包括最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等问题。
5.动态规划问题：通过将问题分解为多个子问题，并将解决子
问题的结果利用于求解整体问题，包括背包问题、最长公共子序列问题等问题。
6.随机过程问题：通过概率模型来描述和分析随机事件的发展
过程，包括马尔可夫链、排队论、蒙特卡罗方法等问题。
以上仅是数学建模问题的一部分类型，实际问题可能需要结合多种方法和技巧进行求解。
数学建模问题的关键在于将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解。
数学建模优化城市交通规划
数学建模优化城市交通规划城市交通规划是现代城市建设的重要组成部分，对于缓解交通拥堵、提高交通效率、优化城市环境起着至关重要的作用。
而数学建模作为一种科学方法，可以通过建立模型，进行优化计算，提供科学的决策依据，对城市交通规划起到指导作用。
本文将从城市交通规划的需求出发，介绍数学建模的原理、方法和在优化城市交通规划中的应用。
一、城市交通规划的需求城市化进程的加速使得城市交通问题日益突出，交通拥堵、交通事故频发、交通效率低下等问题成为困扰城市发展的痛点。
为了改善城市交通状况，提高居民出行的便利性和舒适度，需要制定合理的交通规划。
城市交通规划涉及到道路网络布局、交通设施配置、交通组织管理等多个方面，需要综合考虑各种因素，使得城市交通系统达到尽可能高的效率和可持续性。
二、数学建模在城市交通规划中的原理与方法数学建模是将实际问题抽象成数学模型，通过数学手段求解模型，得到问题的最优解或较好近似解的一种方法。
在城市交通规划中，数学建模主要包括以下原理与方法：1. 图论与网络分析：将城市交通网络抽象成图，利用图论分析网络的拓扑结构、路径选择和信息传输等问题，从而优化道路网络的布局和流量分配。
2. 优化理论与模型：通过建立数学模型，采用优化算法寻找最优解，如线性规划、整数规划、动态规划等，对城市交通规划进行综合优化。
3. 数据挖掘与智能算法：利用大数据分析方法和智能算法，挖掘城市交通数据中的隐藏规律，预测交通需求，提供决策依据。
4. 系统仿真与模拟：借助计算机技术，建立城市交通规划的仿真模型，通过对不同方案进行模拟实验，评估规划效果，提供科学决策参考。
三、数学建模优化城市交通规划的应用案例1. 道路网络设计优化：通过图论与网络分析方法，优化城市道路网络的布局和连接方式，使得整个网络的通行效率最大化，减少拥堵。
2. 交通流量分配优化：通过优化理论与模型，对城市交通网络中的交通流量进行合理分配，优化车道规划和信号灯配时，提高道路利用率。
供应链网络优化的数学模型分析
供应链网络优化的数学模型分析随着全球化的发展和市场竞争的加剧，供应链网络优化成为了企业提高效益和降低成本的重要手段。
供应链网络优化的目标是通过最优的资源配置和流程设计，实现供应链的高效运作和协同发展。
数学模型在供应链网络优化中起到了关键作用，能够帮助企业在复杂的供应链网络中做出合理的决策，提高供应链的效率和灵活性。
一、供应链网络的数学建模供应链网络是一个复杂的系统，涉及到多个环节和参与方。
为了对供应链网络进行优化，需要将其抽象为数学模型，并对模型进行分析和求解。
供应链网络的数学建模主要包括以下几个方面：1. 节点和边的建模：供应链网络可以看作是一个有向图，其中节点表示供应链的各个环节，边表示物流和信息流的流动。
通过对节点和边的建模，可以清晰地描述供应链网络的结构和关系。
2. 资源和需求的建模：供应链网络中的资源包括原材料、设备和人力资源等，需求包括市场需求和内部需求。
通过对资源和需求的建模，可以对供应链网络中的资源分配和需求满足进行量化和优化。
3. 运输和库存的建模：供应链网络中的运输和库存是影响供应链效率和成本的重要因素。
通过对运输和库存的建模，可以确定最优的运输路径和库存策略，实现供应链的快速响应和成本控制。
4. 成本和效益的建模：供应链网络优化的目标是降低成本和提高效益。
通过对成本和效益的建模，可以量化供应链网络的运作成本和效益，为决策提供依据。
二、供应链网络优化的数学方法供应链网络优化的数学方法主要包括线性规划、整数规划、动态规划和模拟等。
这些方法可以根据具体问题的特点选择合适的模型和算法，对供应链网络进行优化。
1. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，适用于供应链网络中的资源分配和生产计划等问题。
通过建立线性规划模型，可以确定最优的资源配置方案，实现供应链网络的高效运作。
2. 整数规划：整数规划是一种在线性规划基础上增加整数限制的优化方法，适用于供应链网络中的库存和运输等问题。
通过建立整数规划模型，可以确定最优的库存水平和运输路径，提高供应链网络的响应速度和成本效益。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
基于数学建模平台的《网络优化》课程的“三位一体”教学体系构建
教学内容和方法的改革。本文正是在此背景下， 探讨如何构
建融理论学 习、 问题 研究 和实践 训练于 一体 的《 网络优化》 课程 的“ 三位 一体 ” 全新教学体系。
一
基础 的“ 传递一接受 ” 课程讲授方 式 ， 先理论 后实践 ， 实践教
随 着科学技术的迅速发展 、 计算机的 日益普及 和数 学的
广泛且深入应用 ， 数学 科学 的地位发生 了巨大 的变 化 ， 正 从 国民经济和科技 的后 台走 到 了前 沿。为了适应这 种新 的需 求， 为了打破 以往 过分侧重理论知识的传授而忽视创造性 地 应用知识解决 实际 问题 能力 的现状 ， 美 国一些 有识 之士 于
二、 《 网络优化》 课程 的现存 问题
通过多次参加学术教育研 讨会 ， 充 分调研开 设《 网络优
建模竞赛” ， 将其定为仅有的少数几项大学生课外教学和竞 赛活动之一 ， 并得到 了各 级教学 行政领导 、 广大师生 和企业
界的热烈响应和支持。“ 全国大学生 数学建模竞赛 ” 由１ ９ ９ ２ 年创办之初 的 ７ ４所大学 、 ３ １ ４个参赛 队扩大到 ２ ０ １ ２年 的来
强的课程 ， 然而学校受限于资金 和场地等各 种原 因的限制 ，
无 法提供相应 的实 验和实践环境 。根 据高等专业 院校 的课
程体 系设 计要 求 ， 《 网络优化 》 课 程的讲 授理应 突 出实践 教
学， 但在实际教学过程 中， 重心往往落在理论知识 目标 上 ， 造
成课 程 目标 一定 的偏离 。 ２ ． 《 网络优化》 课程教学套 路老化。该课程大 多采用传
研究生数学建模优化问题
研究生数学建模优化问题
研究生数学建模优化问题可以涉及各种不同的学科和领域。
以下是一些常见的研究生数学建模优化问题的例子：
1. 生产优化问题：如何最大化生产效率，同时最小化生产成本和资源使用。
这包括生产线排程问题、物流和供应链管理等。
2. 资源分配问题：如何最优地分配有限的资源，以满足不同需求。
例如，如何在一所学校中分配教师、教室和学生资源，以实现最佳的学习效果。
3. 运输路径问题：如何找到最短路径或最优路径来满足特定的要求。
这包括最短路径问题、旅行商问题等。
4. 网络优化问题：如何设计最优的网络结构，以实现最大的性能和容量。
例如，如何在一个电信网络中设计最佳的数据传输路由。
5. 风险管理问题：如何评估和管理风险，以保护资产和最小化损失。
这包括投资组合优化、保险精算等问题。
6. 环境优化问题：如何最小化对环境的影响，同时最大化资源保护和可持续发展。
例如，如何设计最优的城市公共交通系统，以减少交通拥堵和空气污染。
以上只是一些研究生数学建模优化问题的例子，实际上，优化问题几乎可以应用于任何领域。
研究生在解决这些问题时，通常需要使用数学模型和优化算法，以寻找最优的解决方案。
数学建模道路优化问题
数学建模道路优化问题
道路优化问题是数学建模中的一个重要课题。
它旨在通过优化道路布局、交通流调度等手段，提高城市交通的效率，减少交通拥堵和能源消耗。
道路优化问题的目标是要找到一种合理的方式来布置道路，使得交通能够流畅无阻。
因此，数学建模中常用的方法包括网络流模型、最优化模型和图论等。
首先，通过网络流模型，我们可以将城市道路系统看作一个有向图，每条道路都代表图中的一条边，交叉口代表图中的一个节点。
我们可以通过设定不同的路径容量、流量限制和交叉口的通行能力等参数来模拟城市交通的流动情况。
其次，最优化模型可以帮助我们确定最佳的路线选择和交叉口配时方案。
通过考虑交通需求、时间成本和道路容量等因素，我们可以建立数学模型，以求解最优的路线规划和交通调度方法。
这些方法可以帮助我们在不同的交通时段和道路条件下，实现交通流量的最大化。
最后，图论是解决道路优化问题的另一个重要工具。
通过分析交通网络的拓扑结构，我们可以研究道路交叉口的最短路径、最小生成树和拓扑排序等问题，从而提高交通系统的整体效能。
总结起来，数学建模在道路优化问题中起着至关重要的作用。
通过建立合理的模型和算法，我们可以为城市交通规划和管理提供有效的决策支持，以优化道路布局、减少拥堵、提高交通效率。
未来，随着数学建模技术的不断发展，我们相信道路优化问题的研究将会取得更加令人满意的成果。
网络优化及实例
一、网络优化及实例
例：中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件. 如何设计一条最短 的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次， 最后返回邮局)？由于这一问题是我国学者管梅谷教授1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题.
大规模数据处理是近年竞赛题的 倾如:向
1. 04年A题:奥运会临时超市网点设计 2. 05年A题:长江水质的评价和预测 3. 05年B题:DVD的在线租赁
难 度逐年增大
计算机的应用能力是必要的内容
考虑用一个 图来代替县城结点， 将问题转化为一个TSP问题：
再将三点收缩成一点，就得到 一个三个巡视组的TSP巡视路线
接下来的工作是要均衡各个巡视小组 的工作时间（十分复杂的工作！）
05年杭州电子科技大学校内竞赛题B题 是一个网络优化问题
桥梁选址问题
设下图中每一个圆点代表一个区，连接各圆点的 直线代表公路，粗实线代表交通主干线，曲线代 表一条河流。随着城市经济发展,为了便利河两岸 的交通，决定在适当的位置造桥。假设河流北侧 A到D段有沿岸公路，河的南侧当前还没有修建沿 岸公路。试分别就以下问题讨论：
•单向？ •双向？
欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一个 图论上的问题：
七桥问题 的
因
答案 是 否定的
为 图
中
没
有
偶
度
顶
点
有些问题目前找不到现成的软件
也没有快速求解最优解的方法
例4 TSP（Travel Sales Man Problem）问题
到设城有市城j市的集费合用I 为 {1，c2，ij，，in,}
物流配送网络规划与优化的数学建模与求解研究
物流配送网络规划与优化的数学建模与求解研究摘要：在现代物流配送系统中，优化配送网络规划是一个复杂而重要的问题。
本文将探讨物流配送网络规划的数学建模方法和求解技术，以提高配送效率、降低成本，并确保货物及时到达目的地。
具体而言，我们将介绍基于线性规划、整数规划和启发式算法的数学模型，并介绍如何使用数学工具进行求解。
最后，我们讨论了进一步研究的方向。
1. 引言物流配送是现代供应链管理中最重要的环节之一。
它涉及从供应商到生产商，再到分销商和最终用户之间的物流流程。
在大规模配送网络中，如何合理规划并优化配送路线变得尤为重要。
这不仅能降低运输成本，还可以提高配送效率，保证货物按时送达。
因此，通过数学建模和求解技术来解决物流配送网络规划问题变得至关重要。
2. 数学建模在物流配送网络规划中，数学建模是解决问题的关键步骤。
我们可以通过线性规划、整数规划等数学方法来建立模型，以确定最优配送路线。
2.1 线性规划模型线性规划模型是一种常用的优化模型，很适用于物流配送网络规划问题。
它将问题表示为一系列线性方程和不等式，并通过最小化或最大化目标函数来优化决策变量。
在物流配送网络规划中，我们可以将物流网络表示为一个有向图，其中节点表示供应商、生产商、分销商和用户，边表示配送路径。
通过分析供需关系、物流成本、时间窗口等因素，我们可以建立目标函数和约束条件，以确定最佳配送方案。
2.2 整数规划模型物流配送网络问题通常包含一些决策变量，如供应商的选择、运输路径的确定等。
整数规划模型可用于处理这类问题。
整数规划模型是线性规划模型的扩展，它要求决策变量取整数值。
通过引入整数变量，我们可以更好地控制决策变量的取值范围，限制供应商的选择、配送路径的确定等。
3. 求解技术在建立物流配送网络规划模型后，我们需要选择适当的求解技术来找到最佳解。
以下是一些常用的求解技术。
3.1 线性规划求解算法线性规划模型具有数学优化的特性，因此可以使用数值方法求解。
数学建模旅游线路的优化设计
数学建模旅游线路的优化设计
数学建模可以用来优化旅游线路的设计，使得旅游流程更加顺畅、经济实惠和有趣。
首先，可以利用网络优化算法来计算出最优的旅游线路，以最小化旅游所需时间和费用。
这里的网络可以是城市之间的交通网络，也可以是景点之间的连接网络。
可以利用最短路径算法、最小生成树算法、最大流算法等来求解最优线路。
其次，可以利用约束条件来限制旅游线路的选择。
例如，景点的开放时间、车辆的最大承载量、旅游成本等等都可以作为约束条件。
可以将这些条件转化为数学模型，并通过线性规划、整数规划等方法求解最优策略。
最后，可以利用统计学和机器学习方法来分析旅游者的偏好和行为，优化旅游线路的设计。
例如，可以分析旅游者历史访问记录，利用聚类分析方法找出旅游者的偏好和习惯，并针对不同类型的旅游者设计不同的旅游线路。
综上所述，数学建模可以帮助设计出高效、舒适、合理的旅游线路，提高旅游体验和满意度。
供应链网络设计与优化
供应链网络设计与优化一、引言供应链网络设计与优化是一个关键的管理领域，它涉及到从供应商到最终消费者的物流流程、仓储管理、订单处理等环节。
一个高效、灵活的供应链网络设计能够帮助企业降低成本、提高交付准确性，并增强竞争力。
本文将探讨供应链网络设计的基本原则、优化方法以及其在现代企业中的重要意义。
二、供应链网络设计的基本原则1. 确定业务需求：首先，企业应该清楚自己的业务需求，包括产品种类、市场分布、订单类型等信息。
这些信息将有助于确定合适的供应链网络结构。
2. 优化运输模式：在设计供应链网络时，应综合考虑运输成本、交货时间和可靠性等因素，选择合适的运输模式。
例如，对于远距离的国际运输，海运可能更具优势；而对于紧急订单，航空运输可以提供更快的交货速度。
3. 优化仓库布局：根据业务需求和产品特性，合理设计仓库布局可以提高物流效率。
例如，将高销售量的产品放置在靠近出口的地方，以减少拣货时间。
4. 制定合理的库存策略：库存是供应链网络设计中的一个重要环节，合理的库存策略可以平衡库存成本和订单交付准确性。
通过运用预测模型和库存优化算法, 可以帮助企业准确预测需求并避免库存积压或断货的问题。
5. 持续改进与技术应用：供应链网络设计是一个动态的过程，企业应该持续改进现有的网络结构并运用新技术。
例如，利用物联网技术和大数据分析可以实现对供应链网络的实时监控和优化。
三、供应链网络优化方法1. 数学建模：数学建模是优化供应链网络的一种常用方法。
通过建立数学模型，可以对供应链网络中的各种约束和目标进行优化。
如线性规划、整数规划等方法可以帮助企业确定最优的物流路径、库存水平等决策变量。
2. 模拟仿真：模拟仿真是一种以计算机模型为基础的分析方法，可以模拟供应链网络的运作过程。
通过对不同策略和参数的仿真实验，可以评估供应链网络的性能，并找到改进点。
3. 风险管理：供应链网络优化不仅涉及到成本和效率的优化，还需要考虑风险管理。
识别和评估供应链网络中的风险因素，并建立相应的预警机制和风险应对策略是关键。
数学建模c题常用模型
数学建模c题常用模型第一种常用模型是线性规划模型。
线性规划模型是一种优化模型，可以用于解决最大化或最小化的问题。
该模型的目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法求解。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、运输问题等领域。
例如，在生产调度中，可以利用线性规划模型确定最优的生产计划，以最大化产量或最小化成本。
第二种常用模型是整数规划模型。
整数规划模型是在线性规划模型的基础上加上了整数变量的限制条件，即决策变量必须取整数值。
整数规划模型适用于需要做出离散决策的问题，如旅行商问题、装箱问题等。
例如，在旅行商问题中，整数规划模型可以用于确定旅行商的最短路径，以便在有限的时间内访问所有城市。
第三种常用模型是动态规划模型。
动态规划模型适用于具有重叠子问题和最优子结构特征的问题。
通过将问题分解为多个子问题，并保存子问题的解，可以避免重复计算，提高求解效率。
动态规划模型广泛应用于路径规划、资源分配、序列比对等问题。
例如，在路径规划中，可以利用动态规划模型确定最短路径或最优路径。
第四种常用模型是随机模型。
随机模型是一种考虑不确定性因素的模型，可以用于分析风险和制定决策策略。
随机模型通常使用概率分布描述不确定性，并通过概率方法进行求解。
随机模型广泛应用于金融风险管理、供应链管理、环境管理等领域。
例如，在金融风险管理中，可以利用随机模型对投资组合的风险进行评估和优化。
第五种常用模型是图论模型。
图论模型是一种用图来表示和解决问题的模型。
通过将问题抽象为图的结构和关系，可以利用图论算法求解最优解或最优路径。
图论模型广泛应用于网络优化、社交网络分析、物流路径规划等领域。
例如，在网络优化中，可以利用图论模型确定最短路径、最小生成树等问题。
以上是数学建模中常用的几种模型，每种模型都有其独特的应用场景和解决问题的方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的模型，并利用数学建模的方法进行求解。
数学建模模型的使用不仅能够提高问题的求解效率和准确性，还可以帮助分析问题的本质和规律，为决策提供科学依据。
数学建模中的NPC问题1
•如果有向图中从任意一个顶点出发，都存在至少一条有 向路到达任意另一个顶点，则称该图为强连通的 (Strongly Connected). 同样可以类似地定义强连通分支 . • 若 S , T V ; S , T ; S T V ; S T ，则称两个端点分 别位于S，T的弧为一个割（cut），记为 [S，T]= {(i, j ) A | i S , j T } {( j, i) A | i S , j T }
例1.4 指派问题(Assignment Problem) 一家公司经理准备安排N名员工去完成N项任务，每人一项. 由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时 所获得的回报是不同的. 如何分配工作方案可以使总回 报最 大？
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1.1网络优化问题的例子
例1.5 中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件. 如何为他(她)设计 一条最短的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道 至少一次，最后返回邮局)？由于这一问题是我国管梅谷教 授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题. 例1.6 旅行商问题/货郎（担）问题 (TSP-Traveling Salesman Problem)
1.2 图与网络 – 定义
•定义1.1 一个有向图(Directed Graph 或 Digraph) G是由一个 非空有限集合V(G)和V(G)中某些元素的有序对集合A(G)构成 的二元组，记为有向图G=(V(G)，A(G)). 其中V(G) 称为图G 的顶点集(Vertex Set)或节点集(Node Set)，V(G)中的每一个 元素称为该图的一个顶点(Vertex)或节点(Node)； A(G)称为 图G的弧集(Arc Set)，A(G)中的每一个元素(即V(G)中某两个 元素的有序对) 称为该图的一条从到的弧 (Arc). 在不引起混 淆的情况下，记号V(G)和A(G)中也可以省略G，即分别记顶 点集、弧集为V和A，而记有向图G=（V，A）.
全国数学建模大赛题目
全国数学建模大赛题目
题目一：城市交通优化方案
某城市的交通状况日益拥堵，为了解决交通问题，需要制定一个交通优化方案。
假设该城市的道路网络呈现网状结构，拥有多个交叉口和道路，每个交叉口都有多个入口和出口道路。
现在需要你们设计一个算法，以找到最优的交通优化方案，使得城市的车辆数最小化，同时满足交通流量平衡和道路容量约束。
题目二：无人机配送路径规划
某公司使用无人机进行货物配送，无人机需要从指定的起点出发，依次经过多个目标点进行货物的投放，最后返回起点。
每个目标点有不同的货物量和不同的时间窗限制。
现在需要你们设计一个路径规划算法，以最小化无人机在配送过程中的总飞行距离，同时满足货物量和时间窗的要求。
题目三：自然灾害预测与应急响应
某地区常常受到洪水的威胁，为了及时应对洪水灾害，需要建立一个洪水预测和应急响应系统。
现有该地区多个监测站点，能够实时测量水位、降雨量等数据，并预测洪水的发生时间和范围。
现在需要你们设计一个预测模型，以准确预测洪水的发生时间和范围，并制定相应的应急响应措施，以最大程度地减少洪灾对人民生命和财产的威胁。
题目四：物流中心选址与配送路径规划
某公司计划在某区域新建一个物流中心，以提高货物配送的效率。
现在需要你们选取一个最佳的物流中心位置，并设计一个配送路径规划算法，以最小化货物配送的总距离和成本。
同时，
由于该区域存在不同的道路类型和限制条件，需要考虑不同道路类型的通行能力和限制，以确保货物配送的顺利进行。
数学建模案例分析第八章离散模型
数学建模案例分析第八章离散模型第八章"离散模型"主要介绍了离散数学在数学建模中的应用。
离散数学是指研究离散对象和离散结构的数学学科，与连续数学相对应。
在数学建模中，离散模型常用于描述离散化的问题，如网络优化、排队论、图论等。
本章讨论了三个离散模型的案例分析。
第一个案例是关于动态规划的问题。
动态规划是一种解决优化问题的动态模型，通过将问题划分为多个阶段，每个阶段可存在多个状态，根据转移方程进行状态转移和决策，最终得到最优解。
本案例中，讨论了一个旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），即如何找到一条路径，使得旅行商能够访问给定的一组城市且总路径最短。
通过动态规划的方法，可以列出状态转移方程，并利用递推关系计算最优解。
第二个案例是关于网络优化的问题。
网络优化是指在给定的网络结构上，通过合理的设计和调整网络的参数、算法等，以提高网络的性能和效率。
本案例中，以网络中的流最大问题（Maximum Flow Problem）为例，介绍了如何通过建立网络模型、定义网络容量等参数，以及应用最小割定理和残余网络的概念来解决流最大问题。
第三个案例是关于排队论的问题。
排队论是研究排队系统中等待时间、服务时间等性能指标的数学理论。
本案例中，以排队模型中的M/M/1排队系统为例，介绍了如何通过排队模型来估计顾客等待时间、系统繁忙程度等指标，并通过参数调整和优化来改善排队系统的性能。
以上三个案例分析都是基于离散模型的，通过合理的数学建模和求解方法，解决了实际问题中的离散化问题。
通过学习这些案例，我们可以更好地理解离散模型的应用和原理，并将其运用到实际问题中，提高问题求解的效率和准确性。
总结起来，离散模型在数学建模中扮演着重要的角色。
通过离散化的方式，将实际问题抽象成离散对象和结构，可以更好地进行问题求解和优化。
离散模型的应用领域广泛，涉及到网络优化、排队论、图论等多个领域，因此在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的离散模型，并运用适当的数学建模和求解方法来解决问题。
亚太杯数学建模竞赛题型
亚太杯数学建模竞赛题型数学建模竞赛作为一项重要的国际性赛事，旨在培养学生运用数学方法解决实际问题的能力。
亚太杯数学建模竞赛作为其中的一项，涉及多种题型，本文将对这几种题型进行解析。
一、优化问题优化问题是数学建模竞赛中最常见的题型之一。
这类问题通常涉及到如何在满足一系列约束条件下，优化一个或多个目标函数。
例如，在物流优化问题中，需要在确保货物按时送达的前提下，最小化运输成本；在生产优化问题中，需要在确保产品合格的前提下，最大化生产效率。
解决这类问题需要学生掌握运筹学、线性代数等知识，通过建立数学模型，找到最优解。
二、数据分析问题随着大数据时代的到来，数据分析问题在数学建模竞赛中的地位逐渐提升。
这类问题通常涉及到对大量数据的处理、分析和挖掘，从中提取有用的信息。
例如，在市场分析问题中，需要对消费者的购买行为进行分析，预测市场趋势；在医学研究中，需要对病人的生理数据进行分析，以评估治疗效果。
解决这类问题需要学生掌握统计学、机器学习等知识，通过数据挖掘和可视化技术，揭示数据背后的规律。
三、预测问题预测问题也是数学建模竞赛中常见的一类题型。
这类问题通常涉及到根据历史数据和已知信息，预测未来的趋势或结果。
例如，在股票预测问题中，需要根据历史股票价格数据，预测未来股票价格的走势；在气候变化预测中，需要根据历史气候数据和气象因素，预测未来的气候变化趋势。
解决这类问题需要学生掌握时间序列分析、回归分析等知识，通过建立预测模型，为决策提供依据。
四、决策问题决策问题是数学建模竞赛中比较特殊的一类题型。
这类问题通常涉及到在不确定情况下，选择最优的决策方案。
例如，在投资决策问题中，需要在市场不确定性较大的情况下，选择最优的投资策略；在路径规划问题中，需要在已知地图和交通信息的情况下，选择最优的行驶路径。
解决这类问题需要学生掌握概率论、随机过程等知识，通过建立决策模型，评估不同方案的风险和收益。
五、网络优化问题网络优化问题是数学建模竞赛中新兴的一类题型。
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a4 (v3 , v4 )
a5 (v4 , v1 )
2
1
2
a6 (v3 , v3 )
3
2
3
7
网络优化问题的例子
例： 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路 把这些城市连接起来， 使得从其中任何一个城市 都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市. 假 定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成 本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？
S
T
特殊的最小费 用流问题
（二部图,
|S|=M, |T|=N）
14
网络优化问题的例子
例： 指派问题(Assignment Problem) 一家公司经理准备安排N名员工去完成N项任务，每人一项. 由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时 所获得的回报是不同的. 如何分配工作方案可以使总回报最 大？
22
匹配算法
二部基数匹配
增广路算法：O(mn) 简单网络上的最大流算法：O(mn1/2)
一般基数匹配
“花”算法: O(n3)
二部赋权匹配（指派问题）
最小费用流算法（如匈牙利算法）: O(n3)
一般赋权匹配
原始-对偶算法: O(n3)
23
网络优化的评注
• 许多实际问题可以直接用网络优化建模
•单向？ •双向？ •风向？
28
网络优化问题的例子
例：旅行商问题(TSP-Traveling Salesman Problem) 一名推销员准备前往若干城市推销产品. 如何为他(她)设计 一条最短的旅行路线(从驻地出发，经过每个城市恰好一次， 最后返回驻地)？这一问题的研究历史十分悠久，通常称之 为旅行商问题.
预流推进算法
最高标号预流推进算法： O(n2m1/2)
实际计算 效率高
21
最小费用流算法
消圈算法 最小费用路算法 原始-对偶算法
Ford和Forkerson(1957,1962)
瑕疵算法(Out-Of-Kilter Algorithm) 松弛(Relaxation)算法 实际计算效率高 网络单纯形算法
Bellman - Ford算法 (1956)： O(mn)
一般网络，所有点对
Floyd-Warshall算法(1962)： O(n3)
负圈检测
20
最大流算法
增广路算法
Ford-Fulkerson标号算法 (1956) 最大容量增广路算法 容量变尺度算法 最短增广路算法： O(n2m)
凸 规 划
狭义模型
广义模型
16
网络优化问题的例子
例：匹配问题(Matching Problem)
在一次有m个大学毕业生和n家公司参加的供需见面会上， 每个毕业生愿意加入到若干家公司中的一家工作，而每个 公司愿意接收若干毕业生中的一人到公司工作. 那么，最后 最多有多少人可以在这次供需见面会上找到工作（即最多 有多少家公司可以在这次供需见面会上招聘到员工）？如 果每个毕业生到每一家公司工作将会产生的效益不同，那 么，为了使得最后产生的总效益最大，最多有多少人可以 在这次供需见面会上找到工作？
网 络 优 化 模型与算法
Network Optimization: Models & Algorithms
2004年7月~8月 ---- 江西 庐山 清华大学数学科学系 谢金星
Email:jxie@ /~jxie
5
B
6 4
D
6 F (结束)
(开始) A
7
4
C
5 3 E
1
项目网络不含圈（其最长路问题和最短路问题都是可解的） 12
例：最大流 / 最小费用流
从甲地到乙地的公路网纵横交错，每天每条路上的通 车量有上限. 从甲地到乙地的每天最多能通车多少辆? B 6 4 D 6
5 (甲) A 7
4
C
F
5 3 E 1
《网络优化》或《网络流》（Network Flows) 或《网络规划》（Network Programming)
6
图与网络 – 基本概念
a5
a2
v1
a1
a3
v2
a4
v3 a6
v4
v5
图G=(V，A)，其中顶点集V= {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } 弧集A= {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } 弧 a1 (v1 , v 2 ) a ( v , v ) a (v , v )
D C
A B H I
F E
G
29
• 铁路/公路混合运输最短路问题
铁路/公路混合运输网络 最短路 ==〉铁路/公路混合运输最小运费矩阵
27
网络优化问题的其他例子
例：中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 一名邮递员负责投递某个街区的邮件 . 如何设计一条最短 的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次， 最后返回邮局)？由于这一问题是我国学者管梅谷教授1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题.
• 许多实际问题可能用到网络优化建模
• 许多实际问题是网络优化的变种 • 网络优化问题通常可以用整数规划建模
24
西气东送（钢管运输）问题 （CUMCM-2000B)
290
30
S7 20
S3
S2 690 1200 720 202 1100 20 12 195 3060 1150 600 5 10 10 31 201 A8 680 S1 42
S4
690
170 520 88
160 70
320
160 70 30 S6 62 110 420 A13 210 A12 A14 20
A15
500
462 70 10
S5 220 A11
10
480
A9
A10
300
450
194
A6 606 A5
80
205
A7
铁路运价表
≤300 20 301～ 351～ 401～ 350 400 450 23 26 29 451～ 500 32 … …
1
Outline
• What is Network Optimization? • Typical Models & Algorithms
– – – – – – – Minimum Spanning Tree (最小(生成)树) Minimum Arborescence (最小树形图) Shortest Path (最短路) Maximum Flow (最大流) Minimum Cost Flow (最小费用流) Matching (匹配) ……
两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法
26
铁路／公路混合运输最短路问题
最小运费矩阵算法（四川大学/清华大学等队） Dijkstra算法 或 Floyd-Warshall算法 • 铁路最短路问题
最短路 ==〉铁路最小运费矩阵
• 公路最短路问题
最短路 ==〉公路最小运费矩阵
25
2
3 104 A1 A2 301
750 A3
A4
里程 运价
西气东送（钢管运输）问题 （CUMCM-2000B)
• 二次规划（常用解法） • 最小费用流问题？ （清华大学队，获网易杯）
线性模型（网络规模较大，有现成算法） 非线性模型（网络规模较小，需要自己设计算法）
• 基本问题 ---- 最小运费矩阵的计算
( 乙)
考虑每条路上的通行成本,如何确定某个车队的具体行 车路线,使总成本最小?
13
网络优化问题的例子
例： 运输问题(Transportation Problem) 某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从产地运往N个 使用这些原材料的工厂 . 假定M个产地的产量和N家工厂的 需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的的运费已 知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？
信息传播途径（忽略方向时）是一棵树。 以上结构称为树形图，上面这样一类问题称为最小树形图问题.
10
网络优化问题的例子
例 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地. 从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速 度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到 乙地的最短路.
R1
C13 C12
R3
R2
C24
最 小 树
R4
9
最小树形图 – 例
例： 信息传播
“直接方式”：总经理直接传达；
“接力方式”：总经理只给某些部门经理打电话，而让这 些得到信息的部门经理打电话将信息进一步传达给其他某些 部门经理，依此类推，最后将信息传达到所有部门经理. 如何决定传达信息的途径？
信息传播是有向的，有一个“根”。
1
3 4 8 1 7 6 3 2 5 5
2
4
最小(生成)树
也称为
最小(支撑)树
8
网络优化问题的例子
例： 二维矩阵数据存贮问题 某些蛋白质的氨基酸序列差异不多，如果用二维矩阵 的每一行记录一种蛋白质氨基酸序列，行与行之间的 差异很小 . 其中一种方法是只存贮其中一行作为参照 行，再存贮行与行之间的一部分差异信息，使得我们 可以在需要时根据参照行生成所有其它行的元素.
• Some Modeling Examples
2
网 络 优 化 简 介