高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版
2018届高考数学理北师大版一轮课件：8-7空间几何中的
-7知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
5.常用结论 (1)直线的方向向量的确定:若 l 是空间的一条直线,A,B 是 l 上任 意两点,则������������及与������������平行的非零向量均为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n ������· ������ = 0, 为平面 α 的一个法向量,则可用方程组 求出平面 α 的一个 ������· ������ = 0 法向量 n.
������������1 · ������������C. 4-1 1 √5 1 A. B. D. ∴ cos < ������������ , ������������ >= = = = >0. 1 5 31 5 5 |������������1 ||������������1 |
√5× √9 √5
(2)直线与平面的夹角:设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分 别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 满足 sin θ=|cos<m,n>|=|������|· . |������| (3)平面间的夹角:已知平面 π1 与 π2 的法向量分别为 n1,n2 .当 π 0≤<n1,n2>≤ 时,平面 π1 与 π2 的夹角等于 <n1,n2> ;当
-4知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.空间向量与空间角的关系 (1)直线间的夹角:设共面(或异面)直线l1,l2的方向向量分别为 m1,m2,
则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ=
|������1 · ������2 | |cos<m1,m2>|= . |������1 |· |������2 |
2021高考数学复习第8章立体几何第5节空间向量的运算及应用课件理北师大版
36
[教师备选例题] 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和 对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD， CD 的中点，计算： (1)E→F·B→A；
(或平行向量) _平__行__或__重__合___的向量
6
2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充 要条件是存在实数 λ，使得_a_＝__λ_b__. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向 量 a，b 共面的充要条件是存在_唯__一__的有序实数对(x，y)，使 p＝ _x_a_＋__y_b_. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对 空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_x_a_＋__y_b_＋__z_c_， 其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α
n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔_n_1_·_n_2_＝__0_
n⊥m⇔_n_·_m__＝__0
n∥m⇔n＝λm
平面 α，β 的法向量分别为 n， α∥β
m
α⊥β
n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔_n_·_m_＝__0_
11
[常用结论] 1．对空间任一点 O，若O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)，则 P，A，B 三点共线． 2．对空间任一点 O，若O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)，则 P，A，B，C 四点共面． 3．平面的法向量的确定：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n
[解] (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋21D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)因为 N 是 BC 的中点， 所以A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋21c.
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算课件理北师大版
(2016·青 岛 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 在 空 间 几 何 体 ABCD － A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设A→A1＝a，A→B＝b， A→D＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用
a，b，c表示以下各向量： (1)A→P； 解答
因为P是C1D1的中点，
所以A→P＝-A--A-→1 ＋-A-1-D-→1＋D→1P
3.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是
__3_1_02_，__2_5__2_，__－__2_2_和___－__31_0_2_，__－__2_5_2_，___2_2_ __. 答案
解析
因为与向量a共线的单位向量是±
a |a|
，又因为向量(－3，－4,5)的模
为 －32＋－42＋52＝，5所2以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量
连接BG， 则E→G＝E→B＋B→G ＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H
＝E→F＋E→H，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.
(2)求证：BD∥平面EFGH； 证明
因为E→H＝A→H－A→E
＝12A→D－12A→B ＝12(A→D－A→B)＝12B→D， 所以EH∥BD. 又EH 平面EFGH，BD 所以BD∥平面EFGH.
2
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，叫b作〉向量a，b的数量积，记
作 ，即a·ab·b＝
. |a||b|cos〈a，b〉
(2)空间向量数量积的运算律 ① λ(a·b＝) (λa)·b(λ∈R)； ②交换律：a·b＝ ；b·a ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
思维升华
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版)：空间向量及其运算和空间位置关系
课前双基巩固
3.[教材改编] 如图 7-45-1 所示,在平行六面体
ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若
������������=a,������������=b,������������1=c,则������������可用 a,b,c 表示
为
.
图 7-45-1
������
12+������
22+������
2 3
������12+������22+������32
课前双基巩固 对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知向量 a=(2,-3,5),b= 3,������, 15 ,且
2
a∥b,则 λ 等于
.
[答案]
-
9 2
[解析] a∥
b⇒a=kb⇒
2 = 3������,
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若
a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于
.
[答案]
65 7
[解析] 由 a,b,c 三向量共面,可设
a=xb+yc,
故(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ),
-������ + 7������ = 2,
课前双基巩固 知识聚焦
1.空间向量及其有关概念
名称
语言描述
共线向量 (平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合
共面向量
平行于 同一平面 的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在 λ∈R,使 a=λb
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第6讲空间向量及其运算
第6讲 空间向量及其运算
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得__a_＝ ___λb___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p_＝__x_a_＋__y_b_____． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc___．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
对空间任一点 O，＝O→A＋tA→B
对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋(1 －x)O→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋(1－x－y)O→B
1．已知 a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则__∠__A_O_B___叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉__．通常规定_0_____≤〈a，b〉
π ≤___π____．若〈a，b〉＝____2_____，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.
2．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第8章 立体几何 第6节 空间向量及其运算
-1
,则 2
∴m=0,n=0,∴m+n=0.
=
1
-2
=
-2-3
,
6
(2)解:①由已知 + + =3,
所以 − =( − )+( − ),即 = + =- − ,
所以, , 共面.
②由①知, , 共面且过同一点 M.
④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ),则 P,M,A,B 四点共面.
增素能 精准突破
考点一
空间向量的线性运算
典例突破
例1.(1)(2021江西师大附中模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M
为 A1C1 与 B1D1 的交点.若=a,=b,1 =c,则下列向量中与相等的向
1
2
(2)∵向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),且a⊥b,∴a·
b=0,
∴2×2-3m+2=0,解得m=2,
∴b=(2,-2,-1),
∴|b|= 22 + (-2)2 + (-1)2 =3.
(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =
(a≠0,b≠0).
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
|AB|=| |= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
,
微思考空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗?
提示:无关.这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固
量是(
)
1
1
A.-2a+2b+c
1 1
C.-2a-2b+c
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
高考数学一轮复习第八篇立体几何第6讲空间向量及其运算课件理
第6讲 空间向量及其运算
【2013年高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】 空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证， 重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的 应用．
面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对 空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p＝xa＋yb＋zc .
一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．
基础梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向 量． (2)相等向量：方向 相同 且模相等 的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互 相 平行或重合 的向量． (4)共面向量：平行于 同一个平面 的向量．
2．空间向量的线性运算及运算律
→ AD
、
→ AA1
两两的夹角均为60°，且|
→ AB
|＝1，|
→ AD
|＝2，|
→ AA1
|＝
3，则|A→C1|等于( )．
A．5 B．6 C．4 D．8
解析 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则A→C1＝a＋b＋c， A→C12＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，
因此|A→C1|＝5. 答案 A
5．在四面体O-ABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D为BC的中 点，E为AD的中点，则O→E＝________(用a，b，c表示)． 解析 如图，O→E＝12O→A＋12O→D＝12O→A＋14O→B＋14O→C＝12a＋14b＋ 1 4c. 答案 12a＋14b＋14c
高三数学一轮复习 空间向量及其运算课件 北师大版
＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68.∴|
答案：2
cm
变式1.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 两两的夹角均为60°，且| |＝1，
则
A．5 解析：
等于(
B．6
)
C．4 ，∴ 12＋22＋32＋1×2＋2×3＋3×1＝25. D．8
则 答案：A
＝5.
利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题．
7.6
空间向量及其运算
(了解空间向量的概念/掌握空间向量的线性运算/掌握空间向量 的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直)
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． (1)向量一般用有向线段表示．同向等长的有向线段表示 同一或相等 的向量．
(2)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
N分
∴
与b、c向量共面，即MN∥平面PAD.
利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题．
【例3】 如右图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．
解答：(1)证明： ∴ (2)证明：设
【例2】 如右图，已知平行六面体ABCD－
A′B′C′D′，E、F、G、H
分别是棱A′D′、D′C′、C′C
和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．
证明:取
则
与b、c共面.即E、F、G、H四点共面.
变式2.如右图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、 别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 证明:设 ,则
【走向高考】高三数学一轮复习 8-7空间向量及其运算课件 (理) 北师大版
2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6 1→ 2→ → → → 方法三：MN＝PN－PM＝ PD－ PC 2 3 1→ → 2→ → ＝ (PA＋AD)－ (PA＋AC) 2 3 1→ 1 → 2 → → → ＝－ AP＋ AD－ (－AP＋AB＋AD) 2 2 3 2→ 1 → 1→ ＝－ AB－ AD＋ AP， 3 6 6 2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6
2 1 2 2 1 2 [答案] (－ ，－ ， )或( ， ，－ ) 3 3 3 3 3 3 → ＝(－4，－2,4)，|AB → |＝6. [解析] AB
→ AB 2 → ∴与 AB 共线且同向时，单位向量e＝ ＝(－ ，－ 3 → |AB| → 1 2 AB 2 1 → ， )，与AB共线且反向时，单位向量e＝－ ＝( ， ， 3 3 → |AB| 3 3 2 － )． 3
2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题．
4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、
点共面、线共面问题．
知识梳理 1．空间向量的概念及运算
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运
算遵循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量 积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算 相同 ；坐标
3．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)， C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( A．5 B. 41 C．4 )
D．2 5
[答案] A
[解析]
[答案] D
[解析]
[答案] a＋b＋c
[解析]
→ 共线 6．已知A(2,3，－1)，B(－2,1,3)，则与向量 AB 的单位向量是____________．
通用版2022届高考数学一轮总复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量课件
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论中正确的是( ) A.空间中任意两个非零向量 a，b 共面 B.对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c C.若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A ＝0 D.若 a·b<0，则 a，b 是钝角 答案：AC
题组二 走进教材
A.－2
解析：由球 O 的半径为 2，A，B 是球面上的两点， 且 AB＝2 3，可得∠AOB＝23π， O→A·O→B＝2×2×－12＝－2，|O→A＋O→B|＝2， P→A·P→B＝(O→A－O→P)·(O→B－O→P)＝O→A·O→B－(O→A＋O→B)·O→P＋ O→P2＝－2－|O→A＋O→B|·|O→P|cos θ＋4＝2－4cos θ∈[－2,6]，故选
图 8-6-5 当A→1C＝2A→1P时，A→1P＝－12， 23，－12， D→P＝D→A1＋A→1P＝12， 23，12，而D→B1＝(1， 3，1)，
∴D→P＝12D→B1， ∴B1，P，D 三点共线，A 正确； 令A→P＝A→A1＋A→1P＝A→A1＋λA→1C＝(－λ， 3λ，1－λ). 当A→P⊥A→1C时，A→P·A→1C＝5λ－1＝0，∴λ＝15， ∴A→P·D→1P＝－15， 53，45·45， 53，－15＝－15≠0， ∴A→P与D→1P不垂直，B 错误；
∴AB1 与 BC1 所成的角是∠MNP 或其补角.
∵AB＝2，BC＝CC1＝1，
∴MN＝12AB1＝
25，NP＝12BC1＝
2 2.
取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，则可知△PQM 为直角三
角形，且 PQ＝1，MQ＝12AC，
在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋