电路及磁路第04章

解：
两线圈的电阻为：
R1
R2
219 2.7 2
30
第四章 耦合电感和谐振电路
顺向串联时：
L1
L2
2M
1 314
220 2
302
0.241H
2.7
反向串联时：
L1
L2
2M
1 314
220 2
302
0.03H
7
所以：பைடு நூலகம்
M 0.241 0.03 0.053H 4
——测定互感的实验方法
即总磁链由自感磁链和互感磁链两部分构成，其 中互感磁链有时为正，有时为负，同过同名端来表示 互感磁链的正负。
同名端： 当电流 i1 和 i2 在耦合线圈中产生的磁场方向相同时，
电流 i1 和 i2 流入（或流出）的两个端钮称为同名端，用 一对符号“﹡”，“˙”，“△”表示。
◆ 结论 如果两个线圈的电流都由同名端流入， 互感磁链与自感磁链方向相同； 如果两个线圈的电流由异名端流入， 互感磁链与自感磁链方向相反。
第四章 耦合电感和谐振电路
◆ 说明
1、只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以 证明：M12 = M21，所以 M12 和 M21 可统一用 M 表示， 称为互感。其SI单位是：H 。
2、互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁 链的能力。为了表征耦合线圈的紧密程度，通常用耦合 系数表示，其定义为：
可得去耦等效电路如图， 注意去耦等效之后原电路中 的结点A的对应点为图中的 A点而非A＇点。
◆ 则耦合电感按同侧并联的等效阻抗为：
Z jM j(L1 M ) j(L2 M ) j L1L2 M 2 jL
j(L1 M ) j(L2 M )
L1 L2 2M
式中 L 为等效电感： L L1L2 M 2 L1 L2 2M
由：
•
U 13
jL1
•
I1
jM
•
I2
•
•
•
U 23 jL2 I 2 jM I1
•• •
I I1 I2
•
•
•
得：U13 j(L1 M ) I1 jM I
•
•
•
U 23 j(L2 M ) I 2 jM I
第四章 耦合电感和谐振电路
可得去耦等效电路：
如图(a)耦合线圈同名端的位置，同理可推导其 去耦等效电路，如图(b)：
•
•
•
•
U 2 U 21 U 22 jM I1 jL2 I 2 j X M I1 j X L2 I 2
当自感电压、互感电压与线圈总电压参考方向相同时： 自感电压总是正的， 互感电压与产生它的电流对同名端取向非一致为负。
第四章 耦合电感和谐振电路 二、耦合电感的串联 1、顺向串联：即把两线圈的异名端相连。
第四章 耦合电感和谐振电路
例 ：求图示电路的等效电路，其中
R1 R2 6，L1 L2 10，M 5。 解：采用网孔分析法
•
•
•
(R1 jL1)I1 jM I 2 U
•
•
jM I1 (R2 jL2 )I 2 0
解得：I•
(R1
R2 jL2 jL1)(R2 jL2 )
( jM
◆ 等式 L 1 为电路发生谐振的条件。 C
◆ 发生谐振的角频率和频率分别为：
0
1 LC
f0
2
1 LC
第四章 耦合电感和谐振电路
◆ 谐振频率又称为电路的固有频率，是由电路的结 构参数决定的。串联谐振频率由串联电路中的电感、 电容元件的参数决的，与串联电阻的电阻值无关。
二、串联谐振的特点
◆ 串联谐振时阻抗为最小值
1 M 2 (L1 L2 )
例：两个磁耦合线圈反向串联，已知两个线圈的参数为 R1=R2=100Ω，L1 = 3H， L2 = 10H，M=5H
电源的电压U = 220V，ω＝314rad/s。
求：线圈的电流及两 个线圈的电压。
第四章 耦合电感和谐振电路
解：
•
•
I
U
(R1 R2 ) jω(L1 L2 2M )
第四章 耦合电感和谐振电路 三、耦合线圈的感应电压
设每个线圈的电压、电流、磁链为关联的参考方向：
◆
u1
dΨ1 dt
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u11 u12
u2
dΨ 2 dt
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u21
u22
◆
u1
dΨ1 dt
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u11 u12
◆ 结论 互感电压取为“+”或“-”的原则： 按照电压的参考方向与引起该电压的另一个线
圈中电流的参考方向对同名端是否一致来选取，如 两者对同名端一致，则为“+”，反之为“-”。
简称为对同名端一致原则。
第四章 耦合电感和谐振电路
四、耦合电感元件
由实际耦合线圈抽象出来的理想化的电路模型，由 L1、L2和 M 三个参数表征，是一种线性二端口元件。
第四章 耦合电感和谐振电路 二、耦合线圈的总磁链 取总磁链与自感磁链有相同的参考方向
◆ 1 11 12 L1i1 Mi2 2 21 22 Mi1 L2i2
◆ 1 11 12 L1i1 Mi2 2 21 22 Mi1 L2i2
第四章 耦合电感和谐振电路
u2
dΨ 2 dt
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u21
u22
第四章 耦合电感和谐振电路
◆ 即每个线圈的总电压由自感电压（u11 或 u22 ）和 互感电压（u12 或u21）两部分组成。取线圈的总电压与 自感电压、互感电压有相同的参考方向，则自感电压 总是正的，互感电压可能为“+”，也可能为“-”。
自感电压、互感电压与线圈总电压参考方向相同时：
自感电压总是正的，
互感电压与产生它的电流对同名端取向一致为正。
第四章 耦合电感和谐振电路
XM 称为互感电抗， 其 SI 单位为：Ω 。
•
•
•
•
•
•
•
U 1 U 11U 12 jL1 I1 jM I 2 j X L1 I1 j X M I 2
•
•
•
第四章 耦合电感和谐振电路 2、异侧并联——异名端相连 同理可得，去耦等效电路：
◆ 则耦合电感按异侧并联的等效电感为：
L L1L2 M 2 L1 L2 2M
第四章 耦合电感和谐振电路
四、具有一个公共端的耦合电感
当耦合电感的两个线圈虽然不是并联，但它们有一个 端钮相连接，这是具有一个公共端的耦合电感，去耦法仍 然适用，仍可把有耦合电感的电路化为去耦后的等效电路。
)2
•
U
(6
6 j10 j10)2 (
j5)2
•
U
•
所以等效阻抗为：Z0
U
•
10.849o
I
提示：此题 还可以用去 耦法求解。
第四章 耦合电感和谐振电路
4-3 串联谐振
谐振是正弦稳态电路中的一种特殊现象。在无线电 和电工技术中广泛的应用，但另一方面发生谐振可能造 成电路的某种危害而应加以避免。
第四章 耦合电感和谐振电路
4-2 含有耦合电感的正弦交流电路
一、耦合电感元件 的相量模型
XM 称为互感电抗， 其 SI 单位为：Ω 。
•
•
•
•
•
•
•
U 1 U 11U 12 jL1 I1 jM I 2 j X L1 I 1 j X M I 2
•
•
•
•
•
•
•
U 2 U 21U 22 jM I1 jL2 I 2 j X M I1 j X L2 I 2
Z
R
j(0 L
1)
0C
R
I U U ZR
输入电压有效值U不变时 电流I为最大 决于电阻值而与电感和电容值无关
且仅取
第四章 耦合电感和谐振电路
谐振时电路的相量图如图
谐振时各元件上的 电压相量分别为:
•
•
UL jXL I
•
•
UC jXC I
U 2 jM I 1 U 1 j2 253.1 100 13.410.3V
第四章 耦合电感和谐振电路
五、含耦合电感电路的一般计算方法
在计算具有耦合电感的正弦电流电路时，采用相量 表示电压、电流，这时 KCL 的形式仍然不变，但在 KVL 的表达式中，应计及由于耦合电感引起的互感电压。当 某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压不仅与本支 路电流有关，还与有耦合关系的支路电流有关，因而像 阻抗串并联公式、结点分析法等不便于直接应用。因为 互感电压可以直接计入 KVL 方程中，以电流为求解对象 的支路分析法、网孔分析法则可以直接应用。因此，计 算含有耦合电感的电路采用支路分析法或网孔分析法较 为方便。
第四章 耦合电感和谐振电路
内容提要
1、耦合线圈的互感与同名端 2、耦合电感的串联，耦合电感的并联与去耦法 3、耦合电感电路的计算 4、串联谐振和并联谐振
4-1 耦合电感元件
一、耦合线圈的自感和互感
第四章 耦合电感和谐振电路
11 L1i1 ， L1称为线圈1的自感； 21 M 21i1 ， M 21称为线圈1与线圈2的互感； 22 L2i2 ， L2称为线圈2的自感； 12 M12i2 ， M12称为线圈2与线圈1的互感。
•
•
•
•
U1 jL1 I jM I j(L1 M ) I
•
•
•
•
U 2 jL2 I jM I j(L2 M ) I
•
•
•
•
•
U U1U 2 j(L1 L2 2M ) I jL I
◆ 两线圈顺向串联时的等效电感：L = L1 + L2 + 2M
第四章 耦合电感和谐振电路
2、反向串联：即把两线圈的同名端相连。
第四章 耦合电感和谐振电路
例 ：图示电路中，R1 R2 3， L1 L2 4，M 2， 在ab端口加10V正弦电压， 试求cd端口电压。
解：由于cd开路，线圈1中只自感电压没有互感电压， 线圈2中只有互感电压没有自感电压。
•
•
I
U1
100 253.1A
R1 jL1 3 j4
•
•
•
•
•
•
•
U1 jL1 I jM I j(L1 M ) I
•
•
•
•
U 2 jL2 I jM I j(L2 M ) I
•
•
•
•
•
U U1U 2 j(L1 L2 2M ) I jL I
◆ 两线圈反向串联时的等效电感： L = L1 + L2- 2M
第四章 耦合电感和谐振电路
两个线圈顺向串联时，等效电感增大；反向 串联时，等效电感减小。但其耦合等效电感 L 不 可能为负（因为有L1 + L2 -2M > 0 ）。所以：
第四章 耦合电感和谐振电路
例：两个磁耦合线圈串联接至50Hz、220V的正弦交流 电源，一种连接情况的电流为2.7A，功率为219W；另 一种连接情况的电流为7A。试分析哪种情况为顺向串 联，哪种情况为反向串联，并求出它们的互感。
[分析] 由于顺向串联时的总感抗、总阻抗都比反向串联
时大，在相同的电压下，顺向串联的电流要比反向串联 小，所以电流为2.7A的情况是顺向串联，电流为7A的情 况是反向串联。
第四章 耦合电感和谐振电路 例 ：图示电路中，R1 R2 3， L1 L2 4，M 2， 在ab端口加10V正弦电压， 试求cd端口电压。
解：去耦等效电路如图:
•
U
2
R1
R1 j(L1
j(L1 M)
M) ( jM
)
•
U
1
3+j6 100o 13.410.3oV 3+j4
此题还可以直接列式求解。
2200
(100 100) j314(3 10 2 5)
0.228 78A
•
•
U 1 (R1 jωL1 jωM ) I
(100 j942 j1570) 0.228 78 145 159V
•
•
U 2 (R2 jωL2 jωM ) I
(100 j3140 j1570) 0.228 78 3598.4V
一、串联谐振的条件和谐振频率
一个电阻、电感、电容的 串联电路，在正弦电压作用下， 电路的阻抗为：
Z
R
j(L 1 ) C
R
j( X L
XC)
R
jX
Z
第四章 耦合电感和谐振电路
当：X L
X C，即：L
1 C
时
则：X 0， 0，Z R
此二端网络端口电流与外加电压同相，电路呈 电阻性，这时电路发生谐振，称为串联谐振。
第四章 耦合电感和谐振电路
三、耦合电感的并联
1、同侧并联——同名端相连
由：KVL和KCL
•
•
•
U jL1 I1 jM I 2
•
•
•
U jL2 I 2 jM I1
•• •
I I1 I2
可得：
•
•
•
U jM I j(L1 M ) I1
•
•
•
U jM I j(L2 M ) I 2
第四章 耦合电感和谐振电路
def
k
M
L1L2
式中 L1 和 L2 为两个线圈的自感，M为互感。 k 的范围为：0≤k≤1 。
第四章 耦合电感和谐振电路
3、耦合线圈之间的耦合因数 k 的大小与两个线 圈的结构、相互位置以及磁介质有关。
如果两个线圈紧密绕 在一起，则 k 值可能接近 于1。如图（a）。
如果两线圈相隔很远， 或者它们的轴线相互垂直， 则 k 值很小，甚至可能接 近于零。如图（b）。