洛必达法则PPT课件
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
《洛必达法则》课件
1
市场调研
通过市场调研了解消费者需求和竞争情况，指导产品开发。
2
产品创新
不断创新产品设计和功能，满足消费者的不进行用户测试，改进产品的易用性和用户体验。
洛必达法则在客户服务中的应用
响应及时
及时回复客户的咨询和问题， 提供高质量的客户服务。
个性化服务
针对客户的具体需求提供个 性化的解决方案和服务。
洛必达法则的创新思考与实践应用
我们将对洛必达法则进行创新思考，探索新的应用方式和方法。通过实践案例，我们将展示洛必达法则在不同 领域的实际应用效果。
洛必达法则的理论探讨与实践创新
在本节中，我们将对洛必达法则进行理论探讨，深入剖析其背后的原理和机制。同时，我们还将展示洛必达法 则在实践创新中的应用效果。
引起兴趣
激发消费者兴趣，吸引他们进一步了解和试用产 品。
可达性
确保消费者能够方便地获取产品或品牌的信息和 服务。
激发欲望
通过刺激消费者的购买欲望，促使他们做出购买 决策。
洛必达法则在品牌营销中的应用
品牌定位
品牌忠诚度
通过塑造独特的品牌形象和个性， 赢得消费者的认可和忠诚。
建立稳固的品牌客群，促使他们 持续购买和推荐品牌。
品牌知名度
通过广告、宣传和社交媒体等手 段，提升品牌在消费者心中的知 名度。
洛必达法则在销售管理中的应用
1 销售渠道优化
确保产品能够通过各种渠道方便地销售给消费者。
2 销售提成激励
通过奖励制度激励销售人员推动产品销售。
3 销售数据分析
利用销售数据分析工具和方法，找出销售瓶颈并提升销售绩效。
洛必达法则在产品开发中的应用
洛必达法则的评价与未来发展 趋势
第4章6洛必达法则 ppt课件
e
1 x2
lim
x0
x100
lxim0 x1100 ex2
lim
x0
100
2 x3
x 101
1
e x2
Байду номын сангаас
lim
x0
50
x 98
1
50次
lx im0501! 0
e x2
ex2
利用倒数法或取对数法将其它 的不定型转化为可以运用罗必 达法则计算.
例9 求limxlnx. 0 用另一种形式
x0
颠倒行不行 ?
2lx im 0xxs3inx2lx im 013cx2oxs
1 x2
2
lim
x0
2 3x2
1 3
1cosx~1x2 2
例7
求 xl im exanx,a0,nZ.
解
xl imexanx xl imnaxenax1
如果 n 不是 正整数 , 怎 么办？
k n k 1 kZ
夹逼定理
xl imn(na2e1)axxn2
0 0
lim xlnx
0
x1xlnxx1 0
limlnx1 1 x 1lnx11 2
例11 求xl im 2arctxaln 1nx.
00
解 运用取对数法 ：
xl im 2arctxanl1nx
lim ex {p 1ln (arcx)} ta0n x ln x 2
{ } ln(arctxa) n
解
( )( ) n l i 1 m 1 n n 1 2n x l i 1 m 1 x x 1 2x
expxlimln(111x
1 x2
)
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
洛必达法则-PPT
arctan x
【例3】求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
【解】 原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
【例4】求 lim lnsinax . x0 lnsinbx
()
【解】原式
a cos ax sinbx
lim
x0 bcos bx sinax
cosax lim x0 cosbx
x0
x2 3x2
1 3
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：以下写法仅是记号
【步骤】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
x0 1
【例2】
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
【解】原式
lim
x1
3
3 x2
x2 3 2x
1
lim 6x x1 6 x
2
3. 2
【注意】（1） 上式中 lim 6已x 不是未定式， x1 6 x 2
不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
2
【例6】
求
xn
lim
x
e
x
(n 为正整数， 0)
课件洛必达法则
洛必达法则
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
高三数学复习课件_专题6、洛必达法则
解析： 0 型 0
lim
x0
s
in x
x
l i m( s i n x) x0 x
limcosx x0 1
1
二、洛必达法则求极限
例2.求 limxlnx x 0
解析：不适合条件，需转化
1
lim
x 0
x
l
n
x
lim
x 0
ln 1 x
x
lim
x 0
x 1
x2
lim(x) 0 x 0
例3.求
lim(
x1
x
1
1
l
1 n
) x
解析：
l
x
i m(
1
x
1
1
1 ln
) x
lxi1m(lxnx1)xln1x
lim x1 l
n
1 x
1
x
x
x
1
l
x
im 1 l
n
1 x
1
x 1
1 x
1
lim
x1
x2 11 x x2
1 2
例4.求
lim
x1
x
3 x3
x
2 3x
x
2
1
解析：
limx3 x2 x 1 x1 x3 3 x 2
h)
3 5
f( x0
)
6 5
三、洛必达法则的应用
适用题型： 1.不等式恒成立或能成立题目。
2.能分离参数成 a h(x)或a h(x) ，归结 为求 h(x)的某个最值(或其极限值)问题。 3.常规方法不易求得最值或其极限值(往往
第三章 培优点3 洛必达法则-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
12
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
12
当x＝0时，a∈R； 当 x>0 时，x－ln(x＋1)≤ax2⇔a≥1x－lnxx＋2 1， 记 g(x)＝1x－lnxx＋2 1，x∈(0，＋∞)， 则 g′(x)＝－xx2＋＋21x＋x32lnx＋1， 记 h(x)＝－xx2＋＋21x＋2ln(x＋1)，x∈(0，＋∞)，
3x62x－2 1＝xl→i＋m∞
162xx＝12，
∴φ(x)<12，故 a≥12.
故 a 的取值范围为12，＋∞.
能力提升 1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
12
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2. 当x＝0时，a∈R； 当 x>0 时，x(ex－1)≥ax2 等价于 a≤ex－x 1. 令 g(x)＝ex－x 1，x∈(0，＋∞)，则 g′(x)＝x－1x2ex＋1. 记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝xex>0， 因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)＝2＋sincoxs x≤ax， 若x＝0，则a∈R；
若x>0，
则2＋sincoxs x≤ax 等价于 a≥x2＋sincoxs x，
即 g(x)＝x2＋sincoxs x，
则
g′(x)＝2xcos
x－2sin x－sin xcos x22＋cos x2
x＋x .
令h(x)＝2xcos x－2sin x－sin xcos x＋x， h′(x)＝2cos x－2xsin x－2cos x－cos 2x＋1 ＝－2xsin x－cos 2x＋1 ＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)， 因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0) ＝0，故g′(x)<0， 所以g(x)在(0，π)上单调递减，
高数课件10洛必达法则
,
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
添加标题
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
添加标题
其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
添加标题
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
添加标题
其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
《高数32洛必达法则》课件
在证明过程中，需要注意处理各种可能的情况，如分母和分子的极限是否为零、 是否满足洛必达法则的应用条件等。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
04
CATALOGUE
洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
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洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
经典洛必达法则ppt
例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
洛必达法则(课堂PPT)
limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
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第八节 洛必达法则
一、 未定式定义
0 二、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
三、 0 , , 0 , 1 , 型未定式解法
0 0
一、未定式定义
1. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
f ( x) 0 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x ) 0
例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
0 ( ) 0
解
1 2 2 x 原式 lim 1 x lim 1 . 2 x 1 x 1 x 2 x
π 2
思考: 如何求 lim
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
2. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) ,
e x e x 2 x 例如 lim . x 0 x sin x
f ( x) 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x )
3. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) ,
7. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) 0,
例如, lim x sin x ,
x 0
则称 lim [ f ( x )]
x x0
g( x )
为 0 型未定式.
1 tan x 例如, lim ( ) , x 0 x
0 二、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
x x0 x x0 x x0
x x0
x x0
ln sin ax , 例如, lim x 0 ln sin bx
例如, lim x ln x , x 0 则称 lim f ( x ) g( x ) 为 0 型未定式.
4. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) , 则称 lim [ f ( x ) g( x )] 为 型未定式. 5. 若 lim f ( x ) 1, lim g( x ) , 例如, lim( 1 x 1 ), x x0 x x0 x 0 x e 1 则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 1 型未定式.
定理 设函数 f ( x ) , g( x ) 在点 x0 的某去心
邻域内可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 : (1) lim f ( x ) lim g( x ) 0; x x0 x x0 f ( x ) ( 2) lim 存在(或为无穷大 ), x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 有 lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
定理2 设函数 f ( x ) , g可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 :
(1) lim f ( x ) lim g( x ) ;
x x0 x x0
并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.
x3 3 x 2 例1 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1 3 x2 3 解 原式 lim 2 x 1 3 x 2 x 1
6x lim x 1 6 x 2
3 . 2
0 ( ) 0
不是未定式,不能用法则
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) 0,
o
x x0 x x0
,
g( x ), g1 ( x ) 0,
x x0 x x0
,
, 在 U ( x0 , ) 内任取一点 x , 在以 x0 与 x 为端点的区间上 f1 ( x ), g1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
例2
e e 2x 求 lim . x 0 x sin x
x
x
(
0 ) 0
解
e e 2 原式 lim x 0 1 cos x
x
x
(
0 ) 0
e e lim x 0 sin x
x
x
0 ( ) 0
e x e x lim x 0 cos x
2
不是未定式,不能用法则
几点说明:
(1)
将x x0换成x x0 , x x0 , 及 x ,
x , x 该法则仍然成立. f ( x ) 0 ( 2) 若 lim 仍为 型未定式 , 且 f ( x ) , x x 0 g ( x ) 0 g( x )满足定理中f ( x ), g ( x )所满足的条件, 则可 继续使用洛必达法则 , 即 f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x ) x x0 g( x )
x x0
x x0 x x0 x x0
6. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
例如,
lim(cos x ) ,
x 0
1 x
则称 lim [ f ( x )]
x x0
x x0
g( x )
为 00 型未定式.
x x0
f ( x ) f ( x ) f ( x0 ) f ( ) g ( x ) g ( x ) g ( x0 ) g( ) (在x与x0之间) f ( x ) f ( ) A, lim A, 当x x0时, x0 , lim x x0 g( x ) x0 g( ) f ( x) f ( x ) lim lim A. x x0 g ( x ) x x0 g( x )
一、 未定式定义
0 二、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
三、 0 , , 0 , 1 , 型未定式解法
0 0
一、未定式定义
1. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
f ( x) 0 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x ) 0
例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
0 ( ) 0
解
1 2 2 x 原式 lim 1 x lim 1 . 2 x 1 x 1 x 2 x
π 2
思考: 如何求 lim
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
2. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) ,
e x e x 2 x 例如 lim . x 0 x sin x
f ( x) 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x )
3. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) ,
7. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) 0,
例如, lim x sin x ,
x 0
则称 lim [ f ( x )]
x x0
g( x )
为 0 型未定式.
1 tan x 例如, lim ( ) , x 0 x
0 二、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
x x0 x x0 x x0
x x0
x x0
ln sin ax , 例如, lim x 0 ln sin bx
例如, lim x ln x , x 0 则称 lim f ( x ) g( x ) 为 0 型未定式.
4. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) , 则称 lim [ f ( x ) g( x )] 为 型未定式. 5. 若 lim f ( x ) 1, lim g( x ) , 例如, lim( 1 x 1 ), x x0 x x0 x 0 x e 1 则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 1 型未定式.
定理 设函数 f ( x ) , g( x ) 在点 x0 的某去心
邻域内可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 : (1) lim f ( x ) lim g( x ) 0; x x0 x x0 f ( x ) ( 2) lim 存在(或为无穷大 ), x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 有 lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
定理2 设函数 f ( x ) , g可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 :
(1) lim f ( x ) lim g( x ) ;
x x0 x x0
并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.
x3 3 x 2 例1 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1 3 x2 3 解 原式 lim 2 x 1 3 x 2 x 1
6x lim x 1 6 x 2
3 . 2
0 ( ) 0
不是未定式,不能用法则
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) 0,
o
x x0 x x0
,
g( x ), g1 ( x ) 0,
x x0 x x0
,
, 在 U ( x0 , ) 内任取一点 x , 在以 x0 与 x 为端点的区间上 f1 ( x ), g1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
例2
e e 2x 求 lim . x 0 x sin x
x
x
(
0 ) 0
解
e e 2 原式 lim x 0 1 cos x
x
x
(
0 ) 0
e e lim x 0 sin x
x
x
0 ( ) 0
e x e x lim x 0 cos x
2
不是未定式,不能用法则
几点说明:
(1)
将x x0换成x x0 , x x0 , 及 x ,
x , x 该法则仍然成立. f ( x ) 0 ( 2) 若 lim 仍为 型未定式 , 且 f ( x ) , x x 0 g ( x ) 0 g( x )满足定理中f ( x ), g ( x )所满足的条件, 则可 继续使用洛必达法则 , 即 f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x ) x x0 g( x )
x x0
x x0 x x0 x x0
6. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
例如,
lim(cos x ) ,
x 0
1 x
则称 lim [ f ( x )]
x x0
x x0
g( x )
为 00 型未定式.
x x0
f ( x ) f ( x ) f ( x0 ) f ( ) g ( x ) g ( x ) g ( x0 ) g( ) (在x与x0之间) f ( x ) f ( ) A, lim A, 当x x0时, x0 , lim x x0 g( x ) x0 g( ) f ( x) f ( x ) lim lim A. x x0 g ( x ) x x0 g( x )