洛必达法则PPT课件

例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
0 ( ) 0
解
1 2 2 x 原式 lim 1 x lim 1 . 2 x 1 x 1 x 2 x
π 2
思考: 如何求 lim
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
f ( x ) f ( x ) f ( x0 ) f ( ) g ( x ) g ( x ) g ( x0 ) g( ) (在x与x0之间) f ( x ) f ( ) A, lim A, 当x x0时, x0 , lim x x0 g( x ) x0 g( ) f ( x) f ( x ) lim lim A. x x0 g ( x ) x x0 g( x )
7. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) 0,
例如, lim x sin x ,
x 0
则称 lim [ f ( x )]
x x0
g( x )
为 0 型未定式.
1 tan x 例如, lim ( ) , x 0 x
0 二、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
x x0
x x0 x x0 x x0
6. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
例如,
lim(cos x ) ,
x 0
1 x
则称 lim [ f ( x )]
x x0
x x0
g( x )
为 00 型未定式.
x x0
定理2 设函数 f ( x ) , g( x ) 在点 x0 的某去心
邻域内可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 :
(1) lim f ( x ) lim g( x ) ;
x x0 x x0
并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.
x3 3 x 2 例1 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1 3 x2 3 解 原式 lim 2 x 1 3 x 2 x 1
6x lim x 1 6 x 2
3 . 2
0 ( ) 0
不是未定式,不能用法则
2. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) ,
e x e x 2 x 例如 lim . x 0 x sin x
f ( x) 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x )
3. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) ,
例2
e e 2x 求 lim . x 0 x sin x
x
x
(
0 ) 0
解
e e 来自百度文库 原式 lim x 0 1 cos x
x
x
(
0 ) 0
e e lim x 0 sin x
x
x
0 ( ) 0
e x e x lim x 0 cos x
2
不是未定式,不能用法则
第八节 洛必达法则
一、 未定式定义
0 二、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
三、 0 , , 0 , 1 , 型未定式解法
0 0

一、未定式定义
1. 若 lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0,
x x0 x x0
f ( x) 0 则称 lim 为 型未定式. x x0 g ( x ) 0
x x0 x x0 x x0
x x0
x x0
ln sin ax , 例如, lim x 0 ln sin bx
例如, lim x ln x , x 0 则称 lim f ( x ) g( x ) 为 0 型未定式.
4. 若 lim f ( x ) , lim g( x ) , 则称 lim [ f ( x ) g( x )] 为 型未定式. 5. 若 lim f ( x ) 1, lim g( x ) , 例如, lim( 1 x 1 ), x x0 x x0 x 0 x e 1 则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 1 型未定式.
几点说明:
(1)
将x x0换成x x0 , x x0 , 及 x ,
x , x 该法则仍然成立. f ( x ) 0 ( 2) 若 lim 仍为 型未定式 , 且 f ( x ) , x x 0 g ( x ) 0 g( x )满足定理中f ( x ), g ( x )所满足的条件, 则可 继续使用洛必达法则 , 即 f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x ) x x0 g( x )
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) 0,
o
x x0 x x0
,
g( x ), g1 ( x ) 0,
x x0 x x0
,
, 在 U ( x0 , ) 内任取一点 x , 在以 x0 与 x 为端点的区间上 f1 ( x ), g1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
定理 设函数 f ( x ) , g( x ) 在点 x0 的某去心
邻域内可导, 且 g( x ) 0, 又满足条件 : (1) lim f ( x ) lim g( x ) 0; x x0 x x0 f ( x ) ( 2) lim 存在(或为无穷大 ), x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 有 lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )