标准偏差和相对标准偏差公式(汇编版)
标准偏差和相对标准偏差
标准偏差和相对标准偏差标准偏差和相对标准偏差是统计学中常用的两个概念，它们在数据分析和研究中扮演着重要的角色。
标准偏差是用来衡量一组数据的离散程度，而相对标准偏差则是用来比较不同数据集之间的离散程度。
本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。
标准偏差是一组数据离散程度的度量，它衡量的是每个数据点与数据集平均值的偏离程度。
标准偏差越大，说明数据点之间的离散程度越高，反之则离散程度越低。
标准偏差的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i\bar{x})^2} \]其中，\( \sigma \) 代表标准偏差，\( N \) 代表数据点的个数，\( x_i \) 代表第 \( i \) 个数据点，\( \bar{x} \) 代表数据集的平均值。
通过这个公式，我们可以计算出一组数据的标准偏差，进而了解数据的离散程度。
相对标准偏差则是用来比较不同数据集之间的离散程度的指标。
它的计算公式如下：\[ RSD = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\% \]其中，\( RSD \) 代表相对标准偏差，\( \sigma \) 代表标准偏差，\( \bar{x} \) 代表数据集的平均值。
相对标准偏差的计算结果以百分比的形式呈现，这样可以更直观地比较不同数据集之间的离散程度。
在实际应用中，标准偏差和相对标准偏差都具有重要的意义。
例如，在质量控制领域，我们可以利用标准偏差来衡量生产过程中产品质量的稳定程度，进而进行调整和改进。
而在市场研究中，我们可以利用相对标准偏差来比较不同产品销售额的波动情况，从而制定更合理的营销策略。
总之，标准偏差和相对标准偏差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据，从而做出更准确的决策。
通过本文的介绍，相信读者对这两个概念已经有了更清晰的认识，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
相对标准偏差的公式
相对标准偏差的公式相对标准偏差（Relative Standard Deviation），也被称为变异系数（Coefficient of Variation），是用来衡量数据的离散程度的一种统计指标。
它是标准偏差与平均值的比值，用来消除不同数据集之间的尺度差异，使得不同数据集之间的离散程度可以进行比较。
相对标准偏差的计算公式如下：相对标准偏差 = （标准偏差 / 平均值）× 100%其中，标准偏差是衡量数据集中各个数据与平均值之间差异的一种度量，平均值是数据集的所有数据的算术平均数。
相对标准偏差的数值越大，表示数据集的离散程度越大；反之，数值越小，表示数据集的离散程度越小。
因此，相对标准偏差可以用来比较不同数据集之间的离散程度，从而判断它们的变异程度。
相对标准偏差的应用非常广泛，特别是在质量控制、金融分析、经济学等领域中。
在质量控制中，相对标准偏差可以用来评估生产过程中产品的质量稳定性；在金融分析中，相对标准偏差可以用来衡量股票或基金的风险程度；在经济学中，相对标准偏差可以用来比较不同国家或地区的经济发展水平。
下面通过一个例子来说明如何计算相对标准偏差：假设有一个学生A参加了5次数学测试，得分分别为80、85、90、95、100。
我们首先计算这5次测试的平均值和标准偏差。
平均值 = (80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 5 = 90标准偏差 = √[((80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2) / 5] ≈ 7.07然后，我们可以使用上面的公式计算相对标准偏差：相对标准偏差 = (7.07 / 90) × 100% ≈ 7.85%通过计算可知，这个学生A在这5次数学测试中的相对标准偏差约为7.85%。
这个数值表示这个学生在这5次测试中得分的离散程度较小，即学习成绩比较稳定。
需要注意的是，当平均值为0时，相对标准偏差无法计算。
标准偏差与相对标准偏差公式
尺度偏差宇文皓月数学表达式：•S-尺度偏差（%）•n-试样总数或丈量次数，一般n值不该少于20-30个•i-物料中某成分的各次丈量值，1～n；尺度偏差的使用方法六个计算尺度偏差的公式[1]尺度偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度丈量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i−Xσ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义尺度偏差(也称尺度差)σ为（1）由于真值X都是不成知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
尺度偏差σ的经常使用估计—贝塞尔公式由于真值是不成知的, 在实际应用中, 我们经常使用n次丈量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着丈量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度丈量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次丈量次数时尺度偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是尺度偏差σ的一个估计值。
它不是总体尺度偏差σ。
因此, 我们称式(2)为尺度偏差σ的经常使用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 暗示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
尺度偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i− Xσ2 = l2− X……σn = l n− X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
常用测量计算公式
常用测量计算公式(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除常用测量计算公式相对标准偏差：RSD=S/Χ*100%其中S为标准偏差,x为测量平均值.相对标准偏差RS D就是变异系数：变异系数的计算公式为： cv = S/x(均值）×100%标称误差=（最大的绝对误差）/量程 x 100%绝对误差 = | 示值 - 标准值 | （即测量值与真实值之差的绝对值）相对误差 = | 示值 - 标准值 |/真实值（即绝对误差所占真实值的百分比）(δ—实际相对误差，一般用百分数给出，△—绝对误差，L—真值)另外还有：系统误差：就是由量具，工具，夹具等所引起的误差。
偶然误差：就是由操作者的操作所引起的（或外界因素所引起的）偶然发生的误差。
准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。
常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
标准偏差与相对标准偏差公式之欧阳地创编
标准偏差数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i−Xσ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准差和相对标准偏差公式
标准差和相对标准偏差公式标准差和相对标准偏差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动情况。
在实际应用中，我们经常需要计算数据的标准差和相对标准偏差，以便更好地理解数据的特征和趋势。
本文将介绍标准差和相对标准偏差的计算公式及其应用。
标准差的计算公式如下：$$。
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i \bar{x})^2}。
$$。
其中，$\sigma$表示总体标准差，$N$表示样本容量，$x_i$表示第$i$个观测值，$\bar{x}$表示样本均值。
相对标准偏差的计算公式如下：$$。
RSD = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%。
$$。
其中，$RSD$表示相对标准偏差，$\sigma$表示总体标准差，$\bar{x}$表示样本均值。
标准差和相对标准偏差是描述数据分布和离散程度的重要指标。
标准差衡量了数据的离散程度，它的值越大，表示数据的波动越大；相对标准偏差则将标准差与均值进行了比较，可以更好地反映数据的相对波动情况。
在实际应用中，我们可以利用标准差和相对标准偏差来进行数据分析和比较。
例如，在质量控制领域，我们可以利用标准差来衡量产品质量的稳定性，通过监控标准差的变化来及时发现生产过程中的异常情况；在金融领域，我们可以利用相对标准偏差来比较不同投资组合的风险水平，从而做出更合理的投资决策。
除了计算公式外，我们还可以通过统计软件来进行标准差和相对标准偏差的计算。
例如，在Excel中，可以利用STDEV.P和STDEV.S函数来计算总体标准差和样本标准差；在R语言和Python等统计软件中，也提供了丰富的函数和包来进行标准差和相对标准偏差的计算和分析。
总之，标准差和相对标准偏差是统计学中重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数据的特征和波动情况。
通过合理地应用标准差和相对标准偏差，我们可以进行更准确、更深入的数据分析，为决策提供更有力的支持。
标准偏差与相对标准偏差计算公式
标准偏差与相对标准偏差计算公式在咱们学习数学和统计学的过程中，标准偏差和相对标准偏差的计算公式那可是相当重要的“家伙”。
标准偏差，简单来说，就是用来衡量一组数据的离散程度的。
想象一下，咱们班同学的考试成绩，有的考得特别高，有的又比较低，这成绩的分布情况就可以用标准偏差来描述。
标准偏差的计算公式是这样的：先求出这组数据的平均数，然后每个数据与平均数相减，再把这些差值平方，之后把这些平方值加起来除以数据的个数，最后再开平方。
说起来有点绕嘴是不？咱们来举个例子。
比如说有一组数：10，20，30，40，50。
首先算出它们的平均数，（10 + 20 + 30 + 40 + 50）÷ 5 = 30。
然后呢，每个数与 30 相减：10 - 30 = -20，20 - 30 = -10，30 - 30 = 0，40 - 30 = 10，50 - 30 = 20。
再把这些差值平方：(-20)² = 400，(-10)² = 100，0² = 0，10² = 100，20² = 400。
把这些平方值加起来：400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000。
除以数据的个数 5 得到 200，最后开平方，标准偏差就约等于 14.14 。
再来说说相对标准偏差，它是标准偏差与平均数的比值，通常用百分数表示。
相对标准偏差能更直观地反映数据的离散程度相对于平均值的大小。
还记得我之前教过的一个班，有一次做实验测一个物体的长度。
同学们分组测量，结果出来后那叫一个五花八门。
有的组测出来是 10 厘米，有的组是 11 厘米，还有的组是 9 厘米。
这时候用标准偏差和相对标准偏差的计算公式就能很好地看出这些测量结果的离散情况。
最后发现，标准偏差不算太大，但是相对标准偏差却有点高，这就说明虽然数据的绝对差距不是特别大，但相对于平均值来说，离散程度还是比较明显的。
这也提醒同学们在做实验的时候要更仔细、更精确，减少误差。
相对偏差和标准偏差计算公式
相对偏差和标准偏差计算公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里，相对偏差和标准偏差这两个概念，就像是两个神秘的小精灵，虽然有点调皮，但要是把它们弄明白了，那可真是超级有用！先来说说相对偏差。
相对偏差的计算公式呢，就是相对偏差 = （测量值 - 平均值）/ 平均值 × 100% 。
这就好比咱们分糖果，假如说咱们一群小伙伴平均每人应该分到 10 颗糖，可你只分到了 8 颗。
那相对偏差就是（8 - 10）/ 10 × 100% = -20% ，这就表示你比平均水平少了20% 。
我记得有一次，我们班级组织了一场数学小竞赛，老师让我们计算一组数据的相对偏差。
当时大家都埋头苦算，我也不例外。
那组数据是各个同学在一分钟内跳绳的次数，分别是 120、110、130、100、115 。
我先算出平均值是 115 次，然后再一个个算相对偏差。
算完之后，我发现自己的计算过程特别繁琐，还容易出错。
后来老师一讲解，我才恍然大悟，原来是我没有找对方法。
老师说，先把数据从小到大或者从大到小排个序，再计算平均值，这样会简单很多。
从那以后，我再遇到类似的题目，都会先整理数据再计算，效率高多啦！再讲讲标准偏差。
标准偏差的计算公式稍微复杂一点，是这样的：先计算出这组数据的平均值，然后每个数据与平均值相减，得到的差值平方，再把这些平方值相加，除以数据个数，得到的结果再开平方。
听起来是不是有点晕？其实啊，标准偏差就是用来衡量一组数据的离散程度的。
比如说，还是跳绳的例子。
假设这次的数据变成了 80、100、120、140、160 。
我们先算出平均值是 120 ，然后计算每个数据与 120 的差值的平方，（80 - 120）² = 1600 ，（100 - 120）² = 400 ，（120 - 120）² = 0 ，（140 - 120）² = 400 ，（160 - 120）² = 1600 。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差和相对标准偏差公式(汇编版)
标准偏差相对标准方差的计算公式准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。
常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
偏差：单次测量值与样本平均值之差：平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。
相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
准确度与精密度的关系：1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。
换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。
重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般要求低于5%数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
相对标准偏差计算公式
相对标准偏差计算公式相对标准偏差（Relative Standard Deviation，RSD）是用来衡量数据集中变异程度的统计量，它可以用来比较不同数据集之间的变异程度，或者用来评估同一数据集在不同条件下的变异程度。
在实际应用中，相对标准偏差通常被用来衡量数据的稳定性和一致性，对于实验数据的可靠性评估也具有重要意义。
相对标准偏差的计算公式如下：RSD = (标准偏差 / 平均值) × 100%。
其中，标准偏差是数据集的标准偏差，平均值是数据集的平均值。
RSD通常以百分比的形式表示，它的取值范围是0%到正无穷大。
相对标准偏差的计算方法如下：1. 首先，计算数据集的平均值。
将数据集中所有数据的数值相加，然后除以数据个数，得到平均值。
2. 然后，计算数据集的标准偏差。
标准偏差是衡量数据集中数据分散程度的统计量，它可以反映数据集的稳定性和一致性。
标准偏差的计算公式如下：σ = √(Σ(xi μ)² / n)。
其中，σ表示标准偏差，Σ表示求和，xi表示第i个数据点的数值，μ表示数据集的平均值，n表示数据个数。
3. 最后，利用标准偏差和平均值计算相对标准偏差。
将标准偏差除以平均值，然后乘以100%，得到相对标准偏差的百分比值。
相对标准偏差的应用：1. 质量控制，在工业生产中，可以利用相对标准偏差来评估产品质量的稳定性和一致性，帮助企业进行质量控制。
2. 数据分析，在科学研究和实验数据分析中，可以利用相对标准偏差来比较不同数据集的变异程度，评估数据的可靠性和稳定性。
3. 财务管理，在财务数据分析中，可以利用相对标准偏差来评估投资组合的风险和收益，帮助投资者进行风险管理和决策。
总之，相对标准偏差是一种重要的统计量，它可以帮助我们衡量数据的稳定性和一致性，对于数据分析和决策具有重要意义。
通过合理地计算和应用相对标准偏差，可以更好地理解和利用数据，为各种领域的实践活动提供有力的支持。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：S-标准偏差（%）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i−Xσ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差和相对标准偏差
标准偏差和相对标准偏差标准偏差和相对标准偏差是统计学中常用的两个概念，它们在数据分析和比较中起着重要的作用。
本文将对这两个概念进行详细的解释和比较，帮助读者更好地理解它们的含义和用途。
标准偏差是衡量一组数据的离散程度或波动程度的统计量。
它表示数据点相对于平均值的分散程度，是数据分布的一个重要参数。
标准偏差越大，说明数据点相对于平均值的偏离程度越大，数据的波动性也越大；标准偏差越小，说明数据点相对于平均值的偏离程度越小，数据的波动性也越小。
标准偏差的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i\mu)^2} \]其中，\( \sigma \) 表示标准偏差，\( N \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 i 个数据点，\( \mu \) 表示平均值。
相对标准偏差是标准偏差与平均值的比值，用来衡量标准偏差在平均值中所占的比重。
相对标准偏差越大，说明标准偏差在平均值中所占的比重越大，数据的波动性相对较大；相对标准偏差越小，说明标准偏差在平均值中所占的比重越小，数据的波动性相对较小。
相对标准偏差的计算公式如下：\[ RSD = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\% \]其中，\( RSD \) 表示相对标准偏差，\( \sigma \) 表示标准偏差，\( \mu \) 表示平均值。
标准偏差和相对标准偏差都是衡量数据波动性的重要指标，但它们各自的应用场景有所不同。
标准偏差通常用于衡量同一组数据的波动程度，比如一个班级学生的考试成绩；而相对标准偏差则更适用于不同组数据之间的比较，比如不同班级学生的考试成绩。
在实际应用中，我们可以根据具体的分析需求选择合适的指标来衡量数据的波动性。
总之，标准偏差和相对标准偏差是统计学中常用的两个概念，它们在数据分析和比较中起着重要的作用。
通过对这两个概念的深入理解和灵活运用，我们可以更好地分析和解释数据，为决策提供科学依据。
分析化学计算公式汇总
分析化学主要计算公式总结第二章误差和分析数据处理（1）误差绝对误差δ=x-μ相对误差=δ/μ*100%(2)绝对平均偏差：△=（│△1│+│△2│+……+│△n│）/n （△为平均绝对误差；△1、△2、……△n为各次测量的平均绝对误差）。
（3）标准偏差相对标准偏差（RSD）或称变异系数（CV） RSD=S/X*100% (4)平均值的置信区间：＊真值落在μ±1σ区间的几率即置信度为68.3%＊置信度——可靠程度＊一定置信度下的置信区间——μ±1σ对于有限次数测定真值μ与平均值x之间有如下关系：s：为标准偏差n：为测定次数t：为选定的某一置信度下的几率系数(统计因子) (5)单个样本的t检验目的：比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。
计算公式：t统计量：自由度：v=n - 1适用条件：(1) 已知一个总体均数；(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；(3) 样本来自正态或近似正态总体。
例1 难产儿出生体重n=35, =3.42, S =0.40,一般婴儿出生体重μ0=3.30（大规模调查获得），问相同否？解：1.建立假设、确定检验水准αH0：μ = μ0（无效假设，null hypothesis）H1：（备择假设,alternative hypothesis，）双侧检验，检验水准:α=0.052.计算检验统计量，v=n-1=35-1=343.查相应界值表，确定P值，下结论查附表1，t0.05 / 2.34= 2.032,t< t0.05 / 2.34,P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义(6)F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差 S^2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。
至于两组数据之间是否存在系统误差，则在进行F检验并确定它们的精密度没有显著性差异之后，再进行t 检验。
样本标准偏差的平方，即(“^2”是表示平方)：S^2=∑(X-X平均)^2/(n-1)两组数据就能得到两个S^2值，S 大^2和S 小^2 F=S 大^2/S 小^2由表中f 大和f 小（f 为自由度n-1),查得F 表， 然后计算的F 值与查表得到的F 表值比较，如果 F < F 表 表明两组数据没有显著差异； F ≥ F 表 表明两组数据存在显著差异(7)可疑问值的取舍： G 检验法 G=Sxx -第4章 酸碱滴定法（1）共轭酸碱对Ka 与Kb 间的关系：KaKb=Kw（2）酸碱型体平衡浓度([ ]),分析浓度（c ）和分布系数（δa ）之间的关系(3)一元强酸溶液的pH 的计算 [H +]=24w2K c c ++ 精确式pH=－lg c 近似式 （4）一元弱酸溶液pH 的计算 [H +]=wa ]HA [K K + 精确式（5－11）（关于[H +]的一元三次方程）其中 [HA]=c [H +]/（[H +]+K a ）·若[A －]＞20[OH －]（即cK a ＞20K w ），可以忽略因水解离产生的H +PBE 简化为 [H +]≈[A －]∴ [H +]=a a])H [(]HA [K c K +-= (5－12)·若不但cK a ＞20K w ，而且c /K a ＞400（即c ＞20[A －]或c ＞20[H +]），也就是弱酸的解离度[A －]/c ＜0.05，就可以忽略因解离对弱酸浓度的影响，于是[HA]≈c∴ [H +]=acK最简式·若cK a ＞20K w ，c /K a ＜400，由式（5－12）可得[H +]=24a2a a cK K K ++- 近似式（1）·若cK a ＜20K w ，C/K a ＞400（适用于酸极弱、且浓度极小的情况，此时[HA]≈c ），由式（5－11）可得 [H +]=wa K cK +近似式（2）（5）多元酸溶液pH 的计算最简式 ][H A][H 1a 2cK c =∴≈+(6)两性物质（NaHA ）溶液pH 的计算最简式][H 21a a K K =+(7)缓冲溶液pH 值的计算 最简式:[H+]=ca/cb*Ka第五章 络合滴定法 （1）酸效应系数：)(H Y α==][][][][][][][62'Y Y H Y H HY Y Y Y ++++= ==1/Y δ在副反应中分布分数Y δ与)(H Y α互为倒数⑴)(H Y α==621621211456][][][a a a a a a a a a K K K K K K H K K H K H ++++++++==1+4556][][][2a a a a K H K K H K H ++++++6534][aa a K K K H ++6534][a a a K K K H ++6534][a a a K K K H +（2）共存离子效应系数αY （N ）)(N Y α==][][][Y NY Y + 因为[NY]==K NY [N][Y] 故：)(N Y α==1+ K NY [N]（3）EDTA 与H+及N 同时发生副反应的总的副反应系数αY ，Y α==)(H Y α+1)(-N Y α(4)被测金属离子M 的副反应系数αM ：][][][][][][][2')(M ML ML ML M M M n L M ++++==== α= 1+nn L L L ][][][221βββ+++若有P 个络合物与金属发生副反应，则：)(N Y α=)(1N Y α+)(2NY α+…+）（n N Y α-（n-1）化学计量点pM ’的计算 pM ’=1/2[p cM(sp)+lgK’MY](7)金属离子指示剂颜色转变点（变色点）pM t 值的计算 pM t =lgK MIn -lg αIn(H) (8)滴定终点误差%1001010',''⨯-==∆-∆MYSP M pM pM t KC E（9）直接准确滴定金属离子的可行性判据：6lg ',≥MYsp M KC第六章 氧化还原滴定法（1）氧化还原电对的电极电位——Nernst 方程式)Red ()Ox (lg0.059)Ox /Red ()Ox /Red (θa a n E E +=（2）以浓度替代活度，且考虑到副反应的影响，则电对在25C 时的条件电位lg059.0/OR RO n E Eαγαγθθ+=（3）氧化还原反应的条件平衡常数K ’(25C 时)059.0)n'E ' (E K' Lg 21︒-︒=（4）氧化还原滴定化学计量点时的电位值φsp212211sp n n 'E n 'E n E +︒+︒=（5）氧化还原滴定突跃范围计算式 φ2‘+0.59*3/n 2(V)—φ1‘+0.59*3/n 1(V) （6）氧化还原指示剂变色的电位范围 φ‘±0.059/n(V)第7章沉淀滴定法和重量滴定法主要计算公式（1）沉淀溶解积 pKsp=pAg+pX(2)化学计量点 pAg=pX+1/2pKsp(3)质量分数计算ω=(CV*M/1000)/m s*100%(4)1:1型的MA沉淀溶解度的计算S='Ksp=KspaMaA(4)化学因数（或称换算因数）Fm’=mF (m为称量形式的质量，m’为被测成分的质量) （6）被测成分的质量分数ωω=mF/me*100%第八章电位分析法及永停分析法主要计算公式（1）电池电动势： E电池=φ（+）-φ（-）（2）直接电位法测定溶液pHpH x=PH s+(E x-E s)/0.059(25C)(3)离子选择电极的电位φφ=K±2.303RT/F*lg ai= K’±2.303RT/F*lg ciK’=K±2.303RT/nF*lg(f i/a i)（5）离子选择电极两次测量法计算待测溶液中离子的浓度 Ex-Es=±2.303RT/nF*(lg cx -lg cs ) (6)标准加入法计算待测溶液的离子浓度XS E S X SS X V V V V C C ⋅⋅+=⇒∆10)(nFRTS 303.2)1()2(=-式，且令式（7）直接电位法测量误差的计算式 △c/c=nF/RT*△E ≈39n △E第9章 光学分析法概论 主要计算公式（1）光的波动性用波长λ，波数σ和频率υ作为表征 λ是在波的传播路线上具有相同振动相位的相邻两点之间的线性距离，常用nm 作为单位。
标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版)
标准偏差相对标准方差的计算公式准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。
常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg,为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
偏差：单次测量值与样本平均值之差：平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。
相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
准确度与精密度的关系：1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。
换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。
重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般要求低于5%数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……l n。
常用测量计算公式
常用测量计算公式相对标准偏差：RSD=S/Χ*100%其中S为标准偏差,x为测量平均值.相对标准偏差RS D就是变异系数：变异系数的计算公式为：cv = S/x(均值）×100%标称误差=（最大的绝对误差）/量程x 100%绝对误差= | 示值- 标准值| （即测量值与真实值之差的绝对值）相对误差= | 示值- 标准值|/真实值（即绝对误差所占真实值的百分比）(δ—实际相对误差，一般用百分数给出，△—绝对误差，L—真值)另外还有：系统误差：就是由量具，工具，夹具等所引起的误差。
偶然误差：就是由操作者的操作所引起的（或外界因素所引起的）偶然发生的误差。
准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。
常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
偏差：单次测量值与样本平均值之差：平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
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标准偏差相对标准方差的计算公式准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。
常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
偏差：单次测量值与样本平均值之差：平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。
相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
准确度与精密度的关系：1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。
换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。
重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般要求低于5%数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i− Xσ2 = l2− X……σn = l n− X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为(3)令则,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
即S1和S仅相差一个系数Kσ计算Kσ时用到Γ(n + 1) = nΓ(n)Γ(1) = 1由表1知, 当n>30时, 。
因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。
在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<10时, 由于Kσ值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。
这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最大似然估计将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到(4)式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"R"表示。
所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则R = lmax− l min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5)S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2由表2知, 当n≤15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为(5')还可以看出, 当200≤n≤1000时，因而又有(5")显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。
当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、, 再由各组极差求出极差平均值。
极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。
再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
标准偏差σ的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出(A)可以证明与的关系为(证明从略)于是(B)由式(A)和式(B)得从而有式(6)就是佩特斯(, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。
但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应用实例[1]对标称值Ra = 0.160 < math> μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。
解：1)先求平均值2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3组号l_1 l_5 R1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.192 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.313 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24因每组为5个数据, 按n=5由表2查得故若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15，由表1查得Kδ = 1.018, 则若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则= 0.09296( < math> μm < math > )若按平均误差估计公式即式(6), 则现在用式(5')对以上计算进行校核可见以上算得的S、S1、S2、S3和S4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即S2 < S < S1 < S4 < S3可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S1又大, 平均误差估计值S4再大, 极差估计值S3最大。
纵观这几个值, 它们相当接近, 最大差值仅为0.01324μm。
从理论上讲, 用无偏估计值和常用估计比较合适, 在本例中, 它们仅相差0.0017μm。
可以相信, 随着的增大, S、S1、S2、S3和S4之间的差别会越来越小。
就本例而言, 无偏极差估计值S3和无偏估计值S1仅相差0.0083μm, 这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%～17%, 标准偏差应在标称值的4%～12%之间。
已得本样块二产,产均在规定范围之内, 故该样块合格。
标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。
用σ表示。
因此，标准差也是一种平均数。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
有人经常混用均方根误差（RMSE）与标准差（Standard Deviation），实际上二者并不是一回事。
1.均方根误差均方根误差为了说明样本的离散程度。
均方根误差（root-mean-square error ）亦称标准误差，其定义为，i＝1，2，3，…n。