2020高考数学用参数方程与极坐标思维导图突破解析几何压轴题(含多种解法11页)

2020高考数学用参数方程与极坐标思维导图突破解析几何压轴题

压轴试题

本专题所说的参数方程不仅指直线和圆锥曲线的参数方程，还包括在解题过程中要根据具体情况自行选取的参数.参数在解题过程中起到“桥梁”作用，用参数沟通其他量之间的关系，最后消去参数，达到解题目的.

本专题思维导图如右

参数作用似桥梁 一桥飞架联系畅 直线曲线都已知

其他选参代表强

思路点拨

要求2

1x y -=，就要把P 的坐标表示出来，注意到曲线是半圆，想到圆的参数方程，转化为三角函数

最值问题；当然，P 的坐标也可以用（x ，y ）表示，最终可转化为x 代数式求最值；由于||=2BA u u u r

是定值，

由数量积的投影几何意义可知，只要求BP u u u r 在BA u u u r

上投影的最大值，于是，有下面三种解法：

解1设(cos ,sin ),[0,]P θθθπ∈，则(1,1),(cos ,sin 1)BA BP θθ==+u u u r u u u r

，

cos sin 12sin()14

BA BP π

θθθ⋅=++=++u u u r u u u r .

因为

54

4

4π

π

πθ≤+

≤

，所以2sin()124πθ-≤+≤，故0sin()+12 1.4

π

θ≤+≤+ 解2 设(,),11P x y x -≤≤，则+1.BP BA x y ⋅=+u u u r u u u r

那么

222222()121112x y x x x x x x +=+-+-≤++-=，

例1在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线2

1x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是_____. 参数方程与极坐标方程

把原题给出的参数方程或极坐标方程化成普通方程解题，或直接利用两种方程解题 原题给出普通方程，根据两种方程中相关量的几何意义，选择一种方程解题 利用参数方程或极坐标简化计算

所以2x y +≤

，当且仅当2=1x x -，即2

=

x 时等号成立； 当1x =-时，1x y +=-，所以 02 1.x y ≤+≤

+

解3由=||||cos BP BA BP BA PBA ⋅⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r ，||=2BA u u u r ，BP BA u u u r u u u r g 的

最大值就是BP u u u r 在BA u u u r 上投影的最大值的2倍，这只要作BA u u u r

的垂线

且与半圆相切，如图的点'

P .

当P 位于''

P 时，此时直线''

P B 恰与BA u u u r

垂直时数量积最小，最

小值为0.

设直线'P M 的方程为y x b =-+，圆心到直线的距离

1,2

d =

=解得2,2b b ==-（舍）

，因此，在2||(21)BM =⨯+. 所以BP BA u u u r u u u r g =|||

|BM BA ⋅u u u u r u u u r 2

=(21)22 1.2

⨯+⋅=+ 综上所述，BP BA u u u r u u u r

g 的取值范围是[0,21].+

思路点拨

设出点()

()22,2,,P pt pt M x y ，用参数t 表示x ，y ，把直线OM 的斜率表示成t 的函数，然后求最值.

设()()2

2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则2

2,2.2p FP pt pt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

u u u r 13FM FP =u u u u r u u u r ，所以

22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩即22,33

2,3p p x t pt y ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

例2设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 （ ） （A ）

33 （B ）23

（C ）2

2 （D ）1

所以

2

21

1

212

2

OM

t

k

t t

t

==≤=

++

，所以(

)

max2

OM

k=，故选（C）.

思路点拨

第（1）题将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可.第（2）题将参数方程直接代入距离公式即可.

满分解答

将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为+.

（1）当a=-1时，代入可得直线为，

由解得或，

故而交点为或.

（2）点到直线+的距离为

d==

3

tan

4

ϕ=.

依题意得：

max

d

若40

a+<，则当时最大，即，；

当+40

a≥，则当时最大，即，，

综上或.

2

21

9

x

y

+=

11

1

44

y x a

=-+-

11

1

44

y x a

=-+-

13

44

y x

=-+

22

13

44

99

y x

x y

⎧

=-+

⎪

⎨

⎪+=

⎩

21

25

24

25

x

y

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

3

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

2124

,

2525

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

()

3,0

3cos,

sin,

x

y

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

11

1

44

y x a

=-+-

11

1

44

y x a

=-+-

()

sin1

θϕ

+=5417

a

--=16

a=-

()

sin1

θϕ

+=-917

a+=8

a=

16

a=-8

a=