02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
例如
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当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
的极限是0.
证明 因为e 0, N=[ log|q|e 1]N, 当nN时, 有 |qn-1-0|=|q|n-1<e ,
分析:
对于e 0, 要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e , 只要n>log|q|e 1就可以了.
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e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
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二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界.
注:
如果M0, 使对nN, 有|xn|M, 则称数列{xn}是有
界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列{xn}是无界的.
2, 4, 8, , 2n , ;
1, -1, 1, , (-1)n1, .
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❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
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❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 证明 设数列{xn}收敛于a.
根据数列极限的定义, e =1, NN+, 当n>N 时, 有
于是当n>N时,
|xn-a|<e =1.
|xn|=|(xn -a)a| | xn-a||a|<1|a| . 取M=max{|x1|, |x2|, , |xN |, 1|a|}, 那么N+, 有|xn|M. 这就证明了数列{xn}是有界的.
(
)
a-e a ae
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例1 证明
e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
分析:
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例2 证明
e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
分析:
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e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
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❖数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的
实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , ,
这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 数列举例:
•讨论
对于某一正数e 0, 如果存在正整数N, 使得当nN时, 有|xn-a|e 0. 是否有xna (n).
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二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 证明
使当n>N时, 同时有 因此同时有
这是不可能的. 所以只能有a=b.
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§1.2 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
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一、数列极限的定义
❖引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, ,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
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二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. •讨论
1. 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 发散 的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
•极限定义的简记形式
e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
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e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
❖数列极限的几何意义
任意给定a的e邻域(a-e, ae), •存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-e, ae)外: •当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-e, ae)内:
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a.