练习册 第13章《静电场中的导体和电解质》答案

第13章 静电场中的导体和电解质

一、选择题

1(D)，2(A)，3(C)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B)

二、填空题

(1). 4.55×105 C ；

(2). σ (x ，y ，z )/ε

0，与导体表面垂直朝外(σ > 0) 或 与导体表面垂直朝里(σ < 0). (3). εr ，1， εr ； (4). 1/εr ，1/εr ；

(5). σ ，σ / ( ε 0ε r )； (6).

R

q 04επ ；

(7). P ，－P ，0； (8) (1- εr )σ / εr ； (9). 452； (10). εr ，εr

三、计算题

1.如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a

dq

U q 04επ=

⎰-a

q

04επ-=

(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点 产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ=

a q 04επ-

b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εb

Q

04επ+

2. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布 为 )2/(r E ελπ= 设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为

⎰⎰⋅π==R r

R

r r r r E U d 2d ελ 0ln 2r R

ελπ=

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有

002E r ελπ=，0

00ln r R E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，

即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得 e R r /0=，显然有

2

2d d r U < 0，

故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压 e RE U /0max = = 147 kV.

3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R 1，外筒半径为R 2 (R 2＜2 R 1)，其间充有相对介电常量分别为εr 1和εr 2＝εr 1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ．若两种介

质的击穿电场强度相同，问：

(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？

(2) 该电容器能承受多高的电压？

解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋λ和－λ．两筒间电位移的大小为 D ＝λ / (2πr ) 在两层介质中的场强大小分别为

E 1 = λ / (2πε0 εr 1r )， E 2 = λ / (2πε0 εr 2r ) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即

E 1M = λ / (2πε0 εr 1R 1)， E 2M = λ / (2πε0 εr 2R ) 可得 E 1M / E 2M = εr 2R / (εr 1R 1) = R / (2R 1)

已知 R 1＜2 R 1， 可见 E 1M ＜E 2M ，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到λM ，使E 2M ＝E M 时，即被击穿，

λM = 2πε0 εr 2RE M 此时．两筒间电压(即最高电压)为：

r r r r U R R r M R

R r M d 2d 22

1

201012⎰⎰

+=επελεπελ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=R R R R RE r r M r 22112ln 1

ln 1εεε

4. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d (d 远小于极板线度)，在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t (

(1) 电容C 于多少？ (2)

金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 )/(01S q E ε=

金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε= 金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为

2211d E d E U U B A +=- )(210d d S q

+=

ε)(0t d S

q -=ε 由此得 )/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε

因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响．

A

5. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q

和-Q ．设 (b - a ) << a ，L >> b ，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容；

(2) 电容器贮存的能量．

解：由题给条件 (a a b <<-)和b L >>，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两 筒之间的场强为： )2/(0Lr Q E r εεπ= 两筒间的电势差 =π=

⎰r dr

L Q

U b

a

r εε02a b L Q r ln 20εεπ 电容器的电容 )]//[ln()2(/0a b L U Q C r εεπ== 电容器贮存的能量 22

1

CU W =

)/ln()]4/([02a b L Q r εεπ=

6. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为ε1和ε2．当电容器带电荷±Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为ε1的介质板抽出，试求外力所作的功．

解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为

d S C 112ε=

，d S

C 222ε= 串联后的等效电容为 ()

21212εεεε+=d S

C

带电荷±Q 时，电容器的电场能量为 ()S d Q C Q W 21212242εεεε+== 将ε1的介质板抽去后，电容器的能量为 ()S d Q W 202024εεεε+='

外力作功等于电势能增加，即 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-'=∆=102114εεS d Q W W W A

7. 如图所示，将两极板间距离为d 的平行板电容器垂直地插入到密度为ρ、相对介电常量为εr 的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U 不变，试求液体上升的高度h ．

解：设极板宽度为L ，液体未上升时的电容为 C 0 = ε0HL / d 液体上升到h 高度时的电容为