第2章 无限大均匀各向同性介质中的光波场I

设单色平面波沿x方向传播，则场量E和B仅 与x和t有关，代入亥姆霍兹方程得：
v d v 2 E( x) + k E( x) = 0 2 dx v+ v ikx 上式的一个解为： E ( x ) = E0 e v百度文库 v − ikx v+ 或 E ( x) = E e = [E ( x )]* 0
2
其中，E+(x)和E-(x)分别表示正向和反向传播 的平面波。是复振幅互为共轭的相位共轭波.
v v 1 v v i B = − ∇×E = k ×E
ω
ω
（2.1.10）
v v 1 v v v 因此有，k ⋅ B = k ⋅ ( k × E ) = 0
ω
显然，磁感应强度矢量B也与波矢量k正交， 表明平面电磁波也是横磁波。同时，场矢量 E与B正交，因此，平面电磁波也是横电磁 波，且E、B、k相互正交，成右手螺旋。
v ∑ pi
i
其中，介质的极化强度P表示在某一体元ΔV 内的分子偶极矩的平均值：
v P=
∆V
上式中分子偶极矩为：
v v pi = qi l
通过求解有源空间的达朗贝尔方程，可 得到电偶极辐射场的电场强度矢量和磁感应 强度矢量如下：
v v E(r , t ) =
v d p 1 ikr ˆ (sin θ )e θ 0 （2.2.6） 2 2 4πε 0 c r dt
第2章 无限大均匀各向同性介质 中的光波场
§2.1 平面波 §2.2 球面波与柱面波 §2.3 光波场的色散 §2.4 光波场的偏振态与琼斯矢量
§2.1 平面波
2.1.1 单色平面波的波函数 平面波的特点：其场量E和B在垂直于传播方 向的平面上各点的振幅与相 位取相同值。
y, z k x 等相面与等幅面
α
O
γ
fz z
fy
y
β
平面波的空间频率分量
如上图，若以（cosα, cosβ, cosγ）表示 某一单色平面光波波矢量k的方向余弦，则 2 v2 ⎛ 2π ⎞ 2 2 2 2 k = k = kx + k y + kz = ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠ 2π 2π 2π kx = cosα k y = cos β k z = cosγ
µr ⋅ η0 εr
③ 何谓“阻抗”？
阻抗——电阻、电容抗及电感抗在向量上的和。
举例
电视天线75Ω；音响喇叭4Ω/8Ω等。代 表什么？ —— 1kHz的正弦波… …
2.1.4 平面波的能量密度与能流密度 问题 电场与磁场的振幅相差很大， 那么电场能量与磁场能量的量值关 系如何？是否相等？
将上式（2.1.12）代入电磁场能量表达式 并利用物质方程，可得均匀各向同性介质中 平面波的能量密度为：
v v 令 f = k / 2π ，则
λ
λ
λ
fx =
cosα
λ
fy =
cos β
λ
fz =
cosγ
λ
v2 2 2 2 2 2 f = f = fx + f y + fz = 1 λ
（2.1.22b）
矢量f 的大小等于波长的倒数，反映了波 动的空间频率特性（波长即空间周期），故 称之为平面光波的空间频率矢量。 但与振动频率不同，空间频率f 是矢量， 其方向代表该平面光波的传播方向。波长相 同而传播方向不同的平面光波，其空间频率 矢量f 不同。
v v v ikv⋅r v 其正向传播电矢量表示为： E ( r ) = E0 e v v v v v 或 E ( r ) = E0 cos( k ⋅ r )
式中k为波矢量，大小为 k = ω εµ =
一般地，当平面波沿任意方向传播时，
2π
λ
，方向
代表平面波法线方向；r为位置矢量。 考虑到时间变化，则正向传播的单色平 面波场电矢量所满足的亥氏方程的解表示为:
{
[(
)]}
)]}
v v 1 1 v v 2 w( r , t ) = ∫ w( r , t )dt = εE0 ∫ 1 + cos 2 ωt − k ⋅ r dt T 0 2T 0
（2.1.16）
T
T
{
[(
1 2 = εE0 2
对时间周期求平均值
同理，将（2.1.10）式代入能流密度矢量的 定义式，可得平面光波的能流密度表达式： v 1 v v v 1 2v v S= E × k × E） = E k = wvφ （2.1.17） （
《高等工程光学》
第二章
无限大均匀各向同性介质中 的光波场 I
本章概要
由电磁波动方程和相应的物质方程，原 则上可得到任意边界条件下光波场的解。但 对较复杂的边界条件，可能无法得到实际的 解析解。根据线性叠加原理，可将复杂问题 分解处理而得以简化。 因此，本章介绍几种简单光波场的传播 特性，并讨论光波场的色散规律，最后讨论 平面光波场的偏振态及其数学描述。
（2.2.5a）
（2.2.5b）
实际中理想的“点源”是不存在的，因而 理想的球面波或平面波也不存在。按照经典 辐射理论，原子或分子可看作为一个振荡的 电偶极子向空间辐射光波。 在外加电场E的作用下，介质的分子被 极化，产生剩余电荷。若介质均匀，则在界 面上产生剩余电荷；若不均匀，则会在介质 内部产生。此剩余体电荷被称为束缚电荷。
µω
µω
1
将（2.1.16）式代入上式得平均能流密度：
1 S = w vφ = ε E 02 ⋅ 2 1 = 2 εµ
ε 2 E 0 （2.1.18） µ
表明：自由空间中，平面光波的平均能流密 度 正比于电场强度振幅的平方。在光频波 段，通常称平均能流密度为光强度[ I ]。
对于光频波段及非铁磁介质，有 µr=1，
dr ω = vφ = dt k
可见，平面波的相速度即波动方程中的光速. 注意 只有在各向同性的均匀介质中，相速
度才与光速相等。
2.1.3 单色平面波场矢量k、E、B之间的关系
问题 ① 为何说：“平面电磁波是横波”？ ② 为何通常所讲的光振动矢量是指E 矢量，其振动方向就是光波的偏振方 向？
由麦氏方程组第3式，对于无源介质空间 的平面波解可得：
v v v ③ 电矢量E在空间满足关系 ∇ ⋅ E = 0和E ⊥ B
1 1 2 2 2 2 w = (εE + µH ) = εE = B （2.1.14） 2 µ
尽管电、磁矢量的振幅相差很大，但电场 能量和磁场能量相等，各占总能量的一半。
对于瞬态平面光波场，将（2.1.4b）式代 入上式（2.1.14）得瞬时能量密度： v v 1 2 v 2 v w( r , t ) = εE ( r , t ) = εE0 1 + cos 2 ωt − k ⋅ r 2 一个周期T内的平均值为：
2.1.2 单色平面波的等相面与相速度 波矢k与位置矢r的点积反映了电磁波在 空间传播过程中的相位延迟量。
v v 等相（位）面：通常将 k ⋅ r = 常数 的空
间点的集合称为～。 相速度：等相面沿其法线方向移动的速 度称为～。其大小为： v = dr φ
dt
显然，平面波的等相面是一簇平行平面，且 与波矢方向处处正交，故相速度与波矢方向 相同，大小有下关系：
（2.2.3b）
其中，（2.2.3a）式描述的是一个自源点向 外发散的球面波，而（2.2.3b）是描述一个 向源点会聚的球面波。（示意图如下）
k, r k
图2.2.1 发散球面波E+(r)
图2.2.2 会聚球面波E－(r)
如图所示，两个球面波的复振幅（相位） 互为共轭，故称之为一对相位共轭波。
考虑到源点振动的时间变化部分，发散球面 波电矢量的完整形式为：
v v v −i (ωt −kv⋅r ) v E ( r , t ) = E0 e
（2.1.4a）
或
v v v v v E ( r , t ) = E0 cos(ωt − k ⋅ r )
（2.1.4b）
同样，也可将磁矢量B所满足的亥氏方程的 解表示为： v v 或
v −i (ωt −kv⋅r ) v B( r , t ) = B0 e （2.1.5） v v v v v B( r , t ) = B0 cos(ωt − k ⋅ r )
v v − i (ωt −kv⋅r ) v ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ E0 e v v −i (ωt −kv⋅r ) v = ik ⋅ E0e v v = ik ⋅ E = 0
v v k ⋅E =0
可见，电场强度矢量E与波矢量k正交，故平面 电磁波是横电波。
同样，将（2.1.4a）代入（1.2.13a）式得：
波阻抗（η0、η） 真空中的波阻抗（η0）定义为
η0 =
v −7 µ0 E 4π × 10 = 377(Ω) = v = −12 ε0 H 8.85 × 10
η0 又称为真空中的本征阻抗，它表示真空中
均匀平面波的电场强度与磁场强度的振幅值之 比。
介质中的波阻抗（η）为
η=
v µ E = v = ε H
2
v v v d p 1 ˆ B( r , t ) = (sin θ )eikrφ0 （2.2.7） 2 2 4πε 0 c r dt
2
ˆ ˆ θ 0 和 φ0 分别表示球坐标 式中矢量p为偶极矩，
中经向和纬向坐标的单位矢量。
k
θ p
B E
图2.2.3 电场与磁场的空间取向
讨论
① 如图2.2.3所示，电偶极辐射场是一个近似 的单色球面偏振波。 ② 对于磁矢量B恒正交于波矢量k，磁力线为 纬线圆周，故磁场为横向的。
在以波源点为原点的球面坐标系中，波矢量k 总与矢径r同向，各场量仅与矢径大小有关，
v v v 2 v 1 ∂ ⎡ 2 ∂ E ( r ) ⎤ ∂ E ( r ) 2 ∂E ( r ) 1 ∂ 2 v ∇ 2 E ( r ) = 2 ⎢r ⎥ = ∂r 2 + r ∂r = r ∂r 2 rE ( r ) r ∂r ⎣ ∂r ⎦
或
v v+ v E0 −i (ωt − kr ) E (r , t ) = e r v v+ v E0 E (r , t ) = cos(ωt − kr ) r
（2.2.4a）
（2.2.4b）
会聚球面波电矢量的完整形式为：
或
v v− v E0 −i (ωt＋kr ) e E (r , t ) = r v v− v E0 cos(ωt + kr ) E (r , t ) = r
由（2.1.10）式可知E与B同相，且两者在介 质（2.1.12）和真空中的振幅比分别为： 真空中 v v E E ω 介 1 1 质 =c =v v = v = = 中 ε 0 µ0 εµ B B k 结果表明 光波场的E矢量的振幅远大于B
矢量，因而引起探测器响应的主要是E矢量。 通常所讲的光振动矢量是指E矢量，其振动 方向就是光波的偏振方向。
εr=n2。由上式可将平面光波强度表示为：
1 2 2 I= S = nE0 ∝ E0 2cµ0
（2.1.19）
通常，在同一介质中且只关心光强的相 对分布时，上式的比例系数可不考虑。但在 比较两种介质中的光强时，必须注意到，比 例系数中的与介质有关的量－折射率n。
2.1.5 单色平面波的空间频率
x fx f
与方位角无关。
[
]
代入亥姆霍兹方程得：
v v ∂ 2 rE ( r ) + k rE ( r ) = 0 2 ∂r
2
[
]
[
]
（2.2.2）
上方程的解应为以下可能形式：
v v+ E0 ikr E (r ) = e r v v− v+ E0 −ikr e = [E ( r )]* E (r) = r
（2.2.3a）
2.2.1 球面波 问题 何谓“球面波”？为什么说“平面 波是球面波的一种极限近似情况？”
2.2.1 球面波
－－等相面为球面的光波。如自由空间中的 点 振 源 向 周 围 各 向 同 性 地 传 播 。 理 想情况 下，球面波等相面上各点的振幅处处相等。 随考察点远离振源，振幅减小，等相面曲率 半径增大，趋于平面。所以，平面波是球面 波的一种特殊情况。
束缚电荷与自由电荷不同，不能自由移 动。极化分子具有感生偶极矩叠加在外电场 上。此时，麦氏方程组中的第3式的电荷密度
ρ应包括自由电荷ρf与束缚电荷ρP两项，即
v ρ f + ρP ∇ ⋅ E = ρ ε0 =
ε0
束缚电荷密度 ρP 可表示为介质极化强 度P散度的负值。
v ρ P = −∇ ⋅ P
利用空间频率的概念，可将平面光波的 电场强度矢量如下表示：
v v v i 2π ( f x x + f y y + f z z ) E(r ) =E 0e
或
（2.1.23）
v v v E ( r ) = E 0cos[2π ( f x x + f y y + f z z )]
§2.2 球面波与柱面波