球的切接问题

球的“接”与“切”：
• 两个几何体相（内）切:一个几何体 的各个面与另一个几何体的各面相 切 • 两个几何体相接:一个几何体的所有 顶点都在另一个几何体的表面上 • 解决“接切”问题的关键是画出正 确的截面，把空间“接切”转化为 平面“接切”问题
球与正方体的“切”“接”问题
探究一： 若正方体的棱长为a，则
练习 1、求棱长为a的正四面体的外接球、 棱切球、内切球的体积之比。
2、正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，
内有一个球与它的四个面都相切．求：
(1)外接球的表面积和体积； (2)内切球的表面积与体积．
解：(1)如图所示，底面正三角形的中心F到一边的距离为
1 3 FD＝ 2 6＝ 2， 2 2 则正三棱锥侧面的斜高PD＝ 1
1 3 2 径分别为: 2 a、2 a、2 a.
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球 设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为:
6 2 6 a、 a、 a. 12 4 4
圆锥的内切球
圆锥的外接球
圆锥内接正四棱柱
1.正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为 2a (1)求它的外接球的体积； (2)求它的内切球的表面积. 2.在半径为15的球内有一个底面边长为12 3 的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积.


(3 2＋2 3) r＝2 3.
2 3 3 2 2 3 2 3 得r＝ ＝ ＝ 6－2， 18 12 3 2 2 3 S内切球＝4 ( 6－2) 2＝(40－16 6) . 4 8 3 V内切球＝ ( 6－2) ＝ (9 6－22) 3 3


1.正方体的内切球、棱切球、外接球 设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
解法2：求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
A B O A B
O
D C C
D
典型：正四面体ABCD的棱长为 a，求其内切球半径r与外接 球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱 锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在球面上，它的 棱长是4cm，求这个球的体积. 2.长方体的共顶点的三个侧面面积分别 为 3，源自文库，15，求它的外接球表面积.
3、 甲球内切于正方体的各面， 乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C.1: 4: 9
2
2 ＝
2
3.
1 S侧＝3 2 6 3＝9 2. 2 2 1 3 S全＝S侧＋S底＝9 2＋ 2 6 ＝9 2＋6 3. 2 2


(2)设正三棱锥P—ABC的内切球的球心为O，连接OP、OA、 OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
VP — ABC＝VO — PAB＋VO — PBC＋VO — PAC＋VO — ABC 1 1 1 ＝ S侧 r＋ S ABC r＝ S全 r＝(3 2＋2 3)r. 3 3 3 2 1 1 3 又VP — ABC＝ 2 6 1＝2 3， 3 2 2
3 3
D. 1: 8: 27
球与正四面体的切与接
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球 的半径． [解] 设正四面体A—BCD的高为AO1，外接 球球心为O，半径为R，如图所示．
二.温故知新
同学们，请看下面球与正方体的三种组合体，你能从中得到什 么结论呢？ D C
A
D1 O
B
C1 B1 球外切正方体（切面） 球外切正方体（切棱）
A1
球内接正方体
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半 2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半 3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
分析：球O与正方体的棱都相切，则由球和正方体 都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方 体的棱的中点都在球面上。
D C D A B C
A
O
B
O C1 B1 D1 C1
D1
A1
A1
B1
探究一： 若正方体的棱长为a，则