高中数学数列求和题型总结

数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q

q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 1+2+3 …+n =

()2

1+n n 222221(1)(21)1236

n k n n n k n =++=++++=

∑L 2333331(1)1232n

k n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑L 如：)...321(...)321211n s n +++++++++++=（）（

3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅ 1

1n a n n =++

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。

7．倒序相加法：2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L

3．错位相减法求和

例1．已知 12n n a n -=•，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n Λ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n a

a a a Λ对应项积，可用错位相减法求和。

解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S Λ ()2)12(5332n n a n a a a aS -++++=Λ

()()n n n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---Λ

当n n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21

)

1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时

4、裂项相消法求和

例1.求和)

12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n Λ 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解: )1

21121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k 1

2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n ΛΛ 7、倒序相加法:已知函数()222

x

x f x =+ （1）证明：()()11f x f x +-=；

（2）求128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L 的值. 8、拆项分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L

解：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L

()()123246235555n n ----=++++-++++L L

()2111553113114515

n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-