华师《组合数学》在线作业答案
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
《组合数学》练习题一参考答案
《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。
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循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意a, b G, G是循环群，有a * b b * a成立，因为循环群中的元素可写成a=xm 形式 所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm＝x m n， a b b a，即所有 的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群， 所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ，
所以有 b rm a m ，则 rm 一定是 m 的倍数，所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4．9 G 是有限群，x 是 G 的元素，则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图： N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……
…
6
…………………………
… …
……
… …
…
…
旋转 360/i，i={n,n-1,n-2,……1}； 得到 n 种置换 当且仅当 i=1 的置换（即顺时针旋转 360/1 度：P1=(c1)(c2)……(cn!);） 时有 1 阶循环存在 （因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对位置都发生了 变化，所以不可能有 1 阶循环存在） 。 不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据 Burnside 引理，
4.18 若以给两个 r 色球，量个 b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多 少种不同的方案。 解：单位元素（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） ，格式为（1）8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为（1234） （5678） ， （4321） （8765） 2 格式为（4） ，同格式的共轭类有 6 个。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。
解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。
组合数学作业答案解析
第二章作业答案7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。
将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。
这样，将这52个整数分成了51组。
由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。
若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。
若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。
11. 一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。
证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。
因为她每天至少学习1小时，所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。
因为总的学习时间不超过60小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。
3721,,,a a a ,13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。
因此，需要45分钟。
17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
华中师范大学职业与继续教育学院《组合数学》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院《组合数学》练习题库及答案一、选择题1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个A.190B.200C.210D.2206. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）A.128B.252C.343D.1927. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）A.576B.504C.720D.336 8. 设n 为正整数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于（）A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，则()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是（）A.n 2B. n 2-C. ()n 2-D.010. 设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3nB. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）A.1440B.-1440C.0D.112. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个A.100B.120C.140D.16014. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （）A.89B.110C.144D.28815. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（）A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （） A.2123--+n n a a B. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为（）A.32+⨯=n n n aB. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a nn ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（） A.x 215- B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种A.45B.36C.28D.2020. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为（）A.5B.10C.15D.2021. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）A.10B.11C.12D.1322. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）A.6B.7C.8D.923. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，则B 的值是（）A.9B.8C.7D.624. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）A.26B.28C.30D.3225. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，则该数列的通项公式是（） A.n n n n a 567++= B. nn n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-=26、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。
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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。
解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。
20春华师《组合数学》在线作业4
(单选题)1: 某学校有12位教师，数学课8位，物理的6位，化学的5位，其中3位兼物理和化学，5位兼数学和物理，4位兼数学和化学，有3位兼三门课程，则除了数理化以外课程的教师有几位（）。
A: 2
B: 4
C: 3
D: 5
正确答案: A
(单选题)2: 设有n条封闭的曲线，两两相交于两点，任意三条封闭曲线不交于一点，求这样的n条封闭曲线把平面分割成几个部分（）。
A: 2(n 2)
B: 2(2 n)
C: 2+2(2 n)
D: 2+2(n 2)
正确答案: D
(单选题)3: 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，女宾不相邻有多少种方案（）。
A: 86400
B: 1209600
C: 43200
D: 92800
正确答案: A
(单选题)4: 用两种颜色给正六面体的八个顶点着色，则有多少种不同的方案（）。
A: 21
B: 22
C: 23
D: 24
正确答案: C
(单选题)5: 由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现；2出现不超过1次；3出现次数可达3次，也可以不出现；4出现次数为偶数，求满足上述条件的个数（）。
A: 200
B: 215
C: 150
D: 100
正确答案: B
(单选题)6: 在100名选手之间进行淘汰赛（即一场比赛的结果，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，要举行几场比赛（）。
A: 51
B: 99。
组合数学试卷汇总(共12套,其中8套有答案)
电子科大2001组合数学（有答案）华师大组合数学及其参考答案某校组合数学期末试卷和参考答案试卷编号：5079 座位号 浙江广播电视大学2006年春季学期开放教育本科期末考试《组合数学》试题2006年7月一、填空题（每小题3分，共15分）1．每位上的数字互异且非零的两位数共有____________个。
2．现在有10双不同的鞋。
为了保证能够有一双鞋被选出，至少要从这20只鞋中取出____________只鞋。
3．712345()x x x x x ++++展开式中231345x x x x 的系数为____________。
4．序列 1, c, c 2, …, c n , …的生成函数是_____________________________________。
5．数值函数f 和g 的卷积f *g 的通项f *g (r) = 。
二、选择题（每小题3分，共15分）1．在100和999之间有 ( ) 个每位上的数字均不同的奇数。
(A) 280(B) 320 (C) 360 (D) 720.2．以下公式正确的是 ( )。
(A)1122n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B)0max 2i n n n n i ≤≤⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎪=⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭(C) 0max 2i nn n n i ≤≤⎛⎫⎧⎫⎛⎫ ⎪=⎨⎬⎡⎤ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(D)11222n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪<> ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．在一个圆盘的四周画上四种不同的图案，共有 ( ) 种画法。
(A) 24 (B) 12 (C) 6 (D) 3.4、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=nk kk n 0)1( ( )。
(A) 2n (B) 0 (C) n2n －1 (D) 1. 5．设S={1,2,3,4,5,6,7}，按字典序5-组合12367的下一个组合是 ( ). (A) 12567 (B) 12376 (C) 12467 (D) 12456.三、解答题（每小题10分，共60分）1．平面上给出25个点，其中没有任何3个点共线。
组合数学第三版@习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≢n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学第三章习题解答
否则： e1 , e2 p5 构造： e2 e1 同样可证明e2-e1既可表示成p1中数之差，也可表示成p2p3p4中 数之差。 e2-e1是1到326中的数，设f=d2-d1
e p1 p2 p3 p4
因此：1到326的326个整数任意分成5部分，其中必有一部分 其中有一个数是另两个数之差，设ai=aj-ah,那么反过来： aj=ai+ah
证明(a)
(a) A B与A B关于B互为余集， 因此 A B B A B
(b) A BC C AC B C A B C A B C与(C B) (C A)互为余集. A B C C (C B) (C A) C C A C B A B C
3.6 在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其间 距离小于 2 证 把１×１正方形分成四个相等的小正 方形．如下图：
2
则这５点中必有两点落在同一个小正方形 内．而小正方形内的任两点的距离都小于
1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 2
3.7 在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点距离 小于1/2
3.15,N={1,2,...,120},求其中被2,3,5,7,m个数除尽的数的数目， m=0,1,2,3,4。求不超过120的素数的数目。
解 设A2：被2整除的数的集合 A3：被3整除的数的集合 A5：被5整除的数的集合 A7：被7整除的数的集合
120 120 120 120 A2 60, A3 40, A5 24, A7 17 2 3 5 7
i 1
6
i
12 C (6,1)
Ai 12 C (6,1) 6 C (6,2) 4 C (6,3) 3 C (6,4) 2 C (6,5) C (6,6) 72 90 80 45 12 1 28
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
(完整word版)组合数学第一章答案. (2)
１.１ 从{}5021，，，⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,，使其满足 （1） 5||=-b a ；（2）5||≤-b a解：（1）根据5||=-b a 可得 55-=-=-b a b a 或 则有种种4545 共有90种。
（2）根据5||≤-b a 得 )50,,2,1(,55{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b则：当5≤b 时，有 1=b ， 61≤≤a ， 则有 6种 2=b ， 71≤≤a ， 则有7种 3=b ， 81≤≤a ， 则有8种 4=b ， 91≤≤a ， 则有 9种 5=b ， 101≤≤a ， 则有10种 当455≤<b 时，有 6=b ， 111≤≤a ， 则有 11种 7=b ， 122≤≤a ， 则有 11种. . . . . . . . . 45=b ， 5040≤≤a ， 则有11种 当5045≤<b 时，有 46=b ， 5041≤≤a ， 则有 10种 47=b ， 5042≤≤a ， 则有 9种 48=b ， 5043≤≤a ， 则有 8种 49=b ， 5044≤≤a ， 则有 7种 50=b ， 5045≤≤a ， 则有 6种故：共 种520)678910(21140=+++++⨯1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，总方案数为5！×8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×58P（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B 女生x 女生y 女生z A 的形式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为35P ，考虑A,B 可以换位，方案为2×35P ，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数2×35P ×8！1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m,n 都是正整数,若 （a ）男生不相邻（m ≤n+1）；（b ）n 个女生形成一个整体； （c ）男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。
.《组合数学》测试题含答案2
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生，那么以下说法正确的选项是〔〕A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，那么不同的排列方法是〔〕A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，那么站位方法总数为〔〕A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法〔〕A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，那么这样的有序数对()y x ,共有〔〕个6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是〔〕A.128 B7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为〔〕8. 设n 为正整数，那么∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于〔〕A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，那么()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是〔〕A.n 2B. n 2-C. ()n2- 10. 设n 为正整数，那么当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是〔〕12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为〔〕 A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有〔〕个14. (){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，那么()=10f 〔〕15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是〔〕A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. ()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，那么当2≥n 时，=n a 〔〕A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为〔〕 A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n n ，那么数列{}0≥n n a 的常生成函数是〔〕A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有〔〕种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为〔〕21. 局部数为3且没有等于1的局部的15-分拆的个数为〔〕22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示局部数为k 的n-分拆的个数，那么()116P 的值是〔〕23. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，那么B 的值是〔〕24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是〔〕A.26B.2825. 数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，那么该数列的通项公式是〔〕A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，那么使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，那么其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
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B.20
C.15
D.10
答案:A
10.求从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数为（）。
A.166
B.233
C.100
D.33
答案:B
11.若有1克，2克，3克，4克的砝码各一枚，则能称出5克的方案有多少种（）。
A.1
B.2
C.3
D.0
答案:B
12.从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，则从A经B到C的道路数为（）。
A.248
B.249
C.250
D.251
答案:B
22.正六面体的每一个面上任意作一条对角线，有多少种方案（）。
A.6
B.12
C.16
D.8
答案:D
23.某单位有8个男同志，5个女同志，现要组织一个数目为偶数的男同志，和数目不少于2的女同志组成的小组，则有多少种组成方式（）。
A.1358
B.3328
C.1708
A.2
B.4
C.3
D.5
答案:A
5.10^40和20^30的共因数的书目为（）。
A.1000
B.1200
C.1400
D.1600
答案:B
6.n个完全一样的球放到m个有标志的盒子中，不允许有空盒，其中n≥m，则有多少种不同的方案（）。
A.C(n-1,m)
B.C(n,m-1)
C.C(n-1,m-1)
D.C(n,m)
答案:C
7.从0到1000000的整数中，0出现了多少次（）。
A.488800
B.500000
C.488895
D.488900
答案:C
8.设6个引擎分别为分列两排，要求引擎的电火顺序两排交错开来，试求从一个特定的引擎开始有多少种方案（）。
A.12
B.13
C.14
D.15
答案:A
9.由2个a，1个b，2个c组成的不同排列数为（）。
A.2
B.3
C.5
D.6
答案:D
13.一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球。每次从中随机取走一球，已知前面取走6个，其中3个是白的。试问第6个球是白球的概率（）。
A.0.6
B.0.5
C.0.2
D.0.75
答案:B
14.在100名选手之间进行淘汰赛（即一场比赛的结果，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，要举行几场比赛（）。
D.2274
答案:B
24.6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，女宾不相邻有多少种方案（）。
A.86400
B.1209600
C.43200
D.92800
答案:A
25.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个，从中取出10个球，试问有多少种不同的取法（）。
A.678
B.768
C.876
D.867
答案:A
D.120
答案:C
二、判断题(共20道试题,共40分)
31.若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有|Ex| 1个整数，其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
答案:正确
33.一个整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数的数目是偶数。
A.45
B.40
C.90
D.80
答案:C
28.设有n条封闭的曲线，两两相交于两点，任意三条封闭曲线不交于一点，求这样的n条封闭曲线把平面分割成几个部分（）。
A.2(n 2)
B.2(2 n)
C.2+2(2 n)
D.2+2(n 2)
答案:D
29.P=abcd表示四个数a,b,c,d的乘积，根据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，有几种不同的乘法方案（）。
A.3
B.10
C.15
D.19
答案:D
18.a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图像的排列数为（）。
A.720
B.244
C.120
D.528
答案:D
19.7个科学工作者从事一项机密的技术研究，他们在工作室装有电子锁，每位科学工作者都有打开电子锁用的"钥匙"，为了安全起见，必须有4为在场时才能打开大门，每位科技工作者的"钥匙"至少应有多少种特征（）。
华师《组合数学》在线作业-0001
试卷总分:100得分:100
一、单选题(共30道试题,共60分)
1.不超过120的素数的个数为（）。
A.27
B.28
C.29
D.30
答案:A
2.8个盒子排成一列，5个有标志的求放到盒子里面，每个盒子最多放一球，要求空盒子不相邻，问有多少种方案（）。
A.4800
B.1200
C.3600
D.2400
答案:D
3.有5本日文书，7本英文书，10本中文书，从中取两本不同文字的书，有几种方案（）。
A.35
B.50
C.70
D.155
答案:D
4.某学校有12位教师，数学课8位，物理的6位，化学的5位，其中3位兼物理和化学，5位兼数学和物理，4位兼数学和化学，有3位兼三门课程，则除了数理化以外课程的教师有几位（）。
答案:错误
34.若群的任意二元素a,b恒满足ab=ba，称群为有限群。
A.5
B.6
C.7
D.8
答案:A
30.4个全同的质点，总能量为4E，其中E是常数，每个质点的能级可能为KE，K=0，1，2，3，4.若能级为KE的质点可以有K^2+1种状态，而且服从Bose-Einstein分布，即同能级的质点可以处于相同状态，则共有多少种不同的图像（）。
A.246
B.15
C.72
A.18
B.19
C.20
D.21
答案:C
20.由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现；2出现不超过1次；3出现次数可达3次，也可以不出现；4出现次数为偶数，求满足上述条件的个数（）。
A.200
B.215
C.150
D.100
答案:B
21.1000!的末尾有几个零（）。
A.51
B.99
C.100
D.101
答案:B
15.用两种颜色给正六面体的八个顶点着色，则有多少种不同的方案（）。
A.21
B.22
C.23
D.24
答案:C
16.比10000小的正整数中含有数字1的数的个数为（）。
A.3439
B.6560
C.5000
D.6561
答案:A
17.若有1克的砝码3枚，2克的砝码4枚，4克的砝码2枚，则能称的重量种数为（）。
26.一个学校只有三门课程，数学、物理、化学，已知修这三门课程的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理的有45人；同时修数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22人，同时修三门课程的有3人，则学校共有多少学生（）。
A.333
B.291
C.336
D.314
答案:C
27.从｛1，2，…，50｝中找两个数｛a,b｝使其满足|a-b|=5共有多少种（）。