人教B版高中数学必修五第一章111正弦定理课件共11张

sin B ? 1 , 则B ? 90o
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sin B ? 2 3 ? 1 3
无解
C
20
20√3 60°
A
B
C
20 A 60°B
C
20 A 60°
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
b
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
课本P9
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
1 sin B ? ,
则B ? 30o或150o
,
2
?b ? a , ? B ? 30o
一解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
3 ?sin 60? ? 3 2 sin 45? 2
例题讲解
唯一解？
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （从而进一步求出其他 的边和角）
例2 在? ABC 中，已知 a ? 4,b ? 4 2, B ? 45? ，求 A .
解：由 a ? b 得 sin A ? a sin B ? 1
解：∵ b ? c 且 B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? sin B sin C
? b ? c ?sin B ? 10 ? sin 105? ? 19
sin C
sin 30?
变式训练：
（1）在△ABC中，已知 b= 3，A= 45?，B= 60?，求a。
ห้องสมุดไป่ตู้
解：
∵ a?b sin A sin B
sin A sin B
b2
∵ 在 ? ABC 中 a ? b
∴ A 为锐角
? A ? 30?
变式训练：
在例 2 中，将已知条件改为 a ? 4 3,b ? 4 2, B ? 45?
求A。
解：由 a ? b sin A sin B
得 sinA? asinB ? 3
b2
? A ? 60?或120?
判断有几组解？
a
b
c
sin A = 对c ,于sin一B般=的c三,s角in C = 1 = c
a 形是否也b 有这个 c
c
=
sin
, A
c
=关si系n B？, c
=
sin
C
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
(1)当? ABC 是锐角三角形时,结论是否 还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
aE
b
CD? asinB,CD? bsinA
所以 asinB ? bsinA
得到 a ? b sin A sinB
B
D
A
c
同理,作AE ? BC.有 b ? c
sin B sin C
a
b
c
?
?
?
sin A sin B sin C
(2)当 ? ABC 是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
C
b a
D
Bc
A
2、正弦定理的应用
a
b
c
?
?
?
sin A sin B sin C
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一 角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另 一边的对角（从而进一步求出其他 的边 和角）
例题讲解
唯一解
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
例1 在 ? ABC 中，已知 c ? 10, A ? 45?,C ? 30? ，求b （保留两个有效数字）.
∴ a ? b ?sin A =
sin B
3 ?sin 45? = sin 60?
2
（2）在△ABC中，已知 c= 3，A= 75?，B= 60?，求b。
解：∵ C ? 1800 ? ( A? B) = 180? ? (75? ? 60?) ? 45?
又∵
b? c sin B sin C
∴ b ? c ?sin B ? sin C
1.1.1正弦定理
A
一般地，把三角形的
三个角 A,B,C和它们
c
b
的对边 a,b,c叫做三角 形的元素
B
a
C
三角形中的边角关系
1.角的关系 : 2.边的关系 : 3.边角关系 :
A? B ? C ? 180
a?b? c, a?b?c
大边对大角，小边对小角
1、正弦定理的证明
在直角三角形ABC中的边角关系有：