人教B版高中数学必修五第一章111正弦定理课件共11张

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版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx

版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
12
跟踪训练1 如图,锐角△ABC的外接圆O半径为R,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c.求证:sina A =2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC,根据下列条件,解三角形:a=20,A=30°,C= 45°. 解答 ∵A=30°,C=45°,∴B=180°-(A+C)=105°, 由正弦定理得 b=assiinnAB=20ssiinn3100°5°=40sin(45°+60°)=10( 6+ 2), c=assiinnAC=20sisnin3405°°=20 2, ∴B=105°,b=10( 6+ 2),c=20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A=sin C,知a=c,∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中,已知BC= 5 ,sin C=2sin A,则AB=_2__5___.
答案 解析
由正弦定理,得 AB=ssiinn CABC=2BC=2 5.
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命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中,A=
π 3
,BC=3,求△ABC的周长的最大值.
解答
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反思与感悟
利用sina A=sinb B=sinc C=2R 或正弦定理的变形公式 a=ksin A,b= ksin B,c=ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 若 A∶B∶C=1∶2∶3,求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中,一定成立的等式是 答案 解析

人教版高中数学必修5PPT课件:.1正弦定理

人教版高中数学必修5PPT课件:.1正弦定理

a b c 2R. sin A sin B sin C
当C为直角角时上式显然成立,
c
a
O
C
A
b
当C为钝角时同理可证.
C/
人教版高中数学必修5PPT课件:.1正 弦定理
人教版高中数学必修5PPT课件:.1正 弦定理
【新知探究】
正弦定理及恒等变形:(用于求解三角形的边角)

abc sin A sin B sin C
1: . 3 : 2
(4)在△ABC中,已知c= 6,0A= ,3B= 7,5求b及S△。
解:∵C 1800 (A B) = 180 (75 60) 45
又∵
b sin B
c sin C

b
c sin B sin C
3 sin 60 3 2
sin 45
2
S△
1 2
bc sin
A
13 2 22
sin C 1 c c
Ba
C
问题2:通过这三个等式,边c有哪几种表示方法?
c
a
_s in _A
_sinb B_
_ sincC_
【新知探究】
abc sin A sin B sin C
问题3.这一关系式在斜三角形中是否成立呢?
在锐角三角形中 证明:∵ 在Rt△ADB和Rt△ADC中
A
cb
Ba C
sin B AD 即: AD c sin B
构造直角三角形
三角形外接圆
人教版高中数学必修5PPT课件:.1正 弦定理
【新知探究】
探究:不妨设C为锐角,作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C',sin C sin C' c ,

人教版高中数学B版必修五1.1.1 正弦定理公开课教学课件共22张PPT

人教版高中数学B版必修五1.1.1 正弦定理公开课教学课件共22张PPT

典型例题
2 例 3 、 已 知 A B C 中 , A = 6 0 0 , a3 , 则 a b c = . s i n A s i n B s i n C
问 题 4 : 既 然 三 角 形 的 每 条 边 与 其 对 角 的 正 弦 都 成 比 例 , 那 么 比 值 为 多 少 呢 ?
a b c 2R sinA sinB sinC
Ba
C
问 题 1 : 直 角 三 角 形 中 正 弦 函 数 是 如 何 定 义 的 ?
sinA a c
sinB b
c
又sinC 1
c c
A
c
b
则c
a sin A
b
c
sin B sinC
Ba
C
abc A B C 从 而 在 R t A B C 中 有 s i n s i n s i n
问 题 2 : 能 否 推 广 到 斜 三 角 形 呢 ?
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四2021/8/122021/8/122021/8/12 ❖15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年8月2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/8/122021/8/12August 12, 2021 ❖17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/12

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换.
双基自测 1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60° ,B=75° ,a =10,则c等于( A.5 2 10 6 C. 3 ). B.10 2 D.5 6
a 解析 由A+B+C=180° ,知C=45° ,由正弦定理得: sin A = c 10 c 10 6 sin C,即 3= 2.∴c= 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2.在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为( A.30° 解析 B.45° C.60° D.90°
4. 已知两边和其中一边的对角, 解三角形时, 注意解的情况. 如 已知 a,b,A,则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a<b sin A a=bsin A
bsin A<a< b 两解
a≥b a>b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔sin A >sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一 边,求其它边或角; (2) 已知两边及一边的对角,求其它边或 角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余 弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角;(2)已知三边,求各角.
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1.正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R,其中 R 是三角形外接 圆的半径.由正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R等形式,以解决不同的三 角形问题.

最新人教版高三数学必修5(B版)电子课本课件【全册】

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最新人教版高三数学必修5(B版)电 子课本课件【全册】
1.1.2 余弦定理
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1.2 应用举例
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2.2.2 等差数列的前n项和
ห้องสมุดไป่ตู้
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
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0002页 0057页 0111页 0131页 0145页 0192页 0237页 0283页 0285页 0321页 0390页 0461页 0500页 0557页
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
本章小结
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阅读与欣赏
亚历山大
时期的三角测量
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2018版高中数学人教B版必修5课件111正弦定理

2018版高中数学人教B版必修5课件111正弦定理

sin C= c sin B = 8 sin 30 =1,
b
4
又因为∠B=30° ,所以∠C<150°,所以∠C=90°,
所以∠A=180°-(∠B+∠C)=60°,a= c2 b2 =4 3 .
(2)因为a=7,b=9,所以a<b,所以∠A<∠B, 又∠A=100°,所以本题无解.
(3)由正弦定理得 :
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
目标导航
课标要求
1.掌握正弦定理及正弦定理的变形. 2.了解正弦定理的几何意义及推导方法.
通过正弦定理的应用培养运算能力,通过利用正弦定理解决 素养达成 三角形及现实生活和生产中的实际问题.培养数学建模思想
及运算能力.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
a=bsin A, 或a≥b
一解
bsin A< a<b
两解
a<bsin A 无解
a>b 一解
a≤b 无解
注意 已知两边和其中一边的对角解三角形时,解可能不唯一,需判断解的个 数.如:已知a、b和∠A,解三角形. 当a≥b时,有唯一解.当a<b时,若a>bsin A,则有两解;若a=bsin A,则有一解; 若a<bsin A,则无解.对解的个数的判定,可以利用三角形中“大边对大角” 进行判断. 3.解三角形中,需掌握的三角关系式及结论有: (1)∠A+∠B+∠C=π; (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; (3)△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔∠A>∠B.
二、内容标准 本章主要包括正弦定理和余弦定理与应用举例两部分内容.正弦定理和 余弦定理是两个重要定理,重要性在于:在解决有关斜三角形问题时,实 现边角转化.本章的重点是掌握正弦定理和余弦定理,并能解决一些简单 的三角形度量问题.本章的难点是正确运用正弦定理和余弦定理解决与 三角形有关的实际问题. 三、核心素养 1.加强新旧知识的联系.学习本章知识要强化与初中学习的三角形的边、 角关系相联系.同时,要注意与三角函数、平面向量等知识的联系,将新 知识融入已有的知识体系,从而提高综合运用知识的能力以及分析解决 问题的能力.

正弦定理与余弦定理PPT优秀课件

正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。

高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版

高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答:此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o,灯塔B 在观察站C南偏东60o,则A、B之间的距离为多 少?
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).
(按角A分类)
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a>b a≤b
一解 无解
a<bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA<a<b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论: =2R (R为△ABC外接圆半径) (边换角)
(2)方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西

点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。

坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A

高中数学人教版必修5课件:1.1.1正弦定理(系列一)

高中数学人教版必修5课件:1.1.1正弦定理(系列一)

题型三 判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中,若acos A=bcos B,试判断△ABC的形状. 思路点拨:利用正弦定理把边换成角,再适当变形判断三角形的形状.
程叫做_解__三__角__形____.
自主探究
1.锐角△ABC的外接圆O的半径为R,能否用R和角A表示a?在钝角△ABC中呢? 【答案】能;均有a=2Rsin A. 2.在△ABC中,为什么说A>B等价于sin A>sin B? 【答案】A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B.
来解决两类解斜三角形的问题:
(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角. 已知两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状,解这类三角形问题将 出现无解、一解或两解三种情况,应分情况给予讨论.
下面为已知a,b和A,用正弦定理求解三角形时的各种情况:①
A 为锐角
A 为直角或 钝角
图形
关系式 a=bsin A a<bsin A bsin A<a<b a≥b
a>b
解的个数 一解
无解
两解
一解
一解
②也可利用正弦定理 sin B=bsian A进行讨论: 如果 sin B>1,则问题无解; 如果 sin B=1,则问题有一解; 如果求出 sin B<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形 内角和定理”或“大边对大角”等三角形的有关性质进行判 断.
2.正弦定理在解三角形中的运用
公式sina A=sinb B=sinc C反映了三角形的边角关系.由正弦
定理的推导过程知,该公式实际表示:sina A=sinb B,sinb B=

人教版高中数学必修五《1.1.1正弦定理(一)》课件

人教版高中数学必修五《1.1.1正弦定理(一)》课件

自主解答:A=180°-(60°+45°)=75°,
b=as·isninAB=10× sins7i5n6°0°=1406×+
3 22=5(3 4
2-
6),
c=as·isninAC=106×+
2 22=习1.已知△ABC中,A=30°,B=45°,
b= 2 ,则 a=( B ) 1
的取值范围是

0,
3

若A 是最大角,则A
的取值范围是
3
,


2.在△ABC中,A,B,C的对边分别为 a, b, c 则
(1)
a bc sin A sin B sin C
(2) a : b : c= sinA∶sinB∶sinC
3.解三角形:一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的__边__和__角____

a=
bsinA; sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
的正弦值,如 sinA=absinB.
三.利用正弦定理求三角形的边和角
题型一:已知两角及一边解三角形 例1 :在△ ABC 中,已知 a=10,B=60°,C=45°,求 A,b,c.
思维突破:已知两角及一边,可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到.
思考:你还会用 其它方法证明吗?
正弦定理内容: a b c 2R sin A sin B sin C
合作探究1:
1.正弦定理对任意三角形都适合吗?
都适用。
2.用正弦定理解三角形需要多少个已知条件?哪几个? 三个,任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角。
3.正弦定理的基本作用是什么?
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与角,

高中数学必修五111正弦定理共3个课时共36页

高中数学必修五111正弦定理共3个课时共36页

21、要知道对好事的称颂过于夸大,也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。——韩愈
23、一切节省,归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰,决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动,是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢!

高中数学必修五111正弦定 理共3个课时
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一, 也是成 功的利 器之一 。没有 它,天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ,徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿.丘吉 尔。 30、我奋斗,所以我快乐。--格林斯 潘。

人教版数学【必修5】1.1.1正弦定理ppt课件

人教版数学【必修5】1.1.1正弦定理ppt课件
0 0
例2、在ABC中, a 2 , b 3 , B 600 , 解三角形.
2015年1月2日星期五
新课
例3、在ABC中, a 10, b 5 6 , A 45 , 解三角形.
0
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形; (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (可能有两解, 用"大角对大边"决定取舍)
新课
直角ABC :
A
B
2015年1月2日星期五
C
新课
钝角ABC :
A
E
D
B
C
2015年1月2日星期五
新课
正弦定理 :
在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦 的比相等,即
a b c 2R sin A sin B sin C
2015年1月2日星期五
新课
例1、在ABC中, A 60 , B 45 , c 20, 解三角形.
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§ 1.1.1 正弦定理
2015年1月2日星期五
引入
关于解三角形 :
(1)三角形的六元素 : A, B, C , a, b, c(其中a, b, c分别为A, B, C的对边); (2)解三角形 : 用三角形已知元素求未知 元素.
2015年1月2日星期五
新课
锐角ABC 五
2015年1月2日星期五
结束
2015年1月2日星期五

高中数学必修五111正弦定理共3个课时共36页PPT

高中数学必修五111正弦定理共3个课时共36页PPT
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
31、只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。——洛克
高中数学端的法规,就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要,人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益, 而是为 了公共 的利益 ;一部 分靠有 害的强 制,一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ,那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克

高中数学必修5《正弦定理》PPT

高中数学必修5《正弦定理》PPT

(2)已知b 20, a 15, A 600.
练习解答斜案三1 .角( 1形) 是b指2由3六, a个3元素3; (三条(2)边c和a三个4 角3. )中
的2.三(1)个B元素300(,至C 少9有00,一c 个40是; 边()2,) 求sin 其B 余bs三in A个未2 3知元1,无素解.
的过程。
a
3
七.课后探究
1.在△ABC中,A=300,B=600, 则 a : b : c ___________
a
b
c
2.在半径为2R的圆内接△ABC中,sin A sin B sin C 是否
为定值. (可参考课本习题第九题)
3.已知三角形两边和其中一边对角时,出现两解、一解和 无解的原因是什么?(可参考课本习题第十题阅读题)
一.创设情境
某游览风景区欲在两山之间 架设一条观光索道,现要测的两 山之间B、C两点的距离,如何求 得B、C两点的距离?
现在岸边选定1公里的基线AB, 并在A点处测得∠A=600,在C点测得 ∠C=450,如何求得B.C两点的距离?
.C
.A 探究1:你能把它转化成数学问
题,写出已知量和要求的量吗?
.B
的对角,求其他边要和当角
解:由正弦定理
a
b
sin A sin B
心 哦!
得 sin A a sin B 16sin 45
b
16 2
1 在三角形中 2 大边对大角
所以aA=b 30°A , B或A=45150°
当A=A303°0 时 C=105°c 8 2 6
当A=C15100°5时c C8 1820 4650 150 0 所以C无解
探究7:正弦定理结构的最大特点是什么?
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aE
b
CD? asinB,CD? bsinA
所以 asinB ? bsinA
得到 a ? b sin A sinB
B
D
A
c
同理,作AE ? BC.有 b ? c
sin B sin C
a
b
c
?
?
?
sin A sin B sin C
(2)当 ? ABC 是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
C
b a
sin A sin B
b2
∵ 在 ? ABC 中 a ? b
∴ A 为锐角
? A ? 30?
变式训练:
在例 2 中,将已知条件改为 a ? 4 3,b ? 4 2, B ? 45?
求A。
解:由 a ? b sin A sin B
得 sinA? asinB ? 3
b2
? A ? 60?或120?
判断有几组解?
解:∵ b ? c 且 B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? sin B sin C
? b ? c ?sin B ? 10 ? sin 105? ? 19
sin C
sin 30?
变式训练:
(1)在△ABC中,已知 b= 3,A= 45?,B= 60?,求a。
解:
∵ a?b sin A sin B
a
b
c
sin A = 对c ,于sin一B般=的c三,s角in C = 1 = c
a 形是否也b 有这个 c
c
=
sin
, A
c
=关si系n B?, c
=
sin
C
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
(1)当? ABC 是锐角三角形时,结论是否 还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
(1)=60°,a=10 3 ;
b
(3) b=20,A=60°,a=15.
60°
A
B
课本P9
(1) b=20,A=60°,a=20 3 ;
1 sin B ? ,
则B ? 30o或150o
,
2
?b ? a , ? B ? 30o
一解
(2) b=20,A=60°,a=10 3 ;
3 ?sin 60? ? 3 2 sin 45? 2
例题讲解
唯一解?
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (从而进一步求出其他 的边和角)
例2 在? ABC 中,已知 a ? 4,b ? 4 2, B ? 45? ,求 A .
解:由 a ? b 得 sin A ? a sin B ? 1
D
Bc
A
2、正弦定理的应用
a
b
c
?
?
?
sin A sin B sin C
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一 角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另 一边的对角(从而进一步求出其他 的边 和角)
例题讲解
唯一解
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
例1 在 ? ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?,C ? 30? ,求b (保留两个有效数字).
sin B ? 1 , 则B ? 90o
一解
(3) b=20,A=60°,a=15.
sin B ? 2 3 ? 1 3
无解
C
20
20√3 60°
A
B
C
20 A 60°B
C
20 A 60°
1.1.1正弦定理
A
一般地,把三角形的
三个角 A,B,C和它们
c
b
的对边 a,b,c叫做三角 形的元素
B
a
C
三角形中的边角关系
1.角的关系 : 2.边的关系 : 3.边角关系 :
A? B ? C ? 180
a?b? c, a?b?c
大边对大角,小边对小角
1、正弦定理的证明
在直角三角形ABC中的边角关系有:
∴ a ? b ?sin A =
sin B
3 ?sin 45? = sin 60?
2
(2)在△ABC中,已知 c= 3,A= 75?,B= 60?,求b。
解:∵ C ? 1800 ? ( A? B) = 180? ? (75? ? 60?) ? 45?
又∵
b? c sin B sin C
∴ b ? c ?sin B ? sin C
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