组合计数问题题解议
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问题:将一个4×4棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有_____种不同的染法.(用数字作答)
答案:90
分析:第一行染2个黑格有C 2
4种染法.第一行染好后,有如下三种情况:
(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有C 2
4种染法,第四行的
染法随之确定;
(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.
因此,共有染法6×(1+6+4×2)=90种
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本题中需要先从第一行开始染色,根据题目要求按照第二行与第一行染的黑格是否同列分类,进而根据分类和分步枚举的方法计算总数,也即本题是利用基本技术原理和基本公式方法解决的。
组合计数问题是数学竞赛中常见的一类问题,解决这类问题的基本方法有:
(1) 运用枚举法,把要计数的集合M 种的元素逐一列举出来,不重复不遗漏,从而计算出
几何M 中元素的个数.
(2) 利用基本计数原理(加法原理和乘法原理)和基本公式,适当地分类和分步枚举再计算
总数.
(3) 利用配对原理:对于两个不具有同类元素的有限集合A 与B ,如果存在几何A 到集合B
上的双射(即一一映射)f ,则集合A 与B 的元素个数相等,即|A|=|B|.当直接计算集合A 到集合B 的双射f ,并且如果集合B 中的元素个数|B|容易算出,那么所求A 中的元素个数为|A|=|B|,这种计数方法称为映射方法(一一对应的方法).
(4) 在解决某些组合计数问题时,需要对同一个量用两种不同的方法去计数,根据所得的结
果相等得到方程式,再来求解.这种通过建立方程式来解题的方法称为算两次方法.
(5) 在解决某些组合计数问题时,需要根据已知条件建立相应的递推关系式进行求解,这种
方法称为递推方法.
(6) 利用容斥原理:设A 1,A 2,···A m 是有限集合S 的子集,则
∑∑∑
≤<≤≤<<≤=⋂⋂+⋂-=⋃⋃⋃m j i m k j i k j i j i m i i A A A A A A 111m 21|
|||||A ···A A |···|(-1)···211-m m A A A ⋂⋂⋂∙++.
解决组合计数问题不仅要具有扎实的基础知识,还要注意分析题设条件,灵活地选取计数方法。