高中数学：用构造局部不等式法证明不等式

高中数学：用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1. 若，，求证：

分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当，即时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。

证明：

同理，

∴

例2. 设是n个正数，求证：

。

证明：题中这些正数的对称性，只有当时，等号才成立，构造局部不等式如下：

。

将上述n个同向不等式相加，并整理得：

。

例3. 已知均为正数，且，求证：

。

证明：因均为正数，故，

。

又∵，

∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

故。

例4. 设，且，求证：

。

证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当

时，才有可能达到最小值，此时刚好

。所以，可构造如下局部不等式。

例5. 设，且，求证：

。

证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当时，才可能达到最小值1，此时刚好

。所以，可构造如下局部不等式。

∵

∴

即

▍

▍ ▍

▍