《选修12222反证法》PPT课件

2021/1/24
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• [例2] 求证：一个三角形中，至少有一个内角 不小于60°.
• [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于 60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.
相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、 ∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角 形中，至少有一个内角不小于60°.
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思考1：掀起你的盖头来——认识反证法
思考：
将9个球分别染成红色或白色。那么无论 怎样染，至少有5个球是同色的。你能证
明这个结论吗？
探究：
假设有某种染法使红色球和 白色球的个数都不超过4，
则球的总数不应超过8， 这与球的总数是9相矛盾
假设不正确，因此，无论怎样染 至少有5个球是同色的
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
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东平一中
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复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
例1（课本例题7） 已知a≠0， 证明x的方程ax=b有且只有一个根。
分析：要说明两个方面存在性和唯一性； 唯一性时可以用反证法
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证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一个 根x=b/a。 （以下为唯一性）
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
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• 3．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一 个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．
• 4．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的 反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为 “≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”； “＝”的反面为“≠”或“>及<”．
• 本节难点：应用反证法解决问题．
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• 前言：推理与证明是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式。反证法是继前面学习完推理知识后， 证明方法中的一种（间接证明问题的）基 本方法，它弥补了直接证明的不足，完善 了证明方法，有利于培养逆向思维能力。
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• 5．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原
理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是
指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结
果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写
格式易错之处是“假设”错写成“设”．
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常见的“结论词”与“反设词”如下：
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思考2： A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
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• 1．反证法的定义
反证法的思维方法：正难则反
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探究2：深度挖掘——了解反证法
• 1．反证法证明数学命题的四个步骤： 第一步：分清命题的条件和结论；
第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；
第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的 结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假 设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真． 2.常见的主要矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结 论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾．
•wk.baidu.com
a+b+c=x2_ 2y+π/2+y2 -2z+π/3+z2 -
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教学目标 • 1．知识与技能
结合实例的间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法 的思考过程与特点． • 2．过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力． • 3．情感、态度与价值观
培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤．
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2
则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0
∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0
∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 ,
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理 ，最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ，
从而证明了原命题 成立 ，这样的证明方法叫 做反证法．
反证法是 间接证明 的一种基本方法．
• 2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设矛盾，或与定义、公理、 定理 、 事实 矛 盾等．
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王戎不取路边李
• 王戎七岁的时候，曾经与小朋友们一起玩 耍。他们见路边有棵李树，结了很多李子 把枝条都压弯了，那些小朋友都争先恐后 地跑去摘，只有王戎没有动。有孩子问他 为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长 在大路边上，还有这么多李子，这李子一 定是苦的。”孩子们摘来一尝，果然是这样 。[1]
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[例 3] 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2， b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6. 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 分析: 本题证明略，可以假设都小于 0，然后相加 说明大于 0
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• 解：假设，a,b,c都小于等于0
原结论词 反设词
原结论词
反设词
至少有一 个
至多有一 个
至少有n 个
至多有n 个
一个也没有
至少有两个
至多有n－1 个
至少有n＋1 个
对所有x成立 对任意x不成
立 p∨q
p∧q
存在某个x不成 立
存在某个x成立
(¬p)∧(¬q)
(¬p)∨(¬q)
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探究3 常见典型题目类型总结：