高等数学课件3-5曲率
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高等数学课件3-5曲率-文档资料
若 曲 线 方 程 为 极 坐 标 形 式 ( ) , 弧 微 分 ：
2019/3/13
d s () [ ' () ]d
2 2
高等数学课件
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
M2
M1
2
S 2
M3
高等数学课件
若 曲 线 方 程 yfx ( ) , 弧 微 分 :
2 d s 1 [f '(x ) ] d x
x () t 若 曲 线 由 参 数 方 程 ( t ) 确 定 ， y () t 弧 微 分 ：
2 2 d s [ ' () t] [ ' () t] d t
基点 : A ( x ,y ), 0 0
M (x, y)为任意一点 ,
y
N
A
M
T R
o
x0
x
x x x
规定：( 1 )曲线的正向与 x 增大的方向一致 ;
一致时 ,s取正号 ,相反时 ,s取负号 .
( 2 )AM s ,当 AM 的方向与曲线正向
弧微分
单调增函数
2019/3/13
ss (x ). d s d x2 d y2
故 ， 曲 率 为 ： 3 (1 y '2 )2
| y ''| 1 t | csc | 4a 2
2
2019/3/13
1 令 t ,得 ： 3 高等数学课件2 a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设 曲 线 y f ( x ) 上 一 点 M ( x ,) y
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
数学《曲率》教学课件
因此, 选用砂轮的直径不得超过2.50个 单位长
小结
曲率： K d
ds
y 曲率计算公式：K ( 1 y 2 )32 曲率圆与曲率半径：R 1
K
曲率的应用
学以致用
讨论：
请结合曲率及物理学的知识，分组讨论道路的弯道应如何设计？
感谢聆听
题目：砂轮的选取
砂轮直径过小，功效低
砂轮直径过大，过磨削
砂轮的选取与曲线的弯曲程度有关！
问题分析--如何刻画曲线的弯曲程度
如何刻画曲线在任一点 的弯曲程度?
刻画弧段的平均弯曲程度.
试验结果
结论1
弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大
结论2
切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大
y K (1 y 2 )32
显然 当 2axb0 时曲率最大
此时，x b , K | 2a | . 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 值为 K|2a|
三、曲率的计算公式
在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线凹向一侧的法线上取点D, 使
DM R 1 . K
把以 D为中心, R 为半径的圆叫 做曲线在点 M 处的曲率圆, R 叫 做曲率半径, D 叫做曲率中心.
二、曲率的概念
弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大
y
切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大
M s M
K
s
----弧段 MM 的平均曲率
0
x
K lim
s0 s
➢ 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率.
解: 如图所示,
s R
K lim 1 .
s0 s
R
M
s
R M
可见: 圆上任一点处的曲率都相同； R 越小, 圆弧弯曲得越厉害; R 越大,圆弧弯曲越小.
小结
曲率： K d
ds
y 曲率计算公式：K ( 1 y 2 )32 曲率圆与曲率半径：R 1
K
曲率的应用
学以致用
讨论：
请结合曲率及物理学的知识，分组讨论道路的弯道应如何设计？
感谢聆听
题目：砂轮的选取
砂轮直径过小，功效低
砂轮直径过大，过磨削
砂轮的选取与曲线的弯曲程度有关！
问题分析--如何刻画曲线的弯曲程度
如何刻画曲线在任一点 的弯曲程度?
刻画弧段的平均弯曲程度.
试验结果
结论1
弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大
结论2
切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大
y K (1 y 2 )32
显然 当 2axb0 时曲率最大
此时，x b , K | 2a | . 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 值为 K|2a|
三、曲率的计算公式
在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线凹向一侧的法线上取点D, 使
DM R 1 . K
把以 D为中心, R 为半径的圆叫 做曲线在点 M 处的曲率圆, R 叫 做曲率半径, D 叫做曲率中心.
二、曲率的概念
弧长相同，弧段弯曲程度越大切线转角越大
y
切线转角相同，弧段越短弯曲程度越大
M s M
K
s
----弧段 MM 的平均曲率
0
x
K lim
s0 s
➢ 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率.
解: 如图所示,
s R
K lim 1 .
s0 s
R
M
s
R M
可见: 圆上任一点处的曲率都相同； R 越小, 圆弧弯曲得越厉害; R 越大,圆弧弯曲越小.
同济大学高等数学§2.4.3-5函数的凹凸1§2.5曲线的曲率
2.8.3 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点 一、函数的凹凸与曲线的凸向
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
1．定义 1 设有曲线段y f ( x) ， x(a,b) ，
若对于其上任何两点A, B ，弦 AB 总位于所夹曲线
B (1,6), C (2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
§2.9 曲线的曲率
2.9.1 曲率概念
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M
沿曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所
转过的角，故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素：
（1） 曲线的弧长； （2）弧两端切线的转角。
5．定理 8 可导函数 f ( x) 在(a,b) 内是凸（或凹）函数 曲线 y f ( x) 在(a,b) 内位于它的任意一点的切线 上方（或下方）。这时曲线y f ( x) 在(a,b) 内是向下 凸（或向上凸）的。
6．定理 9 若函数 f ( x) 在(a,b) 内，有 f ( x)0
（或 f ( x)0 ），则曲线y f ( x) 在(a,b) 内向下凸 （或向上凸）。
f
(x) f ( x2) x x2
lim f ( x) f ( x1) f ( x2 ) f ( x1) f ( x1) f ( x2 ),
xx2 x x1
x2 x1
x1 x2
∴ f ( x1) f ( x2 ) ，即 f ( x) 在 (a,b) 内单调增加。
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
1．定义 1 设有曲线段y f ( x) ， x(a,b) ，
若对于其上任何两点A, B ，弦 AB 总位于所夹曲线
B (1,6), C (2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
§2.9 曲线的曲率
2.9.1 曲率概念
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M
沿曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所
转过的角，故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素：
（1） 曲线的弧长； （2）弧两端切线的转角。
5．定理 8 可导函数 f ( x) 在(a,b) 内是凸（或凹）函数 曲线 y f ( x) 在(a,b) 内位于它的任意一点的切线 上方（或下方）。这时曲线y f ( x) 在(a,b) 内是向下 凸（或向上凸）的。
6．定理 9 若函数 f ( x) 在(a,b) 内，有 f ( x)0
（或 f ( x)0 ），则曲线y f ( x) 在(a,b) 内向下凸 （或向上凸）。
f
(x) f ( x2) x x2
lim f ( x) f ( x1) f ( x2 ) f ( x1) f ( x1) f ( x2 ),
xx2 x x1
x2 x1
x1 x2
∴ f ( x1) f ( x2 ) ，即 f ( x) 在 (a,b) 内单调增加。
高等数学曲率
yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3
R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
12
例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D
1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即
1 K
,K
1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
高等数学课件3-5曲率
单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此处添加副标题
高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
汇报人：
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曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
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02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
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高等数学曲率 PPT课件
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
)2
曲率中心
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线 xy 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
y
1
R
y
从而 K 取最大值 .
2 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
1 y 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
y 求此缓和曲线在其两个端点
或有的地方磨不到的问题. 设 M 为曲线 C 上任一点 ,
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.5 曲率
反比。
设, 是曲线 = ()的两个点,假如曲线在点和
点的切线与轴的夹角分别为和 + ，那么当点沿
曲线 = ()变到时，角度改变了，而改变这个角
度经过的路程则是弧长 = ，就用比值
来刻画
曲线段的弯曲程度，称为平均曲率。为了刻画曲线
在某点处的曲率，有下面的定义：
来向北最后拐向东了，即方向改变了90 ；另一方面是指在多远的路程上
改变了这个角度，如果两个弯都改变了90 ，但一个是在10m内改变的，另
一个是在1000m内改变的，当然前者比后者弯曲得厉害。由此可见，弯曲
程度是由方向改变的大小及在多长一段路程上改变的这两个因素所决定的，
并且弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成
=
| ″ |
(1+ ′2 )3Τ2
=
2
(1+(−1)2 )3Τ2
=
12ຫໍສະໝຸດ =22
例4
抛物线 = 2 + + 上哪一点处的曲率最大？
′
″
解 由于 = 2 + = 2由曲率公式 得 =
显然 当2 + = 0即 = −
|2|
[1+(2+)2 ]3Τ2
第三章 导数的应用
第五节 曲率
在现实生活中，许多问题都要考虑曲线的弯曲程度，如修建铁
路时，铁路线的弯曲程度必须合适，否则容易造成火车出轨。数学
上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。
一、 曲率的概念
人们坐汽车时，公路弯曲程度在车上是有感觉的。人们说这个弯大，
那个弯小，通常是从两个方面来说的：一是指公路方向改变的大小，如原
设, 是曲线 = ()的两个点,假如曲线在点和
点的切线与轴的夹角分别为和 + ，那么当点沿
曲线 = ()变到时，角度改变了，而改变这个角
度经过的路程则是弧长 = ，就用比值
来刻画
曲线段的弯曲程度，称为平均曲率。为了刻画曲线
在某点处的曲率，有下面的定义：
来向北最后拐向东了，即方向改变了90 ；另一方面是指在多远的路程上
改变了这个角度，如果两个弯都改变了90 ，但一个是在10m内改变的，另
一个是在1000m内改变的，当然前者比后者弯曲得厉害。由此可见，弯曲
程度是由方向改变的大小及在多长一段路程上改变的这两个因素所决定的，
并且弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成
=
| ″ |
(1+ ′2 )3Τ2
=
2
(1+(−1)2 )3Τ2
=
12ຫໍສະໝຸດ =22
例4
抛物线 = 2 + + 上哪一点处的曲率最大？
′
″
解 由于 = 2 + = 2由曲率公式 得 =
显然 当2 + = 0即 = −
|2|
[1+(2+)2 ]3Τ2
第三章 导数的应用
第五节 曲率
在现实生活中，许多问题都要考虑曲线的弯曲程度，如修建铁
路时，铁路线的弯曲程度必须合适，否则容易造成火车出轨。数学
上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。
一、 曲率的概念
人们坐汽车时，公路弯曲程度在车上是有感觉的。人们说这个弯大，
那个弯小，通常是从两个方面来说的：一是指公路方向改变的大小，如原
《曲率及其计算公式》PPT课件
4
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。
高等数学 第七节 曲率完美版PPT资料
高等数学 第七节 曲 率
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
高等数学(上)课件：3_7曲率
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 有上述可知
椭圆在
处曲率最大 ,
y
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
x asin t ;
x acost
x 表示对参
y bcost ;
y bsin t
数 t 的导数
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
曲率圆和曲率半径
设曲线y f ( x)在点 y
M ( x, y)处的曲率为K (K
y f (x)
0).在点 M 处的曲线的
D
法 线 上, 在 凹 的 一 侧 取 一
高等数学（上） 3.7节 曲率
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
3-7曲率3-8方程的近似解
第七节 曲率
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
第三章
1
一.弧长函数及其微分
1.光滑曲线：若 f ( x) 在(a, b) 内具有一阶连续导数（连续
转动的切线），则称曲线 y f为( x光) 滑曲线 .
2.弧长函数
（1）光滑曲线上有向弧 M0 M 的值s规定如下y ：
y
K
(1
y
2
)
3 2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
14
了解：我国铁路常用立方抛物线
y
1 6Rl
x3
作缓和曲线,
6
2.定义：
(1)平均曲率：单位弧段上切线转角 y
C
的大小. 即
M.
弧段MM的平均曲率为 K . s
M
S
0
(2)曲线 y f ( x)在点M处的曲率： o
M.
)
S
x
当s 0时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处的曲率.
即K lim , s0 s
若 lim d 存在，则 K d .
则y
R2 y3
,
x y
,
R2
y
K
3
(1 y2 )2
y3 R3
1. R
y3
注意: 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径
越小曲率越大.
12
解法二
x
若圆方程为
y
R cos ，( R sin
为参) 数
y dy R cosd cot， dy csc2 d dx R sin d
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
第三章
1
一.弧长函数及其微分
1.光滑曲线：若 f ( x) 在(a, b) 内具有一阶连续导数（连续
转动的切线），则称曲线 y f为( x光) 滑曲线 .
2.弧长函数
（1）光滑曲线上有向弧 M0 M 的值s规定如下y ：
y
K
(1
y
2
)
3 2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
14
了解：我国铁路常用立方抛物线
y
1 6Rl
x3
作缓和曲线,
6
2.定义：
(1)平均曲率：单位弧段上切线转角 y
C
的大小. 即
M.
弧段MM的平均曲率为 K . s
M
S
0
(2)曲线 y f ( x)在点M处的曲率： o
M.
)
S
x
当s 0时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处的曲率.
即K lim , s0 s
若 lim d 存在，则 K d .
则y
R2 y3
,
x y
,
R2
y
K
3
(1 y2 )2
y3 R3
1. R
y3
注意: 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径
越小曲率越大.
12
解法二
x
若圆方程为
y
R cos ，( R sin
为参) 数
y dy R cosd cot， dy csc2 d dx R sin d
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故 ， 曲 率 为 ： | y''| 3
(1 y'2)2
1 | csc t | 4a 2
2020/7/20
令t,得： 1
3 2a 高等数学课件
三、曲率圆与曲率半径
定义 设 曲 线 y f( x )上 一 点 M ( x ,y )
曲率为k(k0).
y
在 点 M 处 的 曲 线 的 法 线 上 ,
凹 的 一 侧 取 点 D ， 使 D M 1.
D 1
k
k
以 D 为 圆 心 , 为 半 径 作 圆 ( 如 图 )o M
称 此 圆 为 曲 线 在 点 M 处 的 曲 率 圆 .
yf(x)
x
2020/7/20
D曲率中 , 心
高等数学课件
曲率半. 径
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与 曲线在该点处的曲率互为倒数.
弧微分
M2
M1
M0 A
2020/7/20
高等数学课件
M n1 Mn
一、弧微分 y 设函数 f(x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数 基:点 A (x0,y0), M(x, y)为任意一, 点 o
AM
x0
x
N T R
xx x
规定：(1)曲线的正 x增 向大 与的方向 ; 一
(2)AM s, 当AM的方向与曲线正向 一致,时 s取正,号 相反,时 s取负.号 弧微分
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线越平坦;
曲率半径越小, 曲线越弯曲.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2020/7/20
高等数学课件
例 3 . 求 曲 线 y x 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 曲 率 中 心 和 曲 率 圆 。
2020/7/20
高等数学课件
2
2
(1)2 25
由曲线的凸性，10
得 曲 率 中 心 (72， 4)
20曲 20/7率/20半径
55 2
高等数学曲 课件率 圆 ： (x7)2(y4)2125
2
4
| y '' |
3
(1 y '2 ) 2
对 于 一 般 曲 线 yf(x)
曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 曲 率 圆 的 中 心 为 ：
x-
y ' (1 y ''
y '2 )
y
1
(1 y '2 )
y ''
曲 率 圆 方 程 ： (x )2 (y )2 2
2020/7/20
高等数学课件
例 4 . 设 某 工 件 内 表 面 的 截 面 为 抛 物 线 y 0 .4 x 2 现 用 砂 轮 打 磨 其 内 表 面 ， 应 选 用 多 大 直 径 的 砂 轮 ？
3.5 曲率
凸凹性： 曲线的弯曲方向； 曲线的弯曲程度怎么表示呢？
什么叫急转弯？
2020/7/20
高等数学课件
0、弧长的定义
设平面内曲线弧段AB,在弧段上任意插入
M n1
n1个分点:A M0,M1, ,Mn1,Mn B M 2
Mn
依次连接各分点，得到连接A, B的折线，
M1
n
折线的长度为：L Mi1Mi
有arctya, n d1yy2dx,
ds 1y2dx. k
y 3.
(1 y2)2
2020/7/20
高等数学课件
例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线,的顶点 2a 4a
单调增函数
2020/7/20
ss(x). ds dx2 dy2
高等数学课件
若 曲 线 方 程 y f(x ),弧 微 分 : ds 1[f '(x)]2dx
若 曲 线 由 参 数 方 程 xy ((tt))(t)确 定 ，
弧 微 分 ：
ds ['(t)]2['(t)]2dt
若 曲 线 方 程 为 极 坐 标 形 式 (),
解 . 砂 轮 半 径 应 不 超 过 抛 物 线 上 曲 率 半 径 的 最 小 值 。
y'0.8x,y''0.8,曲率 |y''| 3
0.8
3
(1y'2)2 (10.64x2)2
当 x 0 时 ， 曲 率 最 大 0 .8
相 应 的 曲 率 半 径 最 小 为 11 .2 5
所 以 ， 砂 轮 的 直 径 不 能 超 过 2 . 5 单 位 长 。
抛物线在顶点处最 的大 曲 . 率
2020/7/20
高等数学课件
例 2 . 计 算 摆 线 x y a a ( (1 t s c io n s tt))在 t 3 处 的 曲 率
解: dy asint c o t t
dx a(1cost)
2
d2y
1csc2 2
t 2
1
csc4
t
dx2 a(1cost) 4a 2
解 . 先 求 (1 ,1 )点 处 的 曲 率 ： 设 曲 率 中 心 为 (,),则 有 ：
y' 1 2x
y '' 1 4x x 1
( 1)2 ( 1)2 2
1 1
y
1 '(1)
| y '' |
3
(1 y '2 )2
4x x(11来自3)24x
当x1时， 2
55
将5 5，y'(1)1,解得：
i1
M0
An
令m 1iaxn{Mi1Mi},当 0 时 ， 若 极 限 li m 0i 1M i 1M i存 在 ，
则 称 曲 线 弧 段 A B 是 可 度 量 的 ，
n
曲 线 弧 长 ： slim
2020/7/20
0i1
Mi1Mi
高等数学课件
小弧段长s很小时， 近似等于小线段的长
充分小的弧段长 ds
弧 微 分 ：
ds 2()['()]2d
2020/7/20
高等数学课件
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2
S2
M3
S1
M1
弧段弯曲程度
越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
2020/7/20
高等数学课件
设曲线C是光滑的， y
C
M M0 是M 基切 点 . M 线 M 转 s,角 . M为 0 S .M )SM .
o
x
定义 弧 段 M M '的 平 均 曲 率 为 .
s
曲线C在点M处的曲率 lim
s0 s
在limd存在的条 , 件 下 d .
s0 s ds
ds
2020/7/20
高等数学课件
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
2、曲率的计算公式
设yf(x)二阶可 , 导tan y,