高等数学课件3-5曲率

3.5 曲率
凸凹性： 曲线的弯曲方向； 曲线的弯曲程度怎么表示呢？
什么叫急转弯？
2020/7/20
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0、弧长的定义
设平面内曲线弧段AB,在弧段上任意插入
M n1
n1个分点:A M0,M1, ,Mn1,Mn B M 2
Mn
依次连接各分点，得到连接A, B的折线，
M1
n
折线的长度为：L Mi1Mi
o
x
定义 弧 段 M M '的 平 均 曲 率 为 .
s
曲线C在点M处的曲率 lim
s0 s
在limd存在的条 , 件 下 d .
s0 s ds
ds
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
2、曲率的计算公式
设yf(x)二阶可 , 导tan y,
解 . 砂 轮 半 径 应 不 超 过 抛 物 线 上 曲 率 半 径 的 最 小 值 。
y'0.8x,y''0.8,曲率 |y''| 3
0.8
3
(1y'2)2 (10.64x2)2
当 x 0 时 ， 曲 率 最 大 0 .8
相 应 的 曲 率 半 径 最 小 为 11 .2 5
所 以 ， 砂 轮 的 直 径 不 能 超 过 2 . 5 单 位 长 。
有arctya, n d1yy2dx,
ds 1y2dx. k
y 3.
(1 y2)2
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例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线,的顶点 2a 4a
弧微分
M2
M1
M0 A
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M n1 Mn
一、弧微分 y 设函数 f(x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数 基:点 A (x0,y0), M(x, y)为任意一, 点 o
AM
x0
x
N T R
xx x
规定：(1)曲线的正 x增 向大 与的方向 ; 一
(2)AM s, 当AM的方向与曲线正向 一致,时 s取正,号 相反,时 s取负.号 弧微分
解 . 先 求 (1 ,1 )点 处 的 曲 率 ： 设 曲 率 中 心 为 (,),则 有 ：
y' 1 2x
y '' 1 4x x 1
( 1)2 ( 1)2 2
1 1
y
1 '(1)
| y '' |
3
(1 y '2 )2
4x x
(1
1
3
)2
4x
当x1时， 2
55
将5 5，y'(1)1,解得：
2
2
(1)2 25
由曲线的凸性，10
得 曲 率 中 心 (72， 4)
20曲 20/7率/20半径
55 2
高等数学曲 课件率 圆 ： (x7)2(y4)2125
2
4
| y '' |
3
ห้องสมุดไป่ตู้
(1 y '2 ) 2
对 于 一 般 曲 线 yf(x)
曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 曲 率 圆 的 中 心 为 ：
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i1
M0
An
令m 1iaxn{Mi1Mi},当 0 时 ， 若 极 限 li m 0i 1M i 1M i存 在 ，
则 称 曲 线 弧 段 A B 是 可 度 量 的 ，
n
曲 线 弧 长 ： slim
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0i1
Mi1Mi
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小弧段长s很小时， 近似等于小线段的长
充分小的弧段长 ds
抛物线在顶点处最 的大 曲 . 率
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例 2 . 计 算 摆 线 x y a a ( (1 t s c io n s tt))在 t 3 处 的 曲 率
解: dy asint c o t t
dx a(1cost)
2
d2y
1csc2 2
t 2
1
csc4
t
dx2 a(1cost) 4a 2
x-
y ' (1 y ''
y '2 )
y
1
(1 y '2 )
y ''
曲 率 圆 方 程 ： (x )2 (y )2 2
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例 4 . 设 某 工 件 内 表 面 的 截 面 为 抛 物 线 y 0 .4 x 2 现 用 砂 轮 打 磨 其 内 表 面 ， 应 选 用 多 大 直 径 的 砂 轮 ？
单调增函数
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ss(x). ds dx2 dy2
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若 曲 线 方 程 y f(x ),弧 微 分 : ds 1[f '(x)]2dx
若 曲 线 由 参 数 方 程 xy ((tt))(t)确 定 ，
弧 微 分 ：
ds ['(t)]2['(t)]2dt
若 曲 线 方 程 为 极 坐 标 形 式 (),
弧 微 分 ：
ds 2()['()]2d
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二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2
S2
M3
S1
M1
弧段弯曲程度
越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
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设曲线C是光滑的， y
C
M M0 是M 基切 点 . M 线 M 转 s,角 . M为 0 S .M )SM .
故 ， 曲 率 为 ： | y''| 3
(1 y'2)2
1 | csc t | 4a 2
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令t,得： 1
3 2a 高等数学课件
三、曲率圆与曲率半径
定义 设 曲 线 y f( x )上 一 点 M ( x ,y )
曲率为k(k0).
y
在 点 M 处 的 曲 线 的 法 线 上 ,
凹 的 一 侧 取 点 D ， 使 D M 1.
D 1
k
k
以 D 为 圆 心 , 为 半 径 作 圆 ( 如 图 )o M
称 此 圆 为 曲 线 在 点 M 处 的 曲 率 圆 .
yf(x)
x
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D曲率中 , 心
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曲率半. 径
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与 曲线在该点处的曲率互为倒数.
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线越平坦;
曲率半径越小, 曲线越弯曲.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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例 3 . 求 曲 线 y x 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 曲 率 中 心 和 曲 率 圆 。