福建省福州市福州屏东中学等四校联考2020-2021学年高一上学期期末数学试题
福建省2021-2022学年高一数学上学期期末模拟试卷汇编(含解析)
福建省高一数学上册期末模拟试卷（含答案）考试日期: 年 月 日 完卷时间：120分钟 满分：150分参考公式： 锥体体积公式：13V Sh =；球的体积公式：343V R π=；圆锥侧面积公式：S rl π=；球的表面积公式：24S R π=***** 祝 考 试 顺 利 *****第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项选是符合题意要求的）（1）设{3,}M a =，{1,2}N =，{}2=N M ,=N M （ ）（A ）{}2,1 （B ）{}3,1 （C ）{1,2,3} （D ）{1,2,3,}a （2）经过点),2(m P -和)4,(m Q 两点的直线与直线012=--y x l ：平行，则实数m 的值是（ ）（A ）2（B ）10 （C ）0 （D ）-8（3）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线．．与笔所在的直．线．（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）垂直（4）直线1l 与直线0122=+-y x l ：的交点在x 轴上，且21l l ⊥，则直线1l 在y 轴上的截距是（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 （5）设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ） （A ）,//m n m n αα⊥⇒⊥ （B ）,//m n m n αα⊥⊥⇒（C ）//,////m n m n αα⇒ （D ）//,m n m n αα⊥⇒⊥（6）已知直线0=-+m y x l ：与圆4)1()1(22=++-y x C ：交于A ，B 两点，若AB C ∆ 为直角三角形，则=m （ ）（A ）2 （B ）2± （C ）22 （D ）22± （7）已知奇函数)(x f 在R上是减函数，若)51(log 2f a -=，)6(log 2f b =，（A ）c b a << （B ） c a b << （C ）a b c << （D ）b a c <<（8）已知直线l 的方程为：0123)2(=++++m y x m ，圆622=+y x C ：，则直线l 与圆C 的位置关系一定是（ ）（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 （9）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）（A ）π6 （B ）π7 （C ）π12 （D ）π14（10）如图,在三棱柱111C B A ABC -中,底面ABC 是等边三角形,1AA ⊥底面ABC ,且1,21==AA AB ，则直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为（ ）（A ）515 （B ） 510 （C ） 552 （D ） 55 （11）已知函数()()log 21x a f x b =+-()0,1a a >≠的图象如图所示，则,a b 满足的关系是（ ） （A ）1101b a --<<< （B ）101b a -<<< （C ）101b a -<<< （D ）101a b -<<<（12）已知圆C ：9)2()3(22=++-y x ，点)0,2(-A ，)2,0(B ，设点P 是圆C 上一个动点，定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”，记作2D ，令（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）16第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置）13. 已知函数(),03,0xlnx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 ． 14．在如图所示的长方体1111D D C B A ABC -中，已知1B (1,0,3)，D (0,2,0)，则点1C 的坐标为_________________．15.长度为4的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,则线段AB 的中点的轨迹方程为 ________________________16.一个半径为2的实心木球加工（进行切割）成一个圆柱，那么加工后的圆柱侧面积．．．的最大值为____________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知1CC ⊥底面ABC ，AC⊥BC,四边形BB 1C 1C 为正方形。
福州四校联盟2020-2021学年上期末联考高一数学科参考答案
福州四校联盟2020-2021第一学期期末联考高一数学参考答案一、单项选择题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C【详解】设2()log 5f x x x =+−，202(2)log 252f =+−=−<，204(4)log 451f =+−=> 根据零点存在性定理可知方程2log 5x x =−的解所在的区间是()3,4.故选：C5.【答案】D6.【答案】A7、【答案】B8.【答案】C二､多项选择题9.【答案】AB10.【答案】AC11.【答案】BD12.【答案】ACD三､填空题13、【答案】32π14.【解析】命题等价于2220x mx m +++≥恒成立，故只需要()2=44201 2.m m m ∆−+≤⇒−≤≤ 15.【答案】7,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦16.【答案】()10,12四､解答题17.【解析】(1)由三角函数定义可知: 4tan 3α=−.4sin 5α,3cos 5α=− ………………3分cos cos sin 422101010πααα−⎛⎫+=−=−=− ⎪⎝⎭………………………………5分 （2）原式sin cos sin cos αααα+=−+tan 1tan 1αα+=−+ ………………………………8分因为4tan 3α=−,原式43431171−+==−+.…………………………………………10分 18.【解析】(1)因为 11211(1)213a f ⋅−==+ …………………………………………1分 解得1a =， …………………………………………3分所以()22log 52log 5215142log 5215163f −−====++ ………………………………………………6分 (2) 由（1）可得21()21x x f x −=+.因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称……………………8分且()()21122112x x x x f x f x −−−−−===−++,所以()f x 是奇函数……………………………………12分 19.【解析】（Ⅰ）由22cos 2cos sin x x x =−与sin 22sin cos x x x =得()cos 23sin 22sin(2)6f x x x x π=−−=−+………………3分 所以()f x 的最小正周期是π；……………………………………………………4分 对称轴方程262x k k Z πππ+=+∈即32k x k Z ππ=+∈………………6分（Ⅱ）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7(2),666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦………………………………8分 所以，当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最小值，最小值为-2 ……10分当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1。
2023届福州屏东中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
因为 ，则 ，
因为
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
故选：函数图象可得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
根据题意结合正弦函数图象可得
，解得 .
故选：B.
10、D
【解析】利用对数函数的单调性，即可容易求得结果.
【详解】因为 是单调减函数，
故 等价于
1．设集合 ，则
A. B.
C. D.
2．若集合 ，则集合 （）
A. B.
C. D.
3．已知函数 ，则下列选项中正确的是（）
A.函数 是单调增函数
B.函数 的值域为
C.函数 为偶函数
D.函数 的定义域为
4．在如图所示中，二次函数 与指数函数 的图象只可为
A. B.
C. D.
5．若过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则y等于（）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
故选：C
【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题
5、B
【解析】根据斜率的定义和坐标表达式即可求得结果.
【详解】 ， .
【点睛】本题考查斜率的定义和坐标表达式，注意认真计算，属基础题.
6、C
【解析】
根据交集直接计算即可.
【详解】因为 ， ，
福州四校教学联盟2023-2024学年高一上学期1月期末学业联考数学试题(解析版)
福州四校教学联盟2023-2024学年高一上学期1月期末学业联考数学试题考试范围：必修一一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.1. 集合{22},{2,1,0,1}A xx B =−<≤=−−∣,则A B = （ ） A. {1,1,2}− B. {2,1,0,1}−−C. {1,0,1}−D. {2,1,0,1,2}−−【答案】C 【解析】【分析】运用集合交集的定义直接求解即可．【详解】因为集合{22},{2,1,0,1}A xx B =−<≤=−−∣, 所以{1,0,1}A B =− , 故选：C ．2. 若0a b >>，c d >，则下列结论正确的是（ ） A. a c b d +>+ B. a c b d −>− C. ac bd > D.a bd c> 【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A ，其余选项可用特殊值验证.【详解】因为a b >，c d >，由不等式的可加性可得a c b d +>+，故A 正确； 当3a =，2b =，4c =，1d =时，1a c −=−，1b d −=，a c b d −<−，故B 错误； 当3a =，2b =，2c =−，3d =−时，6ac =−，6bd =−，ac bd =，故C 错误； 当3a =，2b =，2c =−，3d =−时，1ad =−，1b c =−，a b d c=，故D 错误. 故选：A3. 函数ln(1)y x =−−的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】ln(1)0y x =−−≤恒成立，排除CD ，根据定义域排除A ，得到答案. 【详解】ln(1)0y x =−−≤恒成立，排除CD ， ln(1)y x =−−的定义域为()1,+∞，排除A.故选：B.4. 命题p ：α是第二象限角或第三象限角，命题q ：cos 0α<，则p 是q 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<，举反例得到不必要性，得到答案. 【详解】若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<；若cos 0α<，取πα=，cos 10α=−<，此时α不是第二象限角或第三象限角； 综上所述：p 是q 的充分不必要条件. 故选：C.5. 已知tan 2α ，则3sin cos sin 3cos αααα+=−（ ）A. 7−B. 1−C.17D. 1【答案】D 【解析】【分析】利用同角的三角函数关系式，结合三角函数齐次式法求值，即可得答案. 【详解】由题意知tan 2α ， 故3sin cos 3tan 1611sin 3cos tan 323αααααα++−+===−−−−，故选：D6. 中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A. 110% B. 120%C. 130%D. 140%【答案】D 【解析】【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈. 故选：D.7. 命题“对[1,2]x ∀∈，20ax x a −+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 12a ≥B. 12a >C. 1a ≥D. 25a ≥【答案】C 【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可． 【详解】因为[12]x ∀∈，，20ax x a −+>等价于[12]x ∀∈，，21xa x >+恒成立， 设2()1xh x x =+，则()h x = 21211152x x x x=∈+ +，． 所以命题为真命题的充要条件为12a >， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为1a ≥． 故选C ．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解． 8. 已知2()1f x ax =−是定义在R 上的函数，若对于任意1231x x −≤<≤−，都有()()12122f x f x x x −<−，则实数a 的取值范围是（ ） A. {0} B. [0,)+∞C. 1,3 −+∞D. 1,03 −【答案】C 【解析】【分析】由1231x x −≤<≤−，()()12122f x f x x x −<−得()()112222f x x f x x −>−，构造函数()()2g x f x x =−，则2()()212g x f x x ax x =−=−−是[3,1]−−上的减函数，对实数a 分类讨论即可.【详解】因为对任意1231x x −≤<≤−，()()12122f x f x x x −<−，所以()()()12122f x f x x x −>−，即()()112222f x x f x x −>−，构造函数()()2gx f x x =−，则()()12g x g x >，所以函数2()()212g x f x x ax x =−=−−是[3,1]−−上的减函数.当0a =时，函数()12g x x =−−是[3,1]−−上的减函数，符合题意； 当0a ≠时，函数2()12g x ax x =−−图象的对称轴为直线1x a=， 当0a >时，函数2()12g x ax x =−−是[3,1]−−上的减函数，符合题意； 当a<0时，要使得函数2()12g x ax x =−−是[3,1]−−上的减函数，只需13a≤−，解得0a >≥13−.综上所述，实数a 的取值范围足1,3 −+∞， 故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.9. 下列大小关系正确的是（ ） A. 0.30.422< B. 0.20.234< C. 24log 3log 8< D. 23log 3log 2>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.【详解】A 选项：由指数函数2x y =为单调递增函数，可得0.30.422<成立，所以A 选项正确； B 选项：由幂函数0.2y x =为单调递增函数，可得0.20.234<成立，所以B 选项正确；C 选项：由对数函数4log y x =为单调递增函数，则244log 3log 9log 8=>，所以C 选项不正确； D 选项：由函数2log y x =与3log y x =均为单调递增函数，则22log 3log 21>=，而33log 2log 31<=，所以D 选项正确.故选：ABD.10. 设正实数x ，y 满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ） A.11x y+的最小值为2 B. xy 的最小值为1C. 的最大值为4D.22x y +的最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据()111112x y x y x y +=++ ，结合基本不等式可判断A ；根据基本不等式22x y xy + ≤可判断B ；2x y =++C ；根据()2222x y x y xy +=+−可判断D.【详解】对于A ，因为2x y +=，0,0x y >>，所以()111111222x y x y x y x y y x +=++=++1222 ≥+= ， 当且仅当1xy ==时等号成立， 所以11x y+的最小值为2，故A 正确； 对于B ，212x y xy + ≤=，当且仅当1x y ==时等号成立， 所以xy 的最大值为1，故B 错误；对于C ，224x y =++=+≤，当且仅当1xy ==时等号成立，2≤的最大值为2，故C 错误；对于D ，()2222422x y x y xy xy +=+−=−≥，当且仅当1x y ==时等号成立， 所以22xy +的最小值为2，故D 正确.故选:AD.11. 已知函数π2sin 233y x=−+） A. 函数的最小正周期为πB. 函数的一个单调增区间为5π11π,1212C. 函数的一个对称中心是5π,06D. 函数的一条对称轴是11π12x =【答案】AD 【解析】 【分析】利用()sin yA xB ωϕ++的图象与性质，对选项一一验证即可.【详解】对于A ：π2sin 233y x =−+的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确； 对于B ：当5π11π1212x <<时，ππ3π2232x <−<，所以π2sin 233y x=−+在5π11π,1212 上单调递减，故B 错误； 对于C ：函数π2sin 233y x=−+的对称中心纵坐标为3，故C 错误； 对于D ：当11π12x =时，11ππ3π2sin 232sin 311232y=×−+=+=， 所以π2sin 233y x =−+的一条对称轴是11π12x =，故D 正确. 故选：AD12. 已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x −+≤= > ，下列关于函数[()]1yf f x +的零点个数的说法中，正确的是（ ）A. 当1k >，有1个零点B. 当1k >时，有3个零点C. 当0k <时，有9个零点D. 当4k =−时，有7个零点【答案】AD 【解析】分析】设()f x t =，即有()1f t =−，再按1k >和4k =−讨论并作出函数()f x 图象，数形结合即可判断得解.【详解】由0y =，得[()]1f f x =−，则函数[()]1yf f x +的零点个数即为[()]1f f x =−解的个数，设()f x t =，则()1f t =−，二次函数21y x kx =−+，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为2kx =， 当1k >时，21y x kx =−+在(,0]−∞上单调递减，且1y ≥，如图，由()1f t =−，得2log 1t =−，解得12t =，由()f x t =，得21log 2x =，解得x = 因此函数[()]1yf f x +的零点个数是1，A 正确，B 错误；.【当4k =−时，()2241,0log ,0x x x f x x x ++≤= > ，作出函数()f x 的图象如图，由图象知()1f t =−有3个根，当0t >时，2log 1t =−，解得12t =； 当0t ≤时，2411t t ++=−，解得2t =−±， 当12t =时，1()2f x =，若21log 2x =，则x =21412x x ++=，则2x =−，此时共有3个解；当2t =−+时，()2f x =−+，此时2log 2x =−1个解，2412x x ++=−+，即2(2)1x +=+2个解，当2t =−−时，()2f x =−，此时2log 2x =−−有1个解，2412x x ++=−即2(2)10x +=−<无解， 因此当4k =−时，函数[()]1y f f x +的零点个数是7，D 正确，C 错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知扇形的圆心角是2rad ，其周长为6cm ，则扇形的面积为______2cm ． 【答案】94【解析】【分析】直接利用扇形的周长和扇形的面积公式求出结果. 【详解】设扇形的圆心角为α，半径为r.所以扇形的周长为26r r α+=，32r ∴=, 所以扇形的面积21924S r α=. 故答案为：94.14. 函数y 的定义域是________．【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】 【分析】利用偶次根式的意义和对数的真数大于零，得到正弦的范围，再结合正弦函数图象特征解出自变量x 的取值集合即可. 【详解】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 15. 已知函数()()22221mm f x m m x −−=−−是幂函数，且在()0,∞+上递增，则实数m =___________.【答案】1− 【解析】【分析】根据幂函数系数为1并结合单调性即可求解. 【详解】由题意得211m m −−=，解得2m =或1m =−， 当2m =时，()2f x x −=在()0,+∞上递减，不符合题意；当1m =−时，()f x x =在()0,+∞上递增，符合题意； 故答案为：1−.16. 已知函数()22,2,x a x af x x ax x a+<= +≥ 给出下列四个结论：①当0a =时，()f x 的最小值为0；②当1(1,0),3a ∈−+∞时，()f x 不存在最小值；③()f x 零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3； ④当1a ≥时，对任意1x ，2R x ∈，()()121222x x f x f x f ++≥． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】【分析】①根据指数函数、二次函数性质求()f x 值域判断；②由(,)a −∞上值域为(,2)a a a +，讨论0a ≥、a<0确定在[,)a +∞上值域，根据()f x 不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论a<0、0a =、0a >，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值4a =，得到(3)12,(4)48,(5)65f f f ===即可判断. 【详解】①当0a =时，22,0(),0x x f x x x <= ≥ ，在(,0)−∞上的值域为(0,1)，在[0,)+∞上值域为[0,)+∞.所以()f x 的最小值为0，故①正确； ②在(,)a −∞上()f x 的值域为(,2)a a a +， 当0a ≥时，在[,)a +∞上值域为2[3,)a +∞； 当a<0时，在[,)a +∞上值域为2[,)a −+∞；要使()f x 不存在最小值，则23a a a ≥>或20a a a < −> ， 解得13a >或10a −<<，故②正确； ③2x y a =+至多一个零点，22y x ax =+至多有两个零点， 当a<0时，若[),x a ∞∈+，则由220x ax +=， 可得0x =或2x a =−，故()f x 恒有两个零点；(),x a ∞∈−时，若20a a +>，则()f x 存在一个零点；若20a a +≤，()f x 不存在零点，所以a<0时，()f x 零点个数可能为2或3个；若0a =，则22,0(),0x x f x x x <= ≥ ，此时20x >，即(,0)−∞上无零点，而200x x =⇒=，故()f x 有一个零点，即(0)1g =；若0a >，则22,()2,x a x af x x ax x a+<= +≥ ，此时(,)a −∞上20x a +>，无零点，[),x a ∞∈+时，220x ax +=也无解，故()f x 无零点，即()0g a =；综上，()g a 的值域为{}0,1,2,3，故③正确；④当4a =时，224,4()8,4x x f x x x x +<= +≥ ，则(3)12,(4)48,(5)65f f f ===， 所以(3)(5)772(4)96f f f +=<=，故④错误. 故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.除第17小题10分以外，每小题12分.17. 设m ∈R ，已知集合3211x A x x +=< −，(){}2220B x x m x m =+−−<.（1）当1m =时，求A B ∪；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围. 【答案】17. 3,12−； 18. ()3,∞+. 【解析】【分析】（1）分别解不等式求出集合A ，B ，然后由并集运算可得； （2）根据集合包含关系，对m 分类讨论即可. 【小问1详解】32231011x x x x ++<⇔<−−，解得3,12A=−， ()()()2220210x m x m x m x +−−<⇔+−<当1m =时，得1,12B=−，所以313,1,1,1222A B∪=−∪−=−. 【小问2详解】若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A B ，解方程()()210x m x +−=得2mx =−或1x =， 当2m =−时，B =∅，不满足题意； 当12m −<，即2m >−时，,12m B =−， 因为A B ，所以322m−<−，解得3m >； 当12m −>，即2m <−时，1,2m B=−，显然不满足题意. 综上，m 的取值范围为()3,+∞.18. 用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()π2sin 26f x x=+在[]0,π上的大致图像.【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出()f x 的图象. 【详解】列表：描点，连线，画出()f x 在[]0,π上的大致图像如图：19. 已知函数()π2sin 1(0)3f x x ωω=++>的最小正周期为π.（1）求π6f的值及函数()f x 单调递增区间； （2）求()f x 在区间π0,2上的最值.【答案】（1）π16f=+；5πππ,π,Z 1212k k k−+∈（2）最大值为3，最小值为1. 【解析】【分析】（1）根据周期确定2ω=，得到函数解析式后，代入计算π6f的值，取2π22π,Z π23π2πk x k k −≤+≤+∈，解得答案. （2）首先确定ππ4π2333x +∈,，根据正弦函数性质计算得到答案. 【小问1详解】()π2sin 1(0)3f x x ωω =++>的最小正周期为π，则2ππω=，2ω=， ()π2sin 213f x x=++，πππ2sin 211663f=×++=；取2π22π,Z π23π2πk x k k −≤+≤+∈，解得,125πππ1Z 2πk x k k ≤≤+∈−，故()f x 单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k−+∈； 【小问2详解】π0,2x∈ ，则ππ4π2333x +∈,， 当ππ232x +=，即π12x =时，()max π312f x f==；当π4π233x +=，即π2x =时，()min π12f x f =；故()f x 的最大值为3，最小值为1+.20. 某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n （单位：2m ），二月底测得水葫芦的生长面积为224m ，三月底测得水葫芦的生长面积为264m ，水葫芦生长的面积y （单位：2m ）与时间x （单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是(0,1)x y na n a =>>；另一个是12(0,0)y px n p n =+>>，记2023年元旦最初测量时间x 的值为0.（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）.【答案】（1）第一个函数模型(0,1)xy na n a =>>满足要求，理由见解析，27883xy=⋅（2）该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 【解析】【分析】（1）由随着x 增大，(0,1)x y na n a =>>的函数值增加得越来越快，而12(0,0)y px n p n =+>>的函数值增加得越来越慢求解；（2）根据题意，由27827240838x⋅>×求解. 【小问1详解】 解： 两个函数模型12(0,1),(0,0)xy na n a y px n p n =>>=+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增大，(0,1)x y na n a =>>的函数值增加得越来越快， 而12(0,0)y px n p n =+>>函数值增加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，∴第一个函数模型(0,1)x y na n a =>>满足要求，由题意知，232464na na = = ，解得83278a n = =，所以27883x y=⋅ ；【小问2详解】由27827240838x⋅>×，解得83log 240x >， 又83lg 240log 2408lg 3=13lg2lg35.593lg2lg3++≈−故6x ≥，∴该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.21. 已知函数()22221f x a x ax a =+−+.（1）当2a =时，求()0f x ≤的解集；（2）是否存在实数x ，使得不等式222210a x ax a +−+≥对满足[]2,2a ∈−的所有a 恒成立？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.的的【答案】（1）31,22−（2）不存在，理由见解析 【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于a 的不等式恒成立问题转化为关于a 的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可. 【小问1详解】2a =时，函数()2443f x x x =+−，不等式()0f x ≤即为24430x x +−≤， 即()()23210x x +−≤， 解得3122x −≤≤， ∴不等式()0f x ≤的解集为31,22−. 【小问2详解】设()()2222221121g a a x ax a xa xa =+−+=−++，[]2,2a ∈−，根据题意知，()0g a ≥在[]22−,上恒成立， ①当210x -=时，解得1x =±，若1x =，则()21g a a =+在[]22−,上单调递增，则()min ()230g a g =−=−<，不符合题意； 若=1x −，则()21g a a =−+[]22−,上单调递减， 则()min ()230g a g ==−<，不符合题意； ②当210x −<，即11x −<<时，()g a 的图像为开口向下的抛物线，要使()0g a ≥在[]22−,上恒成立，需()()2020g g −≥≥，即2244304430x x x x −−≥ +−≥ ，解得32x ≤−或32x ≥， 在又∵11x −<<，∴此时无解；③当210x −>，即1x <−或1x >时，()g a 的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为21xa x =−，（i ）当221x x ≤−−，即1x <≤时，()g a 在[]22−,上单调递增， ∴()2min ()24430g a g x x −−−≥，解得12x ≤−或32x ≥，∵32>112−<，∴此时无解；（ii ）当2221x x −<<−，即x <或x >()g a 在22,1x x − − 上单调递减，在2,21x x−上单调递增， ∴min 221()011x g a g x x==≥ −− ，此时无解；（iii ）当221x x ≥−1x ≤<−时，()g a 在[]22−,上单调递减， ∴()2min ()2443g a g x x ==+−≥，解得32x ≤−或12x ≥，∵32−<，112>−，∴此时无解； 综上，不存在符合题意的实数x .22. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T P f x +<⋅成立，则称函数()f x 是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ；若恒有()()f x T P f x +=⋅成立，则称函数()f x 是D 上的P 级周期函数，周期为T .（1）判断函数()23f x x =+是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？（2）已知2T π=，()y f x =是[)0,∞+上的P 级周期函数，且()y f x =是[)0,∞+上的严格增函数，当0,2x π ∈时，()sin 1f x x =+.求当())()*,1N 22x n n n ππ ∈+∈ 时，函数()y f x =的解析式，并求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数()1cos 2xf x kx =⋅是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论.【答案】（1）是，理由见解析； （2）当[,(1))(N )22x n n n ππ∗∈+∈时，()sin 12n f x P x n π=−+，且[2,)P ∈+∞；（3）存在，2,Z m k m Tπ∈. 【解析】【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算1,2,3n =时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】依题意，函数()23f x x =+定义域是R ，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x −++−++−+−+>，即R x ∀∈，(1)2()f x f x +<成立，所以函数()f x 是R 上的周期为1的2级递减周期函数. 【小问2详解】 因2T π=，()y f x =是[)0,∞+上的P 级周期函数，则()()2f x P f x π+=⋅，即()()2f x P f x π=⋅−，而当[0,)2x π∈时，()sin 1f x x =+，当[,)2x ππ∈时，[0,)22x ππ−∈，()sin 12f x P x π =−+， 当3[,)2x ππ∈时，[,)22x πππ−∈，则()()2sin 12f x Pf x P x ππ =−=−+， 当3[,2)2x ππ∈时，3[,)22x πππ−∈，则()33sin 122f x Pf x P x ππ=−=−+， …… 当[,(1))22x n n ππ∈+时，[(1),)222x n n πππ−∈−，则()sin 122n f x Pf x P x n ππ=−=−+，并且有：当[0,)2x π∈时，[1,2)y ∈，当[,)2x ππ∈时，[,2)y P P ∈，当3,2x ππ∈时，22[,2)y P P ∈，……，当[,(1))22x n n ππ∈+时，[,2)n n y P P ∈，因()y f x =是[)0,∞+上的严格增函数，则有22312222n nP P P P P P P−≤ ≤ ≤ ≤ ，解得2P ≥，所以当[,(1))(N )22x n n n ππ∗∈+∈时，()sin 12n f x P x n π=−+，且[2,)P ∈+∞.【小问3详解】假定存在非零实数k ，使函数1()()cos 2xf x kx =⋅是R 上的周期为T 的T 级周期函数， 即R x ∀∈，恒有()()f x T T f x +=⋅成立，则R x ∀∈，恒有()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⋅+=⋅⋅成立，即R x ∀∈，恒有()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅成立，当0k ≠时，x ∈R ，则R kx ∈，R kx kT +∈，于是得cos [1,1]kx ∈−，()[]cos 1,1kx kT +∈−，要使()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅恒成立，则有21T T ⋅=±，当21T T ⋅=，即12T T =时，由函数2x y =与1y x =的图象存在交点知，方程12TT=有解，此时()cos cos kx kT kx +=恒成立，则2,Z kT m m π=∈，即2,Z m k m Tπ∈， 当21T T ⋅=−，即12TT =−时，由函数2x y =与1y x =−的图象没有交点知，方程12TT=−无解，所以存在2,Z m km Tπ∈，符合题意，其中T 满足21T T ⋅=. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
2020-2021学年福建省福州市屏东中学等四校联高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省福州市屏东中学等四校联高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x ∈N ∗|x ≤4}，集合A ={1,2}，B ={2,4}，则A ∪(∁U B)=( )A. {1}B. {1,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2. 已知半径为2的扇形面积为3π8，则扇形的圆心角为( )A. 3π2B. 3π4C. 3π8D. 3π163. 下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( )A. y =−|sinx|B. y =cos2xC. y =tanxD. y =−x 34. 已知α为第三象限角，且cosα=−35，则tanα的值为( )A. 43B. 34C. −43D. −345. 函数f(x)=log 3(x +1)+x −2的零点所在的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6. 要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只需将函数y =sinx 的图象( )A. 把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π6个单位 B. 把各点的模坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π3个单位 C. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位 D. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π3个单位7. 函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为( )A. y =2sin(2x +2π3) B. y =2sin(2x +π3) C. y =2sin(x2−π3) D. y =2sin(2x −π3)8.若函数，且满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下面说法正确的是()A. “1a<1”是“a>1”的必要不充分条件B. 命题“任意x∈R，则x2+x+1<0”的否定是“存在x∈R，则x2+x+1≥0”C. 设x，y∈R，则“x2+y2≥4”是“x≥2且y≥2”的充分不必要条件D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件10.将函数y=cos2x的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则()A. f(x)的图象的对称轴方程为x=−π6+kπ2(k∈Z)B. f(x)的图象的对称中心坐标为(kπ2+π12,0)(k∈Z)C. f(x)的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ)(k∈Z)D. f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z)11.下列有关说法不正确的是()A. 当x>0时，lgx+1lgx≥2B. 当x>0时，√x+√x≥2C. 当θ∈(0,π2)时，sinθ+2sinθ的最小值为2√2D. 当a>0，b>0时，(a+1a )(b+1b)≥4恒成立12.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)，在(π6,π2)上既无最大值，也无最小值，且−f(π2)=f(0)=f(π6)，则下列结论错误的是()A. 若f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R，则|x2−x1|min=πB. y=f(x)的图象关于点(−π3,0)中心对称C. 函数f(x)的单调减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)D. 函数y=|f(x)|(x∈R)的图象相邻两条对称轴之间的距离是π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=√x −1⋅ln(x +1)的定义域______ ．14. 已知函数f(x)={−4+log 2x,x >06+tan(π4x),x <0，则f(f(8))= ______ ．15. △ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，其中cosB =√55，cosC =2√55，则角A = ______ 16. 已知cos(α−β)=13，cosβ=34，α−β∈(0,π2)，β∈(0,π2)，则sinα= ______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|y =lg(−x 2+x +6)}，集合B ={x|x 2−ax <0}，(a >0)．(1)当a =5时，求A ∩B ；(2)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．18. (1)若角α的终边上有一点P(1,3)，求值：cos(−α)+sin(π−α)2cos(3π2−α)−sin(π2+α)；(2)计算：lg20−lg2+log 23⋅log 916−e ln2+2sin330°．19. 已知函数f(x)=2√3sinx ⋅cosx +cos2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[−π6,π3]，求f(x)的最大值和最小值．20.已知函数f(x)=log a(x+2)，g(x)=log a(2−x)，(a>0，且a≠1)．(1)当a=3时，若f(x)>0，求x的取值范围；(2)设函数F(x)=f(x)+g(x)，试判断F(x)的奇偶性，并说明理由．)+2．21.已知函数f(x)=−2cos2x+sin(2x−π6)；(1)求f(5π12(2)求f(x)的单调递增区间．22.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)=Asin(ωt+φ)+B(中A>0，ω>0，|φ|≤π2H(t)；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集、补集的求法，考查运算求解能力，是基础题．先求出∁U B，由此能求出A∪(∁U B)．【解答】解：∵全集U={x∈N∗|x≤4}={1,2，3，4}，集合A={1,2}，B={2,4}，∴∁U B={1,3}，则A∪(∁U B)={1,2，3}．故选：C．2.【答案】D【解析】解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，则由扇形的面积为S=12r2α，可得：38π=12×22×α，解得：扇形的圆心角α=3π16．故选：D．利用已知及扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，解题的关键是能够灵活的运用扇形的面积公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，y=−|sinx|为偶函数，不符合题意；对于B，y=cos2x为偶函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于D，y=−x3为奇函数，在定义域R内单调递减，符合题意．故选：D．由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵α为第三象限角，且cosα=−35，∴sinα=−√1−cos2α=−45，∴tanα=sinαcosα=43．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而可求tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，是基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=log3(x+1)+x−2在(−1,+∞)上单调递增且连续，且f(1)=log32+1−2=log32−1<0，f(2)=log33+2−2=1>0；故函数f(x)=log3(x+1)+x−2的零点所在的一个区间是(1,2)；故选：B．利用函数f(x)=log3(x+1)+x−2在(−1,+∞)上单调递增且连续，从而由函数的零点的判定定理求解．本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：只需将函数y=sinx的图象各点的模坐标缩短到原来的12倍，即可得到y= sin2x的图象；再把所得图象向右平移π6个单为，可得函数y=sin(2x−π3)的图象，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象经过(−π12,2)点和(−5π12,2)则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin(2x+ϕ)，将(−π12,2)代入得−π6+ϕ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=2π3此时y=2sin(2x+2π3)故选：A．根据已知中函数y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象经过(−π12,2)和(−5π12,2)，我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin(ωx+ϕ)的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象确定其解析式，其中A=12|最大值−最小值|，|ω|=2πT，φ=L⋅ω(L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量)．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键，属于中档题．根据函数单调性的定义，由f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，得到f(x)单调递增，则分段f(x)在各段上都是递增，且衔接处非减，得到不等式求解即可．【解答】解：∵对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，∴函数f(x)={a x ,x ≥1(4−a 2)x +2,x <1在R 上单调递增， ∴{a >14−a 2>0a 1≥(4−a 2)×1+2 , 解得a ∈[4,8)， 故选D ．9.【答案】ABD【解析】解：“1a <1”推不出“a >1”，反之成立， 所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，所以A 正确；命题“任意x ∈R ，则x 2+x +1<0”的否定是“存在x ∈R ，则x 2+x +1≥0”， 满足命题的否定形式，所以B 正确；设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≥4”推不出“x ≥2且y ≥2”，反之成立，所以设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≥4”是“x ≥2且y ≥2”的必要不充分条件，所以C 不正确；设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，反之成立，所以设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，所以D 正确． 故选：ABD ．利用充要条件的判断方法，判断A 的正误；判断命题的否定形式判断B ；充要条件判断选项C 、D 即可．本题考查命题的真假的判断，考查充要条件以及命题的否定形式的判断，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：将函数y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，可得y =cos(2x +π3)的图象；再向下平移1个单位长度，得到函数y =f(x)=cos(2x +π3)−1的图象， 令2x +π3=kπ，求得x =kπ2−π6，可得f(x)的图象的对称轴方程为x =−π6+kπ2(k ∈Z)，故A 正确；令2x+π3=kπ+π2，求得x=kπ2+π12，可得f(x)的图象的图象的对称中心为(kπ2+π12,−1)，k∈Z，故B错误．令2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，求得kπ−2π3≤x≤kπ−π6，可得f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k∈Z，故C正确；令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，求得kπ−π6≤x≤kπ+π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z，故D错误，故选：AC．由题意利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：对于A，当0<x<1时，lgx<0，显然lgx+1lgx≥2不成立，即选项A 符合题意；对于B，√x√x ≥2√√x√x=2，当且仅当√x=√x，即x=1时，等号成立，即选项B不符合题意；对于C，当θ∈(0,π2)时，sinθ∈(0,1)，而sinθ+2sinθ≥2√2取等的条件为sinθ=2sinθ，即sinθ=√2∉(0,1)，故选项C符合题意；对于D，当a>0，b>0时，a+1a ≥2，b+1b≥2，∴(a+1a)(b+1b)≥4恒成立，即选项D不符合题意．故选：AC．对于A，当0<x<1时，lgx<0，不满足基本不等式中等号成立的条件；对于B，直接利用基本不等式，得解；对于C，sinθ∈(0,1)，不满足基本不等式中等号成立的条件；对于D，分别利用基本不等式计算a+1a 和b+1b的最小值，即可得解．本题考查基本不等式的应用，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABCD【解析】解：f(x)=Asin(ωx +φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)，f(x)的周期T =2πω；f(x)在(π6,π2)上既无最大值，也无最小值⇒π2−π6≤ T =2πω⇒ω∈(0,3]；−f(π2)=f(0)=f(π6)⇒{sin(ωπ6+φ)−sinφ=0sin(ωπ2+φ)+sinφ=0⇒{2cos(ωπ12+φ)sin(ωπ12)=02sin(ωπw +φ)cos(ωπ4)=0⇒{cos(ωπ12+φ)=0sin(ωπ4+φ)=0⇒{ωπ12+φ=π2+nπ,n ∈Zωπ4+φ=mπ,m ∈Z⇒ωπ6=−π2+kπ,k ∈Z ；又因为ω∈(0,3]，|φ|<π2，所以ω=3，φ=π4； 所以f(x)=Asin(3x +π4).对于A ，由题意得，f(x)半周期为π，但T =2π3，所以A 错；对于B ，因为f(−π3)≠0，所以B 错； 对于C ，f(x)=Asin(3x +π4)单调递减区间为[2kπ3+π12,2kπ3+5π12]，所以C 错；对于D ，y =|f(x)|=|Asin(3x +π4)|的图象相邻两条对称轴之间的距离是π6≠π2，所以D 错．故选：ABCD ．A 用函数周期判断；B 用特值法判断；C 求出单调递减区间判断；D 由函数图象判断． 本题以命题的真假判断为载体，考查了数f(x)=Asin(ωx +φ)的基本性质，属于中档题．13.【答案】[1,+∞)【解析】解：由题意得：{x −1≥0x +1>0，解得：x ≥1，故函数的定义域是：[1,+∞)， 故答案为：[1,+∞)．根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题．14.【答案】5【解析】解：根据题意，函数f(x)={−4+log 2x,x >06+tan(π4x),x <0，则f(8)=−4+log 28=−4+3=−1，则f(f(8))=f(−1)=6+tan(−π4)=6−1=5， 故答案为：5．根据题意，由函数的解析式求出f(8)的值，进而计算可得答案． 本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】π2【解析】解：因为cosB =√55，cosC =2√55， 可得sinB =√1−cos 2B =2√55，sinC =√1−cos 2C =√55， 可得cosA =cos[π−(B +C)]=−cos(B +C)=sinBsinC −cosBcosC =2√55×√55−2√55×√55=0，因为A ∈(0,π)， 所以A =π2． 故答案为：π2．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，sin C 的值，利用诱导公式，三角形内角和定理，两角和的余弦公式即可求解cos A 的值，结合A ∈(0,π)，即可得解A 的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，三角形内角和定理，两角和的余弦公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】√7+6√212【解析】解：由cos(α−β)=13，α−β∈(0,π2)，可得sin(α−β)=√1−cos 2(α−β)=√1−(13)2=2√23， 由cosβ=34，β∈(0,π2)，可得sinβ=√1−cos 2β=√1−(34)2=√74，可得sinα=sin[(α−β)+β]=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinβ=2√23×34+13×√74=√7+6√212． 故答案为：√7+6√212． 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(α−β)，sinβ的值，进而根据α=(α−β)+β，利用两角和的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(1)A ={x|−x 2+x +6>0}={x|−2<x <3}，a =5时，B ={x|x 2−5x <0}={x|0<x <5), ∴A ∩B =(0,3)；(2)∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，且B ={x|0<x <a}， ∴0<a ≤3，∴a 的取值范围为(0,3]．【解析】(1)可求出A ={x|−2<x <3}，a =5时，求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域，描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由于角α的终边上有一点P(1,3)，可得tanα=3，原式=cosα+sinα−2sinα−cosα=−1+tanα2tanα+1=−47． (2)原式=lg202+log 23⋅log 3224−2+2sin(−30°)=lg10+lg 23⋅2log 32−2+2(−12)=1+2−2−1=0．【解析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解．(2)利用对数的运算性质，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，对数的运算性质，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，∴f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(2)∵x ∈[−π6,π3]，∴−π6≤2x +π6≤5π6，∴−12≤sin(2x +π6)≤1， ∴−1≤f(x)≤2．∴当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f(x)的最小值为−1； 当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)的最大值为2．【解析】(1)根据两角和与差的三角函数，我们易将函数的解析式化为正弦弦型函数； (2)根据x 的取值范围，求出2x +π6的取值范围，从而求出f(x)的最大、最小值以及对应的x 值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)根据题意，a =3时，f(x)=log 3(x +2)，若f(x)>0，即log 3(x +2)>0，则有x +2>1，解可得x >−1 故x 的取值范围(−1,+∞)．(2)根据题意，函数F(x)=f(x)+g(x)=log a (x +2)+log a (2−x)， 则有{x +2>02−x <0，解可得−2<x <2，即函数的定义域为(−2,2)，则F(−x)=log a (2−x)+log a (2+x)=F(x)，所以函数F(x)为偶函数．【解析】(1)根据题意，a =3时，f(x)=log 3(x +2)，则f(x)>0，即log 3(x +2)>0，求出x 的取值范围，即可得答案，(2)函数F(x)=f(x)+g(x)=log a (x +2)+log a (2−x)，先分析F(x)的定义域，再分析F(−x)与F(x)的关系，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题．21.【答案】解：(1)f(x)=(√32sin2x −12cos2x)+(1−cos2x) =(√32sin2x −32cos2x)+1=√3sin(2x −π3)+1， 因此f(5π12)=√3sin π2+1=√3+1；(2)令u =2x −π3，由u ∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，⇒2x −π3∈[2kπ−π2,2kπ+π2]⇒x ∈[kπ−π12,kπ+5π12]， 即f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ．【解析】(1)先化简函数的解析式，再令x =5π12，代入即可求解； (2)根据正弦函数的单调性利用整体代换思想即可求解．本题考查了三角函数的性质以及单调性，涉及到三角函数的化简以及正弦函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题，22.【答案】解：(1)H 关于t 的函数关系式为H(t)=Asin(ωt +φ)+B ，由{B +A =145B −A =21，解得A =62，B =83，…1分 又函数周期为30， 所以ω=2π30=π15，可得H(t)=62sin(π15t +φ)+83，…2分 又H(0)=62sin(π15×0+φ)+83=21， 所以sinφ=−1，φ=−π2，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)=62sin(π15t −π2)+83，0≤t ≤30，…4分(2)H(t)=62sin(π15t−π2)+83=−62cosπ15t+83，所以−62cosπ15t+83=52，cosπ15t=12，…6分所以t=5…8分(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲=−62cosπ15t+83，乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H乙=−62cosπ15(t−5)+83，5≤t≤30，…10分所以两人离地面的高度差ℎ=|H甲−H乙|=|−62cosπ15t+62cosπ15(t−5)|=62|sinπ15t−π6)|，5≤t≤30，当π15t−π6=π2，或3π2时，即t=10或25分钟时，h取最大值为62米…12分【解析】(1)根据函数关系式H(t)=Asin(ωt+φ)+B，求出A、B、φ和ω的值即可得解；(2)令H(t)=52，求出t∈(0,30)内的值即可；(3)根据游客甲距离地面高度解析式H甲和乙距离地面高度解析式H乙，利用三角函数的图象计算ℎ=|H甲−H乙|的最大值即可．本题考查了三角函数模型的实际应用问题，也考查了数学建模问题，是中档题．。
2020-2021福州市高中必修一数学上期末模拟试卷附答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．2C ．14，2 D ．14，4 6．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．函数21y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________． 14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．16．函数()()4log 5f x x =-+________.17．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．18．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 19．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是[]0,1时求函数()f x 的值域.23．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围. 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围.25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.26．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示； t0 10 20 30 ()f t 0270052007500阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题5．A解析：A试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x>就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()a g x x x =+的值域为(),22,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U ， 所以，此时有22a ≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()a g x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7. 16．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 521x f x x =-+-有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集. 17．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．18．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I .故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.19．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】函数()22x f x b =--有两个零点，和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ， cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【分析】【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设． ∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4； 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．22．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】【分析】【详解】（1）832,323,5b a ab a b a a----+=--⨯=∴=-=Q ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减， 所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当所以函数()f x 的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．23．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(2lg 1f x x x-=-++， 所以()()((22lg 1lg 1lg10x x x x f x f x =++-+=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，21u x x =+，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证21u x x =+在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.24．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解.【详解】 （1）由101x x ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-，∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1a t f t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.25．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++- =28012000t t -++=()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600．当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+ =213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =，所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．。
2020-2021学年福建省福州市八县(市、区)一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年福建省福州市八县（市、区）一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin315°的值为( )A. −√32B. √32C. √22D. −√222.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB3.角π5和角6π5有相同的( )A. 正弦线B. 余弦线C. 正切线D. 不能确定4.已知α是第一象限角，tanα=34，则sinα等于( )A. 45B. 35C. −45D. −355.如果函数f(x)=2sinx +acosx 的图象关于直线x =π6对称，那么a =( )A. −2√3B. 2C. 2√3D. √36.函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图象的函数解析式为( )A. y =3sin(3x −3)B. y =3sin(3x −9)C. y =13sin(13x −3)D. y =3sin(13x −3)7.若tanθ=−13，则cos2θ=( )A. −45B. −15C. 15D. 458.已知△ABC ，点G ，M 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=79BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 9.已知函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，其中n ∈N ，则f(8)=( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 已知函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=1，φ=B. ω=1，φ=−C. ω=2，φ=D. ω=2，φ=−11. 已知a 是实数，则函数f(x)=acosax −1的图象不可能是( )A.B.C.D.12. P 、Q 、R 是等腰直角△ABC(A 为直角)内的点，且满足∠APB =∠BPC =∠CPA ，∠ACQ =∠CBQ =∠BAQ ，AR 和BR 分别平分∠A 和∠B ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >RA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. RA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RB ⃗⃗⃗⃗⃗ >QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如下图所示，在平面直角坐标系xoy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，A 的纵坐标为，则cosα=________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．15. 若a ⃗ =(cosx,sinx),b ⃗ =(√3,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tan2x =______． 16. 已知α∈(0,π2)，且2cosα=cos(π2−α)，则sin2α的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数轴x 上，点A ，B 的坐标分别为a ，b ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为a −2． (1)求BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；(2)若b =5，求|2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.18. 已知函数f(x)=sinxcos(x −π2)−cosxsin(x +π2)，x ∈R ． (1)求f(π12)的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19. 已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(−3,−1)，D 在直线BC 上． (Ⅰ)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标； (Ⅱ)若AD ⊥BC ，求点D 的坐标．20. 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm ，上栏和下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a(cm)，b(cm)，铝合金的透光部分的面积为S(cm2).(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？21.已知函数f(x)=sin cos+sin2(其中ω>0，0<φ<).其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．(1)函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，S△ABC=2，角C为锐角．且满足f=，求c的值．22.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，x=R，|φ|<π)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，又f(2+x)=f(2−x)，f(0)<0．(1)求这个函数解析式；(2)设关于x的方程f(x)=k+1在[0,8]内有两个不同根a，β，求a+β的值及k的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：sin315°=sin(360°−45°)=−sin45°=−√22．故选：D ．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算、抛物线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．利用向量的三角形法则和数量积运算可得：CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值． 解：如图所示，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当且仅当|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值， 只有当CM ⊥l 时，|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值， 故选：B ．3.答案：C解析：本题给出两个角π5和6π5，求证它们有相同的正切线，着重考查了终边相同的角、三角函数线的作法等知识，属于基础题．根据角π5和角6π5的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案．解：∵6π5=π+π5，∴角π5和角6π5的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l，因此，过点A(1,0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得tanπ5=tan6π5，都等于有向线段AT的长，即两角有相同的正切线．故选C．4.答案：B解析：解：由因为α是第一象限角，所以α∈(0,π2)，而根据同角三角函数间的基本关系得：tanα=sinαcosα=34①；sin2α+cos2α=1②；由①得到sinα=34cosα，因为α为锐角，将其代入②，得sinα=35．故选：B．根据同角的三角函数间的基本关系得到：tanα=sinαcosα=34；sin2α+cos2α=1；由于α是第一象限角，联立求出sinα大于0的值即可．考查学生会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，以及会根据象限角判断其三角函数的取值．5.答案：C解析：解：∵函数f(x)=2sinx+acosx=√4+a2(√4+a2√4+a2=√4+a2sin(x+θ)，其中，cosθ=√4+a2，sinθ=√4+a2，由于的图象关于直线x=π6对称，则π6+θ=π2，即θ=π3，sinθ=√4+a2=sinπ3，解得a=2√3，故选：C．由题意利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：解：函数f(x)=sinx 的图象向右平移3个单位长度，得到：y =sin(x −3)， 再将图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，得到：y =3sin(13x −3)， 故解析式为：y =3sin(13x −3)． 故选：C ．直接利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数图象的平移和伸缩变换．7.答案：D解析：本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，属于基础题． 解：由tanθ=−13， 得cos2θ=cos 2θ−sin 2θ =cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−(−13)21+(−13)2=45，故选D ．8.答案：D解析：解：G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以G 为△ABC 的重心， 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −89AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −79AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．由已知可知G 为△ABC 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 本题主要考查了三角形的重心性质，还考查了向量的线性运算，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵函数函数f(n)={n −3,n ≥10f(f(n +5)),n <10，∴f(8)=f[f(13)]，则f(13)=13−3=10，∴f(8)=f[f(13)]=f(10)=10−3=7，故选：C．根据解析式先求出f(8)=f[f(13)]，依次再求出f(13)和f[f(13)]，即得到所求的函数值．本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．10.答案：D解析：试题分析：由图像知：函数的周期为，所以，又点在图像上，代入得φ=−。
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷
福建省福州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）函数的零点的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）已知函数f（x）=|log2|x﹣1||，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为﹣1，则a+b的值为（）A . -2B . -1C . 0D . 13. （2分） (2018高一下·伊通期末) 已知，那么是（）A . 第三或第四象限角B . 第二或第三象限角C . 第一或第二象限角D . 第一或第四象限角4. （2分）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则（）A . -7B .C .D . 77. （2分） (2019高一上·黑龙江月考) 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向左平移单位D . 向右平移单位9. （2分）将函数y=sin(x+)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A . x=-B . x=-C . x=D . x=10. （2分）关于函数的四个结论：P1：最大值为；P2：把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象；P3：单调递增区间为[]，；P4：图象的对称中心为(，．其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分） (2016高一下·淄川期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A . f（x）=2sin（x+ ）B . f（x）=2sin（2x+ ）C . f（x）=2sin（2x﹣）D . f（x）=2sin（4x﹣）12. （5分）已知函数f（x）=﹣sinx+3cosx，若x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）=0，则|x1+x2|的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1分）已知，则tanα=________．15. （1分） (2017高一上·定州期末) 若函数的零点，且，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高一上·鹤岗月考) 已知角的终边过点，且，求和的值.18. （10分） (2016高一下·邵东期中) 解答（1）已知函数，求函数在区间[﹣2π，2π]上的单调增区间；（2）计算：．19. （10分）(2018·普陀模拟) 已知函数， .（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.20. （10分） (2020高一上·铜仁期末) 已知函数 .（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，求的单调递减区间.21. （5分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（x）=（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，试确定函数y=loga（x+1）在区间（0，3）上的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、。
福建省福州市八县市一中2020_2021学年高一数学上学期期末联考试题(含答案)
福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高一数学上学期期末联考试题(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试范围：人教A版必修第一册。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：∃x∈(－∞，0)，tan2021x>x3，则¬p为A.∀x∈[0，＋∞)，tan2021x>x3B.∀x∈[0，＋∞)，tan2021x≤x3C.∀x∈(－∞，0)，tan2021x≤x3D.∀x∈(－∞，0)，tan2021x<x32.已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{－2，0，1，2，3}，则A∩B＝A.{－2，0，1，2}B.{－2，0，1}C.{0，1，2}D.{0，1}3.函数f(x)＋log2(3－x)的定义域为A.(0，3)B.(1，＋∞)C.(1，3)D.[1，3)4.tan525°＝A.－2－2 C.2 D.25.已知函数f(x)＝(m2－m－1)2m m1x+-是幂函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数，则实数m ＝A.－1或2B.2C.－1D.16.“关于x的不等式x2－3mx＋4≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是A.－43≤m≤43B.－2<m≤43C.－43<m≤43D.－43≤m<07.2020年10月1日至8日，央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》，8天8条高铁主线，全景式展示“十三五”规划成就和中国之美。
福州市名校联考2021届高一数学上学期期末质量跟踪监视试题
福州市名校联考2021届高一数学上学期期末质量跟踪监视试题一、选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-3．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A.34B.817C.815D.17194．函数2cos 2y x x =-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12πB ．6π C ．4πD ．3π 5．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则β=（ ） A ．6π B ．512π C ．4π D ．3π 6．下列各函数在其定义域内为增函数的是（ ） A.4y x=-B.()12log4y x =-C.212y x =- D.3y x =-7．如图,三棱锥P ABC -中,PB ABC ⊥平面,BC CA ⊥,且22PB BC CA ===,则三棱锥P ABC -的外接球表面积为A.3πB.9πC.12πD.36π 8．若函数在区间上单调递增，且，则的一个可能值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A ．B ．C ．D ．10．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面, 12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）. A ．323π B ．16π C ．253π D ．312π11．已知等比数列的公比为正数，且，，则A ．B ．C ．D ．2 12．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 14．将边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三种说法：①是等边三角形；②；③三棱锥的体积是.其中正确的序号是__________（写出所有正确说法的序号）. 15．函数的定义域为A ，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题： ①函数（xR ）是单函数； ②指数函数（xR ）是单函数； ③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 16．已知(0,)απ∈且3cos()65πα-=．求cos α=_________. 三、解答题17．已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.（1）求并证明的奇偶性；（2）判断的单调性并证明； （3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.18．在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B 的大小；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.19．已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝－2x 2＋4x ＋3. （1）求f （x ）的表达式；（2）画出f （x ）的图象，并指出f （x ）的单调区间． 20．已知向量（），向量(2,1)m =，，且.（Ⅰ）求向量OA ； （Ⅱ）若，，求.21．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26a =，，求n a 和n S .22．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S. 【参考答案】*** 一、选择题13．(16π 14．①② 15．答案：②③④ 解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．16．410三、解答题17．（1）0,证明略，为奇函数；（2）单调递增，证明略；（3）.18．(1)7；19．略20．（Ⅰ）；（Ⅱ）2． 21．或.22．（1）64；（2）。
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福建省福州市福州屏东中学2020-2021学年第一学期四校联考期末考试
高一年级数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在1至8题为单选，9-12为多选，漏选得3分，错选得0分）
1. 已知全集{}*
|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A
C B =( )
A. {}1
B. ()1,3
C. {}1,2,3
D. {}0,1,2,3
C
2. 半径为2的扇形面积为
38π
，则扇形的圆心角为（ ） A. 38
π B. 316
π C.
32
π D.
34
π B
3. 下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（ ） A. sin y x =- B. cos 2y x = C. tan y x = D. 3y x =-
D
4. 已知α为第三象限角，且3
cos 5
α=-，则tan α的值为（ ）
A. 43
B.
34 C. 43-
D. 34
-
A
5. 函数()()3log 12f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()3,4
B
6. 要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin y x =的图象（ ）
A. 把各点横坐标缩短到原来的
12
倍，再向右平移6π
个单位
B. 把各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，再向左平移3
π个单位
C. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6
π个单位 D. 把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3
π
个单位 A
7. 函数()sin y A ωx φ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A. 22sin 23y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭
B. 2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C. 2sin 23x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
D. 2sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
A
8. 若函数(),1
42,12x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12
x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)4,8 B. ()4,8
C. (]1,8
D. ()1,8
A
9. 下面说法正确的是（ ） A. “
1
1a
<”是“1a >”的必要不充分条件 B. 命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥” C. 设,x y R ∈，则“224x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件 D. 设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 ABD
10. 将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6
π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到
函数()y f x =的图象，则（ ） A. ()f x 的图象的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=-
+
∈ B. ()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝
⎭ C. ()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫
-+-+∈⎪⎢
⎣⎭
D. ()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
AC
11. 下列有关说法不正确的是（ ） A. 当0x >时，1
lg 2lg x x +
≥； B. 当0x >时，2x x
+
≥； C. 当0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，2sin sin θθ+的最小值为22；
D. 当0a >，0b >时，114a b a b ⎛
⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭恒成立
AC
12. 设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2π
ϕ<
），在,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列结论错误是（ ）
A. 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=
B. ()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫
⎪
⎝⎭
中心对称
C. 函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
D. 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2
π ABD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数(
)()ln 1f x x =+的定义域__________.
[)1,+∞
14. 已知函数()24log ,06tan ,04x x f x x x π-+>⎧⎪
=⎨⎛⎫
+< ⎪⎪
⎝⎭⎩，则()()8f f =______. 5
15. 在三角形ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C
，其中cos 5B =
，cos 5
C =，则角A =__________
2
π
16. 已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则sin α=
_______. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合(){}
2lg 6A x y x x ==-++，集合{}2
0B x x ax =-<，()0a >.
（1）当5a =时，求A B ；
（2）若A B B =，求实数a 的取值范围. （1）()0,3；（2）(]0,3.
18. （1）若角α的终边上有一点()1,3P ，求值：()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭；
（2）计算ln 2
29lg 20lg 2log 3log 162sin 330e
-+⋅-+︒.
（1）4
7
-；（2）0.
19. 已知函数(
)cos cos2f x x x x =⋅+，x ∈R .
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最大值和最小值. （1）π；（2）最大值为2，最小值为1-.
20. 已知函数()()log 2a f x x =+，()()log 2a g x x =-，（0a >，且1a ≠）. （1）当3a =时，若()0f x >，求x 的取值范围；
（2）设函数()()()F x f x g x =+，试判断()F x 的奇偶性，并说明理由. （1）()1,-+∞；（2）偶函数，理由见解析.
21. 已知函数()2
2cos sin 226f x x x π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.
（1）求512f π⎛⎫
⎪⎝⎭
； （2）求()
f x 的
单调递增区间.
（1）31+；（2）5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
22. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足
()()sin t H t A B ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2
π
ϕ≤
）求摩天轮转动一周的解析式()H t ；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的
过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．
（1）()62sin 83152H t t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤；
（2）5t =；（3）h 取最大值62米.。