罗素类型论研究(一)

罗素类型论研究（一）

类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造的一个重要理论，它以恶性循环原则为前提，其核心思想是不把类当实体看，其总体思想是任一函项必定属于一定的类型和阶。类型论提供了一种对悖论的统一的解决办法，其排除悖论的实质是把引起悖论的表达式归于“无意义”。类型论本身并不完善，引来了争论，争论的焦点首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则，引起争论的实质是在类的实在性问题上实在论和唯名论的对立。类型论尽管在总体上不那么令人满意，但它给逻辑和哲学都带来了重大的影响，这种影响是积极的。

标签：罗素；类型论；类

类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造出的一个极其重要的理论。有评论家说，它和罗素著名的摹状词理论一起对分析哲学的发展起到了强劲的推动作用。与摹状词理论相比，类型论还不够成熟，也没有获得“哲学的典范”那样高的哲学地位，但它解决的问题、引起的问题，以及它蕴涵的哲学意义，到今天仍值得我们深深地反思和深入地探究。类型论的技术性强，内容艰深复杂，本文试图在阐释它主要内容的基础上来展开对它的分析与评价。

一、缘起与建构

康托尔集合论有一个用来说明“集合”的概括原则，该原则说：任一性质均可定义一个集合，集合的元素恰好具有该性质。概括原则可以用符号表示为s={x|P(x)}，它等价于vx(x∈s—P(x))，该式的一个意思是“任意对象均可作为集合的元素”。任一集合由于都可以看做对象，因而都可以考虑其是否属于自身(或是否是自身的一个元素)的问题，因此，根据概括原则，就可以从性质“不属于自身”出发去构造一个新的集合s，它是由所有那些不属于自身的集合构成的，即s={x|x∈x}(其中x是集合)。由此可以构造出命题vx(x∈s—x∈x)，再由此根据逻辑规则立即得出：S∈S—S∈S。这就是“罗素悖论”。

“罗素悖论”产生了巨大的震撼力，它表明作为数学基础的集合论是不一致的，让整个数学大厦为之动摇，如何去解决它就成了摆在当时数学家们面前的一个十分紧要的问题。类型论就是罗素经过长期探索而构造出的一个解悖方案。

(一)从简单类型论到分支类型论

类型论有两种形态：一是《数学的原理》中的简单形态，二是《数学原理》中的分支形态，它们有联系也有差别。

罗素1903年在《数学的原理》中提出了一个解决悖论的初步方案，这个方案后来被称为简单类型论。罗素在这里指出，解决这类悖论的关键在于区分不同的逻辑类型。以此作为指导思想，罗素首先给出了类型的定义：“类型”即“命题函项的意义域”。据此，罗素区分了个体、个体的类、个体的类的类等不同层次

的类型，指出一个类和它的元素属于不同的类型。罗素还提出了一个原则：“如果一个命题函项中x要有意义，其中的x应该要限于某一个类型。”这样，根据类型的划分和这个原则就可以断定“x∈x”是无意义的，这就排除了“罗素悖论”。简单类型论虽然可以解决一些悖论，但罗素发现，还有一些悖论它解决不了，譬如一些与说谎者悖论类似的语义悖论。这些悖论影响到了推理的基础，需要更进一步的解决方案。

1906年，罗素在《论超穷数理论和序数理论的某些困难》一文中提出了解决悖论的三种方案：(1)“之字形理论”，这是一种内涵理论，它要求依赖命题函项的内容来确定类的存在性；(2)“限制大小的理论”，这是一种外延理论，它主张依据命题函项外延的大小(要求“不太大”)来判定相应的类的存在性；(3)“无类理论”，该理论要点是不把类看做实体，而是看做逻辑的假定，是说话时的方便。罗素后来在解决悖论的过程中没有采用前两种方案，而走了“无类论”的路线，其结果就是“分支类型论”的产生。

“分支类型论”的最终提出与罗素对“恶性循环原则”(实际上是禁止恶性循环的原则)的采纳有关。这条原则最早由数学家彭加勒(H．Poincaré)在1906年根据理查德(J．Richard)的思想提出来，后来被罗素明确化、具体化了。理查德在1905年提出了“理查德悖论”。该悖论是关于定义可数性的悖论，它涉及了康托尔的对角线方法，其构造大致是这样的：考虑所有的可以通过有限多个词定义的十进位小数，并令E是这些小数的集合。那么E是一个可数集，其元素可以按照第一个、第二个、第三个……这样的顺序排列。令N是下列定义的数字：如果在E 中的第n个小数中的第n位数字是p，则令N中的第n位数字是p+1(或0，如果p=9)。这样，N就不同于E中的任一元素，即N不是E的元素。但是，我们已经用有限多个词定义了N。因此，N应当是E的元素。这样，N既是又不是E 的元素。理查德在发现他的悖论的同时进一步指出，实际上矛盾是不存在的，因为一个集合不能包含那些只能借助于该集合本身才能定义的对象。彭加勒采纳了理查德的思想，并建议把理查德在构造悖论时所使用的那种定义称为“非直谓的定义”。简明地说，“非直谓的定义”是指：用一个总体来定义一个对象，而这个对象又属于该总体。彭加勒认为，“非直谓的定义”包含了恶性循环，悖论的根源就在于它，所以应当禁止。罗素通过对一些悖论细致的分析，接受了彭加勒的原则，并做了进一步的充实和完善，《数学原理》中的“分支类型论”就是在此基础上提出来的。

(二)恶性循环原则

恶性循环原则是悖论的“诊断器”，罗素在用它分析了各种各样的悖论后指出，所有的悖论有一个共同的特征，即“自我指称性或自返性”。以古老的“说谎者悖论”为例，罗素认为，“我正在说谎”这句话“在其自身范围内必定包含自身”，他说：“说‘我正在说谎’的那个人实际上是在断定‘有一个我在断定并且是假的命题’。这可能就是我们所指的说谎的意思。为了避免矛盾，我们不得不把他那整个断定看做是他这个断定所适用的那些命题之一。这就是说，当他说‘有一个我在断定并且是假的命题’时，我们不得不把‘命题’这一词解释为也把他的下述陈述，即他正在断定一个假命题，包括在了命题之中。因此，我们不得不假

定，我们有某种总体，即诸命题的总体。但这个总体包含只能用这个总体本身来定义的分子。因为，当你说‘有一个我在断定并且是假的命题’时，这个陈述惟有通过参照诸命题的总体才能获得它的意义。你并没有说在世界上存在的所有命题之中的哪一个才是你正在断定的并且是假的命题，因此，它预设了命题的总体在你面前延伸，而且有某个命题(虽然你没有说是哪一个)正在被断定是假的。十分显然的是，如果你首先假定这种命题的总体在你面前展现，以至于你不必选出一个确定的命题就可以说‘我正在断定这个总体中的某个命题是假的’，然而，当你必须进一步说‘我正在断定这个总体中的某个命题是假的’时，这个陈述本身就是你要从中选取的总体中的一个，那么很清楚，你就要陷入一种恶性循环。这恰好是你在说谎者悖论中所遇到的情形。假定你首先给定一组命题，并且你断定其中的某一个命题正在被断定是假的，那么，这个断定本身就变成这一组命题中的一个，因此，假定这组命题已经全部在那儿，这显然是谬误。”从罗素所做的分析来看，他认为“说谎者悖论”的实质在于：假设了一个确定的命题的总体(其中所包含的命题的数量应该是确定的)，而关于这个总体的一个陈述可以形成一个新命题，这个新命题(由于恶性循环)进入原有的总体，这就使得总体中命题的数目增大了；但是，扩大这个总体的范围并不能避免循环，因为论及这个总体的陈述的范围随总体的范围扩大在扩大。因此，罗素得出结论，我们不能断言“所有的命题”，“所有的命题”是一个不合法的总体，“所有的悖论都共同有这样一个关于总体的假定：如果它合理，它立即就由它自身所定义的新元素而扩大”。“我们所有的悖论都犯了恶性循环的谬误。”

由于悖论的出现都是涉及了一个不合法的总体，犯了恶性循环推理的谬误，因此，罗素提出恶性循环原则就是为了针对引起悖论的那些不合法总体，其目的是要排除这类总体，消除恶性循环。罗素在《数学原理》中对恶性循环原则作了如下陈述：“‘凡牵涉到一个集合的全部分子者，它本身不能是该集合的一个分子’；或者反过来说，‘设某一集合有一个总体，如果它含有一些只能用这个总体来定义的分子，那么这个集合就没有总体’。我们称这为‘恶性循环原则’，因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环。”罗素对恶性循环原则还有另一种表述方式：“设有对象的这样一个集合，如果我们假定这个集合有一个总体，它包含的某些分子将以这个总体作为前提，那么，这样一个集合就没有一个总体。说一个集合‘没有总体’的意思是：我们不能对‘它的所有分子’作出一个有意义的陈述。”

从罗素对恶性循环原则的几种表述来看，该原则的核心思想是：没有一个总体能包含只有通过这个总体来定义的分子。如果某个总体的分子一旦被确定，那么这个“最初”确定的总体的范围就不能再改变。悖论之所以产生就在于它们违反了这个原则，它们都包含将总体“最初”的范围不合法的扩大，这就改变了总体最初的构成。悖论之所以会引起这种对总体最初构成的改变，是因为它们把那些涉及“最初”总体的陈述看做是“最初”总体的一个分子。而这就是恶性循环，它正是恶性循环原则加以禁止的。罗素认为，恶性循环的过程就好像“你竭力要跳到你的头的影子上”，这实际上是一个无法实现的过程，因此，恶性循环原则禁止这种恶性循环符合人们的直觉。就康托尔集合论的概括原则“vx(x∈s—P(x))”来说，恶性循环原则提出的要求是：不允许在约束变项x的取值范围内发现s这个集合。这样，如果遵循这个原则，“S∈S”就不会出现，因而“罗素悖论”也就被排除了。